Uma abordagem curricular em matemática no 3º ciclo do ensino básico: um estudo de caso em geometria

Este trabalho debruça-se sobre as práticas de Ensino de Geometria no 3º ciclo do Ensino Básico tendo como principal foco de investigação as práticas de ensino da professora investigadora. O estudo empírico foi realizado em três turmas de 9º ano, da professora investigadora, de Abril a Junho de 2005, numa Escola da região de Trás-os-Montes (designada por Escola A). O trabalho realizado pela professora investigadora com alunos dessas turmas (no 7º em 2002/03, no 8º ano em 2003/04 e no 9º ano até Abril de 2005) constituiu o contexto precursor do estudo. O planeamento, desenvolvimento e reflexão sobre as práticas desenvolvidas foram realizados de forma colaborativa entre a professora investigadora e a critical friend, professora de Matemática a leccionar Matemática a turmas de 9º ano, numa outra Escola, da mesma região de Trás-os-Montes (designada por Escola B). A gestão curricular orientada por pressupostos legais em vigor e por resultados da investigação em Educação e Didáctica da Matemática foi realizada considerando o conhecimento informal e tácito de cada aluno; visou maximizar a aprendizagem matemática de todos os alunos em cada turma mas tendo a preocupação subjacente de proporcionar experiências de aprendizagem diversificadas de forma a favorecer todo o tipo de estilos de aprendizagem. O problema de investigação foi formulado a partir da seguinte questão: Como articular os esforços realizados e desenvolvidos pelo professor na sala de aula, de forma coerente e exequível, para promover aprendizagens significativas nos alunos, nomeadamente no domínio da Geometria? Face ao problema de investigação foram abordadas e estudadas as questões de investigação seguintes: 1. Quais são as características da experiência matemática proporcionada e qual é a sua relação com o que os alunos aprenderam? 2. Quais as características da avaliação implementada enquanto processo regulador das aprendizagens? 3. Qual a relação entre as tarefas de aprendizagem planificadas e as experiências de aprendizagem matemática proporcionadas? 4. Qual o papel das conferências com a critical friend (no desenvolvimento das experiências matemáticas proporcionadas) na gestão curricular? Este trabalho seguiu uma metodologia de investigação de natureza qualitativa baseado num estudo de caso, com uma vertente de investigação-acção, a partir de uma abordagem curricular em Geometria no 3º ciclo do Ensino Básico: a da professora investigadora. A observação participante e uma grande diversidade de documentos recolhidos (tarefas iniciais e reformuladas, cópias de relatórios, diários de bordo, transcrições das gravações áudio das conferências, etc.) constituíram as principais fontes de dados. Também foram considerados dados provenientes de instrumentos mais quantitativos, como de testes e de questionários. A análise de dados tomou como base a unidade de tempo de meio bloco de aulas (45 minutos) e as fases didácticas de realização de tarefas numa escala de investigação meso de forma a respeitar o trabalho na sala de aula e a sua complexidade. A triangulação de diversas fontes de dados permitiu apresentar: i) a experiência matemática proporcionada a partir das tarefas implementadas e os diferentes papéis assumidos pelo professor, pelos pequenos grupos de alunos ou pelo grupo turma; ii) as práticas avaliativas onde foram evidenciadas as diferentes formas de avaliação formativa e o feedback distribuído; iii) o envolvimento induzido e promovido nos alunos relativamente à sua aprendizagem matemática; iv) o papel crucial da critical friend na abordagem curricular em foco. A partir dos testes de competências e do questionário acerca do ensino, da avaliação e do modo de estudar dos alunos (QEAME) foi possível identificar os ganhos e o impacte desta abordagem curricular no desenvolvimento dos três tipos de constelações de competências e as percepções dos alunos relativamente à mediação realizada pela professora investigadora relativamente ao ensino, aprendizagem e métodos de estudo, respectivamente; a Listagem Dinâmica de Perguntas permitiu aumentar a consciência acerca dos itens trabalhados em sala de aula. A principal conclusão deste estudo é de que é possível implementar um currículo que desenvolva e favoreça a aquisição e desenvolvimento de competências na Geometria (desde as mais elementares até às de nível superior – nas diferentes constelações de reprodução, de conexão e de reflexão) onde o trabalho colaborativo entre os professores é fundamental na gestão e desenvolvimento curriculares. Como implicações para a investigação educacional em matemática surge a necessidade de se fomentar estudos investigacionais descritivos e holísticos em salas de aulas normais sobre as opções e razões das práticas de ensino, das actividades de aprendizagem e das diferentes formas de avaliação.

