Composition operators on vector-valued BMOA and related function spaces

A composition operator is a linear operator between spaces of analytic or harmonic functions on the unit disk, which precomposes a function with a fixed self-map of the disk. A fundamental problem is to relate properties of a composition operator to the function-theoretic properties of the self-map. During the recent decades these operators have been very actively studied in connection with various function spaces. The study of composition operators lies in the intersection of two central fields of mathematical analysis; function theory and operator theory. This thesis consists of four research articles and an overview. In the first three articles the weak compactness of composition operators is studied on certain vector-valued function spaces. A vector-valued function takes its values in some complex Banach space. In the first and third article sufficient conditions are given for a composition operator to be weakly compact on different versions of vector-valued BMOA spaces. In the second article characterizations are given for the weak compactness of a composition operator on harmonic Hardy spaces and spaces of Cauchy transforms, provided the functions take values in a reflexive Banach space. Composition operators are also considered on certain weak versions of the above function spaces. In addition, the relationship of different vector-valued function spaces is analyzed. In the fourth article weighted composition operators are studied on the scalar-valued BMOA space and its subspace VMOA. A weighted composition operator is obtained by first applying a composition operator and then a pointwise multiplier. A complete characterization is given for the boundedness and compactness of a weighted composition operator on BMOA and VMOA. Moreover, the essential norm of a weighted composition operator on VMOA is estimated. These results generalize many previously known results about composition operators and pointwise multipliers on these spaces.

Aspects of atomic decompositions and Bergman projections

The concept of an atomic decomposition was introduced by Coifman and Rochberg (1980) for weighted Bergman spaces on the unit disk. By the Riemann mapping theorem, functions in every simply connected domain in the complex plane have an atomic decomposition. However, a decomposition resulting from a conformal mapping of the unit disk tends to be very implicit and often lacks a clear connection to the geometry of the domain that it has been mapped into. The lattice of points, where the atoms of the decomposition are evaluated, usually follows the geometry of the original domain, but after mapping the domain into another this connection is easily lost and the layout of points becomes seemingly random. In the first article we construct an atomic decomposition directly on a weighted Bergman space on a class of regulated, simply connected domains. The construction uses the geometric properties of the regulated domain, but does not explicitly involve any conformal Riemann map from the unit disk. It is known that the Bergman projection is not bounded on the space L-infinity of bounded measurable functions. Taskinen (2004) introduced the locally convex spaces LV-infinity consisting of measurable and HV-infinity of analytic functions on the unit disk with the latter being a closed subspace of the former. They have the property that the Bergman projection is continuous from LV-infinity onto HV-infinity and, in some sense, the space HV-infinity is the smallest possible substitute to the space H-infinity of analytic functions. In the second article we extend the above result to a smoothly bounded strictly pseudoconvex domain. Here the related reproducing kernels are usually not known explicitly, and thus the proof of continuity of the Bergman projection is based on generalised Forelli-Rudin estimates instead of integral representations. The minimality of the space LV-infinity is shown by using peaking functions first constructed by Bell (1981). Taskinen (2003) showed that on the unit disk the space HV-infinity admits an atomic decomposition. This result is generalised in the third article by constructing an atomic decomposition for the space HV-infinity on a smoothly bounded strictly pseudoconvex domain. In this case every function can be presented as a linear combination of atoms such that the coefficient sequence belongs to a suitable Köthe co-echelon space.

