A Possible and Necessary Consistency Proof

After Gödel's incompleteness theorems and the collapse of Hilbert's programme Gerhard Gentzen continued the quest for consistency proofs of Peano arithmetic. He considered a finitistic or constructive proof still possible and necessary for the foundations of mathematics. For a proof to be meaningful, the principles relied on should be considered more reliable than the doubtful elements of the theory concerned. He worked out a total of four proofs between 1934 and 1939. This thesis examines the consistency proofs for arithmetic by Gentzen from different angles. The consistency of Heyting arithmetic is shown both in a sequent calculus notation and in natural deduction. The former proof includes a cut elimination theorem for the calculus and a syntactical study of the purely arithmetical part of the system. The latter consistency proof in standard natural deduction has been an open problem since the publication of Gentzen's proofs. The solution to this problem for an intuitionistic calculus is based on a normalization proof by Howard. The proof is performed in the manner of Gentzen, by giving a reduction procedure for derivations of falsity. In contrast to Gentzen's proof, the procedure contains a vector assignment. The reduction reduces the first component of the vector and this component can be interpreted as an ordinal less than epsilon_0, thus ordering the derivations by complexity and proving termination of the process.

Att äta eller inte äta, att äta nu eller senare. En studie i ätstörningar ur ett samhällsvetenskapligt perspektiv

Tiivistelmä – Referat – Abstract Anorexi ses i Finland som en psykisk sjukdom med en psykopatologi, som bland andra innefattar rädsla för att bli fet. I min undersökning har jag fått fram tre huvudteman, som förutom andra bakomliggande omständigheter, bidragit till ett insjuknande. De handlar om anorexi som livsstil, bantning och viljan att leva sunt och äta rätt. Med den vaknande sexualiteten väcks intresset för det andra könet och för kroppens utseende i övrigt. I bakgrunden finns känslor av bl.a. ensamhet, ett sökande efter den egna personligheten, ångest och depression. Jag har byggt min studie på patienternas egna berättelser om sitt liv. Perspektivet är samhällsinriktat, och som analysmetod har jag använt mig av narrativet. Jag har lånat idéer både från Vilma Hänninens (1999), Gerhard Riemann och Fritz Schützes (1991) narrativa modeller, och rör mig mellan dem båda. Jag har i första hand intresserat mig för tiden före insjuknandet och de bakomliggande orsaker, som kan tänkas befrämja insjuknandet. Jag har speglat anorektikernas problematik i bl.a. Anthony Giddens (1997) och Zygmund Baumans (1999) teorier om det postmoderna samhället, och ser ätstörningar som en uttrycksform för dåligt befinnande. Samhällsklimatet har blivit hårdare och omsorgen om personer i omgivningen har glömts bort. Vi lever, enligt Giddens (1997), i en skenande värld, viket betyder att förändringarna påverkar existerande beteendemönster i större omfattning och på ett djupare plan än tidigare. Enligt Pennanen (2000) är målsättningen för ätstörningspatienter stressande, svåruppnådd och svårkontrollerbar. Mina informanter berättar om höga målsättningar, prestationskrav, dålig självkänsla och skam över sina kroppar. För att tillfriskna behövs stöd. Men det vikigaste är att personen själv vill bli frisk, och själv ta ansvar för sitt tillfrisknande. Sjukdomen är individuell. Varje person, upplever sin sjukdom personligt men anorektikerna har också många styrkor i sin sjukdom. Avainsanat – Nyckelord – Keywords ätstörningar, anorexi, bulimi

Att äta eller inte äta, att äta nu eller senare. En studie i ätstörningar ur ett samhällsvetenskapligt perspektiv

Anorexi ses i Finland som en psykisk sjukdom med en psykopatologi, som bland andra innefattar rädsla för att bli fet. I min undersökning har jag fått fram tre huvudteman, som förutom andra bakomliggande omständigheter, bidragit till ett insjuknande. De handlar om anorexi som livsstil, bantning och viljan att leva sunt och äta rätt. Med den vaknande sexualiteten väcks intresset för det andra könet och för kroppens utseende i övrigt. I bakgrunden finns känslor av bl.a. ensamhet, ett sökande efter den egna personligheten, ångest och depression. Jag har byggt min studie på patienternas egna berättelser om sitt liv. Perspektivet är samhällsinriktat, och som analysmetod har jag använt mig av narrativet. Jag har lånat idéer både från Vilma Hänninens (1999), Gerhard Riemann och Fritz Schützes (1991) narrativa modeller, och rör mig mellan dem båda. Jag har i första hand intresserat mig för tiden före insjuknandet och de bakomliggande orsaker, som kan tänkas befrämja insjuknandet. Jag har speglat anorektikernas problematik i bl.a. Anthony Giddens (1997) och Zygmund Baumans (1999) teorier om det postmoderna samhället, och ser ätstörningar som en uttrycksform för dåligt befinnande. Samhällsklimatet har blivit hårdare och omsorgen om personer i omgivningen har glömts bort. Vi lever, enligt Giddens (1997), i en skenande värld, viket betyder att förändringarna påverkar existerande beteendemönster i större omfattning och på ett djupare plan än tidigare. Enligt Pennanen (2000) är målsättningen för ätstörningspatienter stressande, svåruppnådd och svårkontrollerbar. Mina informanter berättar om höga målsättningar, prestationskrav, dålig självkänsla och skam över sina kroppar. För att tillfriskna behövs stöd. Men det vikigaste är att personen själv vill bli frisk, och själv ta ansvar för sitt tillfrisknande. Sjukdomen är individuell. Varje person, upplever sin sjukdom personligt men anorektikerna har också många styrkor i sin sjukdom.

Proofs, Paradoxes, and Probabilities : The Logical Turn of Philosophy in Finland

This monograph describes the emergence of independent research on logic in Finland. The emphasis is placed on three well-known students of Eino Kaila: Georg Henrik von Wright (1916-2003), Erik Stenius (1911-1990), and Oiva Ketonen (1913-2000), and their research between the early 1930s and the early 1950s. The early academic work of these scholars laid the foundations for today's strong tradition in logic in Finland and also became internationally recognized. However, due attention has not been given to these works later, nor have they been comprehensively presented together. Each chapter of the book focuses on the life and work of one of Kaila's aforementioned students, with a fourth chapter discussing works on logic by authors who would later become known within other disciplines. Through an extensive use of correspondence and other archived material, some insight has been gained into the persons behind the academic personae. Unique and unpublished biographical material has been available for this task. The chapter on Oiva Ketonen focuses primarily on his work on what is today known as proof theory, especially on his proof theoretical system with invertible rules that permits a terminating root-first proof search. The independency of the parallel postulate is proved as an example of the strength of root-first proof search. Ketonen was to our knowledge Gerhard Gentzen's (the 'father' of proof theory) only student. Correspondence and a hitherto unavailable autobiographic manuscript, in addition to an unpublished article on the relationship between logic and epistemology, is presented. The chapter on Erik Stenius discusses his work on paradoxes and set theory, more specifically on how a rigid theory of definitions is employed to avoid these paradoxes. A presentation by Paul Bernays on Stenius' attempt at a proof of the consistency of arithmetic is reconstructed based on Bernays' lecture notes. Stenius correspondence with Paul Bernays, Evert Beth, and Georg Kreisel is discussed. The chapter on Georg Henrik von Wright presents his early work on probability and epistemology, along with his later work on modal logic that made him internationally famous. Correspondence from various archives (especially with Kaila and Charlie Dunbar Broad) further discusses his academic achievements and his experiences during the challenging circumstances of the 1940s.