Regularization and Bang-bang conjugate times in optimal control

Consideramos o problema de controlo óptimo de tempo mínimo para sistemas de controlo mono-entrada e controlo afim num espaço de dimensão finita com condições inicial e final fixas, onde o controlo escalar toma valores num intervalo fechado. Quando aplicamos o método de tiro a este problema, vários obstáculos podem surgir uma vez que a função de tiro não é diferenciável quando o controlo é bang-bang. No caso bang-bang os tempos conjugados são teoricamente bem definidos para este tipo de sistemas de controlo, contudo os algoritmos computacionais directos disponíveis são de difícil aplicação. Por outro lado, no caso suave o conceito teórico e prático de tempos conjugados é bem conhecido, e ferramentas computacionais eficazes estão disponíveis. Propomos um procedimento de regularização para o qual as soluções do problema de tempo mínimo correspondente dependem de um parâmetro real positivo suficientemente pequeno e são definidas por funções suaves em relação à variável tempo, facilitando a aplicação do método de tiro simples. Provamos, sob hipóteses convenientes, a convergência forte das soluções do problema regularizado para a solução do problema inicial, quando o parâmetro real tende para zero. A determinação de tempos conjugados das trajectórias localmente óptimas do problema regularizado enquadra-se na teoria suave conhecida. Provamos, sob hipóteses adequadas, a convergência do primeiro tempo conjugado do problema regularizado para o primeiro tempo conjugado do problema inicial bang-bang, quando o parâmetro real tende para zero. Consequentemente, obtemos um algoritmo eficiente para a computação de tempos conjugados no caso bang-bang.

A study of singular integral operators with shift

Nesta tese, consideram-se operadores integrais singulares com a acção extra de um operador de deslocacamento de Carleman e com coeficientes em diferentes classes de funções essencialmente limitadas. Nomeadamente, funções contínuas por troços, funções quase-periódicas e funções possuíndo factorização generalizada. Nos casos dos operadores integrais singulares com deslocamento dado pelo operador de reflexão ou pelo operador de salto no círculo unitário complexo, obtêm-se critérios para a propriedade de Fredholm. Para os coeficientes contínuos, uma fórmula do índice de Fredholm é apresentada. Estes resultados são consequência das relações de equivalência explícitas entre aqueles operadores e alguns operadores adicionais, tais como o operador integral singular, operadores de Toeplitz e operadores de Toeplitz mais Hankel. Além disso, as relações de equivalência permitem-nos obter um critério de invertibilidade e fórmulas para os inversos laterais dos operadores iniciais com coeficientes factorizáveis. Adicionalmente, aplicamos técnicas de análise numérica, tais como métodos de colocação de polinómios, para o estudo da dimensão do núcleo dos dois tipos de operadores integrais singulares com coeficientes contínuos por troços. Esta abordagem permite também a computação do inverso no sentido Moore-Penrose dos operadores principais. Para operadores integrais singulares com operadores de deslocamento do tipo Carleman preservando a orientação e com funções contínuas como coeficientes, são obtidos limites superiores da dimensão do núcleo. Tal é implementado utilizando algumas estimativas e com a ajuda de relações (explícitas) de equivalência entre operadores. Focamos ainda a nossa atenção na resolução e nas soluções de uma classe de equações integrais singulares com deslocamento que não pode ser reduzida a um problema de valor de fronteira binomial. De forma a atingir os objectivos propostos, foram utilizadas projecções complementares e identidades entre operadores. Desta forma, as equações em estudo são associadas a sistemas de equações integrais singulares. Estes sistemas são depois analisados utilizando um problema de valor de fronteira de Riemann. Este procedimento tem como consequência a construção das soluções das equações iniciais a partir das soluções de problemas de valor de fronteira de Riemann. Motivados por uma grande diversidade de aplicações, estendemos a definição de operador integral de Cauchy para espaços de Lebesgue sobre grupos topológicos. Assim, são investigadas as condições de invertibilidade dos operadores integrais neste contexto.

