Aspects of atomic decompositions and Bergman projections

The concept of an atomic decomposition was introduced by Coifman and Rochberg (1980) for weighted Bergman spaces on the unit disk. By the Riemann mapping theorem, functions in every simply connected domain in the complex plane have an atomic decomposition. However, a decomposition resulting from a conformal mapping of the unit disk tends to be very implicit and often lacks a clear connection to the geometry of the domain that it has been mapped into. The lattice of points, where the atoms of the decomposition are evaluated, usually follows the geometry of the original domain, but after mapping the domain into another this connection is easily lost and the layout of points becomes seemingly random. In the first article we construct an atomic decomposition directly on a weighted Bergman space on a class of regulated, simply connected domains. The construction uses the geometric properties of the regulated domain, but does not explicitly involve any conformal Riemann map from the unit disk. It is known that the Bergman projection is not bounded on the space L-infinity of bounded measurable functions. Taskinen (2004) introduced the locally convex spaces LV-infinity consisting of measurable and HV-infinity of analytic functions on the unit disk with the latter being a closed subspace of the former. They have the property that the Bergman projection is continuous from LV-infinity onto HV-infinity and, in some sense, the space HV-infinity is the smallest possible substitute to the space H-infinity of analytic functions. In the second article we extend the above result to a smoothly bounded strictly pseudoconvex domain. Here the related reproducing kernels are usually not known explicitly, and thus the proof of continuity of the Bergman projection is based on generalised Forelli-Rudin estimates instead of integral representations. The minimality of the space LV-infinity is shown by using peaking functions first constructed by Bell (1981). Taskinen (2003) showed that on the unit disk the space HV-infinity admits an atomic decomposition. This result is generalised in the third article by constructing an atomic decomposition for the space HV-infinity on a smoothly bounded strictly pseudoconvex domain. In this case every function can be presented as a linear combination of atoms such that the coefficient sequence belongs to a suitable Köthe co-echelon space.

Puhtaan matematiikan alaan kuuluva artikkeliväitöskirja käsittelee sekä Coifmanin ja Rochbergin (1980) kehittämää atomidekompositiota että Bergmanin projektion jatkuvuutta tietyissä funktioavaruuksissa. Atomidekompositiossa tietyn alueen kuvaukset voidaan esittää summana yksinkertaisia rakennuspalikoita, atomeja. Klassisessa tapauksessa tämä alue on kompleksitason yksikkökiekko. Minkä tahansa osajoukon atomidekompositio voidaan melko helposti palauttaa klassisen yksikkökiekon tapaukseen Riemannin kuvauslauseen nojalla, mutta näin saatava atomidekompositio ei ole kovin konkreettinen ja sen yhteys alueen geometriaan jää epäselväksi. Ensimmäisessä artikkelissa rakennetaan atomidekompositio suoraan reguloidulle, yhdesti yhtenäiselle alueelle painotetussa Bergman-avaruudessa. Konstruktiossa käytetään alueen geometrisia piirteitä, mutta siinä ei eksplisiittisesti käytetä hyväksi Riemannin kuvausta yksikkökiekolta. On tunnettua, että Bergmanin projektio ei ole jatkuva rajoitettujen mitallisten funktioiden avaruudesta L-ääretön rajoitettujen analyyttisten funktioiden avaruuteen H-ääretön. Taskinen (2004) julkaisi tuloksen lokaalikonvekseista avaruuksista LV-ääretön ja HV-ääretön, jotka ovat tietyssä mielessä pienimmät sellaiset laajennukset avaruuksiin L-ääretön ja H-ääretön, että Bergmanin projektio avaruuksien välillä on jatkuva. Toisessa artikkelissa yllämainitut tulokset yleistetään useamman kompleksimuuttujan tapaukseen pseudokonveksille alueelle. Tällöin aluetta vastaavaa Bergmanin ydintä ei yleensä tunneta eksplisiittisesti, joten jatkuvuuden todistamiseksi käytetään yleistettyä Forelli-Rudin-approksimaatiota. Taskinen (2003) osoitti, että yksikkökiekolle avaruudessa HV-ääretön voidaan rakentaa atomidekompositio. Kolmannessa artikkelissa sama konstruktio tehdään pseudokonveksille alueelle avaruudessa HV-ääretön. Tässä tapauksessa funktioiden dekomposition kerroinjono kuuluu sopivaan Köthen jonoavaruuteen.