Att äta eller inte äta, att äta nu eller senare. En studie i ätstörningar ur ett samhällsvetenskapligt perspektiv

Tiivistelmä – Referat – Abstract Anorexi ses i Finland som en psykisk sjukdom med en psykopatologi, som bland andra innefattar rädsla för att bli fet. I min undersökning har jag fått fram tre huvudteman, som förutom andra bakomliggande omständigheter, bidragit till ett insjuknande. De handlar om anorexi som livsstil, bantning och viljan att leva sunt och äta rätt. Med den vaknande sexualiteten väcks intresset för det andra könet och för kroppens utseende i övrigt. I bakgrunden finns känslor av bl.a. ensamhet, ett sökande efter den egna personligheten, ångest och depression. Jag har byggt min studie på patienternas egna berättelser om sitt liv. Perspektivet är samhällsinriktat, och som analysmetod har jag använt mig av narrativet. Jag har lånat idéer både från Vilma Hänninens (1999), Gerhard Riemann och Fritz Schützes (1991) narrativa modeller, och rör mig mellan dem båda. Jag har i första hand intresserat mig för tiden före insjuknandet och de bakomliggande orsaker, som kan tänkas befrämja insjuknandet. Jag har speglat anorektikernas problematik i bl.a. Anthony Giddens (1997) och Zygmund Baumans (1999) teorier om det postmoderna samhället, och ser ätstörningar som en uttrycksform för dåligt befinnande. Samhällsklimatet har blivit hårdare och omsorgen om personer i omgivningen har glömts bort. Vi lever, enligt Giddens (1997), i en skenande värld, viket betyder att förändringarna påverkar existerande beteendemönster i större omfattning och på ett djupare plan än tidigare. Enligt Pennanen (2000) är målsättningen för ätstörningspatienter stressande, svåruppnådd och svårkontrollerbar. Mina informanter berättar om höga målsättningar, prestationskrav, dålig självkänsla och skam över sina kroppar. För att tillfriskna behövs stöd. Men det vikigaste är att personen själv vill bli frisk, och själv ta ansvar för sitt tillfrisknande. Sjukdomen är individuell. Varje person, upplever sin sjukdom personligt men anorektikerna har också många styrkor i sin sjukdom. Avainsanat – Nyckelord – Keywords ätstörningar, anorexi, bulimi

Att äta eller inte äta, att äta nu eller senare. En studie i ätstörningar ur ett samhällsvetenskapligt perspektiv

Anorexi ses i Finland som en psykisk sjukdom med en psykopatologi, som bland andra innefattar rädsla för att bli fet. I min undersökning har jag fått fram tre huvudteman, som förutom andra bakomliggande omständigheter, bidragit till ett insjuknande. De handlar om anorexi som livsstil, bantning och viljan att leva sunt och äta rätt. Med den vaknande sexualiteten väcks intresset för det andra könet och för kroppens utseende i övrigt. I bakgrunden finns känslor av bl.a. ensamhet, ett sökande efter den egna personligheten, ångest och depression. Jag har byggt min studie på patienternas egna berättelser om sitt liv. Perspektivet är samhällsinriktat, och som analysmetod har jag använt mig av narrativet. Jag har lånat idéer både från Vilma Hänninens (1999), Gerhard Riemann och Fritz Schützes (1991) narrativa modeller, och rör mig mellan dem båda. Jag har i första hand intresserat mig för tiden före insjuknandet och de bakomliggande orsaker, som kan tänkas befrämja insjuknandet. Jag har speglat anorektikernas problematik i bl.a. Anthony Giddens (1997) och Zygmund Baumans (1999) teorier om det postmoderna samhället, och ser ätstörningar som en uttrycksform för dåligt befinnande. Samhällsklimatet har blivit hårdare och omsorgen om personer i omgivningen har glömts bort. Vi lever, enligt Giddens (1997), i en skenande värld, viket betyder att förändringarna påverkar existerande beteendemönster i större omfattning och på ett djupare plan än tidigare. Enligt Pennanen (2000) är målsättningen för ätstörningspatienter stressande, svåruppnådd och svårkontrollerbar. Mina informanter berättar om höga målsättningar, prestationskrav, dålig självkänsla och skam över sina kroppar. För att tillfriskna behövs stöd. Men det vikigaste är att personen själv vill bli frisk, och själv ta ansvar för sitt tillfrisknande. Sjukdomen är individuell. Varje person, upplever sin sjukdom personligt men anorektikerna har också många styrkor i sin sjukdom.