O projeto PmatE e a aprendizagem da matemática no ensino superior

O contexto educacional exige renovação de paradigmas. Impõem-se profundas alterações ao nível do papel e da função do professor e dos alunos, devendo-se privilegiar metodologias de aprendizagem ativas, cooperativas e participativas, rompendo-se com o ensino magistral e a mera transmissão de ‘conhecimentos’. As ferramentas informáticas poderão constituir-se uma mais-valia no contexto educativo, promovendo uma aprendizagem significativa e autorregulada pelo aluno, sempre sob a adequada orientação do professor. Neste contexto, foi criado, na Universidade de Aveiro, o Projeto Matemática Ensino (PmatE), com o principal objetivo de combater, de uma forma inovadora, as causas do insucesso escolar a matemática. No entanto, tal plataforma ainda não foi alvo de uma avaliação sistemática, nomeadamente ao nível do ensino superior, que nos permita concluir da consecução dos seus propósitos. Assim, a questão de investigação subjacente ao estudo em curso é - Qual o impacte da utilização diferenciada, como complemento à abordagem didáctica, da plataforma de ensino assistido (PEA) desenvolvida pelo PmatE na aprendizagem de temas matemáticos ao nível do Ensino Superior, principalmente ao nível da autonomia, da construção e aplicação de conhecimentos e do desenvolvimento de apetências pela Matemática. Para se tentar dar resposta à mesma, implementou-se um estudo misto, quantitativo e qualitativo, com alunos da unidade curricular Análise Matemática I do Curso Engenharia Alimentar de um Instituto Politécnico português, a quem se propôs uma exploração prévia da plataforma extra-aula para que, nesse espaço, se pudesse conceptualizar os conceitos envolvidos e realizar tarefas variadas quanto à sua natureza. Usaram-se como principais técnicas de recolha de dados a análise documental, a inquirição e a observação direta, suportadas pelos diversos instrumentos: Questionário Inicial e Final; testes de avaliação, nas versões pré-teste, pós-teste1 e pós-teste2; produções de uma bateria de tarefas de natureza diversificada; registo computorizado do percurso dos alunos relativamente ao trabalho por eles desenvolvido na plataforma do PmatE; notas de campo; dossier dos alunos e entrevistas. Os resultados obtidos, a partir de uma análise estatística dos dados quantitativos e de conteúdo dos dados qualitativos, indicam, por um lado, que os alunos mais autónomos, mais persistentes e que obtêm os melhores resultados são os alunos que usaram a plataforma com frequência e, por outro, que a utilização da plataforma contribuiu para aumentar o gosto pela Matemática. Este estudo permitiu, também, obter informação importante sobre aspetos que poderão melhorar a plataforma, em particular, relativos à natureza das tarefas e à resolução dos exercícios propostos.

Aprendizagem matemática no ensino superior: a influência da plataforma M@T-educar com sucesso

Novas abordagens educacionais têm vindo a surgir como resultado de mudanças económicas, sociais e políticas, que levaram, a nível europeu ao desenvolvimento do Processo de Bolonha. As instituições de ensino superior enfrentam, assim, novos desafios e oportunidades, nomeadamente, o desenvolvimento de contextos educativos mais centrados nas aprendizagens dos alunos, promotores de cidadãos mais autónomos, mais ativos e mais provocadores, capazes de responderem às exigências da Sociedade do Conhecimento global. Diversos estudos apontam a importância de ambientes online na persecução desses objetivos, designadamente na área da Matemática. Neste contexto, desenvolveu-se a plataforma online – M@t-educar com Sucesso – que, a partir da informação teórica, permite a resolução de tarefas interativas, algumas delas contendo animações, das quais se fornece um feedback imediato, a qual carece de avaliação. Assim, este estudo tem como objetivo principal avaliar a influência da exploração prévia às aulas da referida plataforma no desenvolvimento de conhecimentos e capacidades matemáticas, da autonomia e do interesse por essa área em estudantes do ensino superior. O estudo ocorreu na unidade curricular de Cálculo Infinitesimal do Curso Superior de Gestão de uma instituição do ensino superior. Metodologicamente, optou-se por uma abordagem mista de investigação e pelo design de estudo de caso, tendo-se partido de uma análise macro, envolvendo todos os alunos de Cálculo Infinitesimal, seguida de uma análise meso, considerando os alunos da turma da professora/investigadora, que foi evoluindo para uma análise micro, estudando cinco casos da turma. Para tal, utilizaram-se diversas técnicas de recolha de dados – inquirição, observação e análise documental, suportadas por variados instrumentos. A análise estatística e de conteúdo a que os dados foram submetidos permite concluir que a exploração prévia dos conteúdos através desta plataforma contribui para o desenvolvimento, principalmente, de autonomia e da capacidade de aplicação de conhecimento produzido à resolução de tarefas de diversa natureza.

