Reflections of universal algebras into semilattices, their Galois theories, and related factorization systems

Estabelecemos uma condição suficiente para a preservação dos produtos finitos, pelo reflector de uma variedade de álgebras universais numa subvariedade, que é, também, condição necessária se a subvariedade for idempotente. Esta condição é estabelecida, seguidamente, num contexto mais geral e caracteriza reflexões para as quais a propriedade de ser semi-exacta à esquerda e a propriedade, mais forte, de ter unidades estáveis, coincidem. Prova-se que reflexões simples e semi-exactas à esquerda coincidem, no contexto das variedades de álgebras universais e caracterizam-se as classes do sistema de factorização derivado da reflexão. Estabelecem-se resultados que ajudam a caracterizar morfismos de cobertura e verticais-estáveis em álgebras universais e no contexto mais geral já referido. Caracterizam-se as classes de morfismos separáveis, puramente inseparáveis e normais. O estudo dos morfismos de descida de Galois conduz a condições suficientes para que o seu par kernel seja preservado pelo reflector.

Quasilinear elliptic systems with measure data

We study the existence of solutions of quasilinear elliptic systems involving $N$ equations and a measure on the right hand side, with the form $$\left\{\begin{array}{ll} -\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}\left(\sum\limits_{\beta=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{n}% a_{i,j}^{\alpha,\beta}\left( x,u\right)\frac{\partial}{\partial x_j}u^\beta\right)=\mu^\alpha& \mbox{ in }\Omega ,\\ u=0 & \mbox{ on }\partial\Omega, \end{array}\right.$$ where $\alpha\in\{1,\dots,N\}$ is the equation index, $\Omega$ is an open bounded subset of $\mathbb{R}^{n}$, $u:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^{N}$ and $\mu$ is a finite Randon measure on $\mathbb{R}^{n}$ with values into $\mathbb{R}^{N}$. Existence of a solution is proved for two different sets of assumptions on $A$. Examples are provided that satisfy our conditions, but do not satisfy conditions required on previous works on this matter.