F. G. Teixeira e a comunidade matemática europeia nos séculos XIX-XX

Esta dissertação descreve o processo de integração dos matemáticos portugueses na comunidade matemática internacional no final do século XIX e início do século XX, focando-se na vida e obra do matemático Francisco Gomes Teixeira (1851-1933). Tenciona a ser mais um contributo para o reconhecimento nacional e internacional do matemático Gomes Teixeira analisando a sua obra como matemático e organizador científico em Portugal através de fontes, parcialmente ainda não conhecidas. Para esse efeito analisou-se a evolução histórica que ocorreu no mundo científico daquela época, em particular a formação da comunidade matemática através de iniciativas individuais ou coletivas, muitas vezes acompanhadas pela fundação de revistas e elaboração de manuais que contribuíram para a internacionalização e, de certa forma, para uma estandardização do estudo universitário básico. Em particular foi estudada a situação em Portugal, onde o papel de liderança foi assumido por Gomes Teixeira. Mostra-se como Gomes Teixeira, graças ao seu trabalho, ao seu talento como matemático e à sua atividade como organizador académico, conseguiu reduzir significativamente o isolamento científico de Portugal na área da matemática. Estudou-se em extensão a fundação de revistas científicas em diferentes países, acompanhando a sua evolução desde de revistas nacionais até revistas internacionais. Focando-nos no Jornal de Sciencias Matemáticas e Astronómicas, fundado em 1877 por Gomes Teixeira (mais tarde conhecido internacionalmente como Teixeira’s Journal), acompanhamos detalhadamente a sua transformação de uma revista nacional numa revista internacional, sendo esta transformação comum naquela época à maioria de revistas científicas importantes de outros países como, por exemplo, no caso do Jornal de Crelle, do Jornal de Liouville, ou outros. Estudou-se igualmente o reconhecimento a nível internacional, através de referências estrangeiras, da abordagem original de Gomes Teixeira à Análise Infinitesimal patente nos seus manuais. O interesse de Gomes Teixeira pela teoria das funções analíticas e pelos seus diferentes desenvolvimentos em série manifestou-se no grande número de artigos publicados sobre este tema e encontrou reconhecimento justo pela designação de um teorema que completa resultados de Lagrange e de Laurent como Teorema de Teixeira. Na sua análise do mérito científico de Gomes Teixeira esta dissertação restringiu-se conscientemente nesta área da Análise Matemática, uma vez que um estudo abrangente de toda a obra ultrapassasse o nosso objetivo. Foi também discutido o intenso intercâmbio científico levado a cabo por Gomes Teixeira através de correspondência e troca de publicações ou permuta de revistas com os matemáticos de diferentes países. Esta análise permitiu verificar um aumento da popularidade dos matemáticos portugueses através do incremento do número de artigos publicados no estrangeiro durante quase 30 anos. Uma fonte imprescindível nesta análise foi o Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, cujas referências (em geral na língua alemã e por isso até agora quase nunca usadas na literatura Portuguesa) documentaram as publicações em quase todas as revistas matemáticas durante os anos da sua existência entre 1868 e 1942. Descreve-se a colaboração de Gomes Teixeira com diferentes organizações internacionais e documenta-se o apreço internacional por parte do mundo académico. Novos documentos traçam o processo de eleição como membro da Academia das Ciências Alemã Leopoldina, sob proposta de Georg Cantor e outros matemáticos alemães. Finalmente, incluí-se uma breve descrição das atividades levadas a cabo na Rússia, em Espanha e na Grécia em prol do processo de internacionalização da comunidade matemática europeia tendo em vista uma melhor contextualização do contributo de Gomes Teixeira para a integração de Portugal neste processo.

Avaliação da gestão curricular da matemática : cursos profissionais III

No mundo do trabalho, designadamente na indústria, acentua-se o défice de competências matemáticas nos profissionais da indústria, particularmente a Modelação Matemática, facto que constitui uma preocupação crescente à escala mundial e, obviamente, do sistema educativo português e da comunidade matemática nacional. Este défice é justificado pela falta de formação dos professores em contexto industrial e, de acordo com a National Council of Teachers of Mathematics, pela incapacidade que muitos docentes têm em apresentar a Matemática aplicada a situações laborais. Face à relevância social, económica e política da problemática descrita, centrou-se o presente estudo na Avaliação da Gestão Curricular da Matemática nos Cursos Profissionais de nível III do ensino secundário em Portugal, com enfoque na Modelação Matemática que, segundo os referentes internacionais, é simultaneamente uma competência e uma metodologia de ensino promotora do desenvolvimento de competências matemáticas nos profissionais da indústria. No contexto da gestão do currículo da Matemática para os cursos profissionais de nível III em escolas secundárias portuguesas, desenvolveu-se o presente estudo para se responder à questão de investigação: Em que medida a gestão curricular da Matemática, instituída, intencional e implementada nos cursos profissionais de nível III contempla situações-problema, suscetíveis de promover o desenvolvimento de competências no aluno, relevantes para o seu desempenho profissional? Construiu-se um referencial de avaliação, centrado na dimensão ecológica, segundo o modelo teórico Enfoque Ontosemiótico, abarcando um conjunto de sub-dimensões sobre as quais foram definidos critérios e respetivos indicadores. De realçar, ainda, que o referencial, além de ter servido de instrumento de avaliação da gestão curricular da Matemática nos cursos profissionais de nível III do ensino secundário, serviu, também, como guia orientador no desenho das sete situações-problema de natureza de Modelação Matemática no estudo de funções. O enquadramento metodológico do presente estudo assentou no método Estudo de Caso. Para analisar o caso, selecionaram-se sete unidades integradas de análise, a saber: a gestão curricular da Matemática de cada um dos seis professores participantes e a gestão curricular da Matemática instituída pelos normativos oficiais (programa da componente de formação científica da disciplina de Matemática para os cursos profissionais). Para a análise dos dados empíricos, respeitantes à gestão instituída, recorreuse à análise de conteúdo e teve essencialmente como propósito avaliar em que medida as orientações curriculares, emanadas no Programa da componente de formação científica disciplina de Matemática para os cursos profissionais de nível III, estão em conformidade com os referenciais teóricos. Sequencialmente, a operacionalização da avaliação intencional consubstanciou-se nos planos das aulas cedidos previamente a cada observação. A análise de conteúdo, como técnica de tratamento dos dados empíricos, foi a forma de se aceder às intenções de cada professor participante no estudo. A observação de aulas sucedeu à avaliação do plano de aula, constituindo a forma de avaliar in loco a gestão curricular da Matemática implementada, permitindo avaliar a coerência das observações com as intenções expressas nas planificações. Os registos das observações foram concretizados sob a forma de notas de campo que incluem uma componente descritiva e outra reflexiva que se dirigem para a análise dos dados empíricos recolhidos. Em termos de resultados, a avaliação da gestão curricular instituída foi reveladora de que o postulado pelos referentes para o desenvolvimento de competências tem a sua representação nas orientações curriculares expressas no Programa da componente de formação científica da disciplina de Matemática para os cursos profissionais de nível III. Contrariamente, a gestão curricular da Matemática pelos professores participantes revelou-se muito condicionada ao cumprimento dos conteúdos propostos pelo programa da disciplina. Por conseguinte, a gestão curricular da Matemática por competências, enfatizada no Programa (gestão instituída), encontrou, neste estudo, pouca tradução na gestão curricular intencional e implementada dos professores participantes, na medida em que a mesma não refletiu uma articulação com a componente de formação técnica do curso, visando uma metodologia proactiva no desenho de situações-problema promotoras de desenvolver, nos alunos, competências profícuas para a sua profissão, nomeadamente a Modelação Matemática. De salientar, ainda, que uma percentagem muito significativa de situações-problema propostas pelos professores não são, no geral, pertinentes para os respetivos cursos, não sendo, neste sentido, promotoras do estabelecimento de ligação com a futura performance profissional dos alunos. Tal lacuna parece ter resultado da ausência de trabalho colaborativo entre os professores de Matemática e os restantes docentes que constituem a equipa formativa do curso, lacuna que dificulta a articulação e coordenação em prol de um ensino contextualizado, ou ainda pela ausência de formação contínua pelos professores, no âmbito de temáticas inerentes à gestão curricular a cursos profissionais.

Exploração matemática de módulos interativos de ciências: um estudo de caso no "Jardim da Ciência" em articulação com a sala de aula com alunos do 1º ciclo do ensino básico

Orientações curriculares portuguesas para o 1.º Ciclo do Ensino Básico [CEB] preconizam o desenvolvimento de capacidades transversais como a resolução de problemas [RP] e a comunicação (em) matemática [CM], o estabelecimento de conexões Matemática–Ciências Físicas e Naturais [CFN] e a articulação de contextos de educação formal [EF] e de educação não formal [ENF]. Em Portugal, professores manifestam querer utilizar recursos didáticos com estes atributos. Contudo, tais recursos escasseiam, assim como investigação que se situa na confluência destas dimensões. Por conseguinte, na presente investigação, foram desenvolvidos recursos didáticos centrados na promoção de conexões Matemática-Ciências Físicas e Naturais e na articulação de contextos de EF e de ENF. Assim, a presente investigação tem por finalidade desenvolver (conceber, produzir, implementar e avaliar) recursos didáticos de exploração matemática de módulos interativos de ciências, articulando contextos de EF e ENF que, nomeadamente, apelem e possam desenvolver capacidades básicas ligadas à RP e à CM de alunos do 1.º CEB. Decorrente desta finalidade, definiram-se as seguintes questões de investigação: 1. Quais as repercussões dos recursos didáticos desenvolvidos na capacidade de RP de alunos do 4.º ano do 1.º CEB?; 2. Quais as repercussões dos recursos didáticos desenvolvidos na capacidade de CM de alunos do 4.º ano do 1.º CEB?. Além disso, procurou-se auscultar a opinião de alunos e professora sobre a exploração dos recursos didáticos desenvolvidos, principalmente, ao nível de conexões Matemática–CFN e articulação de contextos de EF e ENF de Ciências. Para tanto, foi realizado um estudo de caso com uma professora e seus alunos do 4.º ano do 1.º CEB, em sala de aula e num espaço de ENF de Ciências. A recolha de dados envolveu diversas técnicas e vários instrumentos. A técnica de análise documental incidiu nas produções dos alunos registadas em Guiões do Aluno e em Tarefas-Teste. No âmbito da técnica de inquirição foram administrados questionários a todos os alunos da turma – o Questionário Inicial e o Questionário Final – e entrevistas semiestruturadas à professora – a Entrevista Inicial à Professora e a Entrevista Final à Professora – e aos três alunos caso – Entrevista ao aluno caso. No que respeita à técnica de observação foi implementado o instrumento Notas de campo, onde foram efetuados registos de natureza descritiva e reflexiva. Os dados recolhidos foram objeto de análise de conteúdo e de análise estatística. Resultados da investigação apontam para que a exploração dos recursos didáticos desenvolvidos possa ter promovido o desenvolvimento de capacidades matemáticas de RP e, sobretudo, de CM dos alunos. Parecem ainda indicar que, genericamente, os alunos e a professora possam ter considerado que os recursos didáticos promoveram conexões Matemática– CFN e a articulação entre espaços de EF e ENF de Ciências.

A matemática e o comércio em Portugal através das obras de aritméticos do século XVI: Gaspar Nicolas, Ruy Mendes e Bento Fernandes

Esta dissertação tem como objetivo a divulgação de temas e de algoritmos presentes nos tratados de aritmética prática do século XVI. Pretendemos delinear a atuação dos seus autores face aos desafios do mundo mercantil envolvente. Sendo o nosso «ator principal» Ruy Mendes, esta escolha deve-se a dois motivos: entre os três autores é aquele que tem sido menos mencionado e estudado; os interesses de Mendes parecem-nos mais distantes do mundo mercantil. Assim, no desenrolar deste estudo apresentaremos a Prática do ponto de vista da estrutura e organização, contemplando os seguintes pontos: uma Matemática básica; a Matemática pour elle Même; uma Matemática para o comércio. Neste último ponto incluiremos as regras locais do comércio português: a regra de quarto e vintena e a regra da conta de Flandres. Para cada assunto é realizado um estudo comparativo com os dois tratados da mesma época: o Tratado da Pratica d'Arismetica de Gaspar Nicolas e o Tratado da Arte d'Arismetica de Bento Fernandes. Apesar de se tratar de autores já referidos por alguns historiadores, consideramos que não foram ainda estudados do ponto de vista do interesse intrínseco presente no conhecimento histórico da Matemática, bem como na sua atuação relativamente à divulgação do cálculo aritmético e do seu contributo para o desenvolvimento da Matemática através de problemas práticos.