Grothendieck et les topos : rupture et continuité dans les modes d'analyse du concept d'espace topologique

La thèse présente une analyse conceptuelle de l'évolution du concept d'espace topologique. En particulier, elle se concentre sur la transition des espaces topologiques hérités de Hausdorff aux topos de Grothendieck. Il en ressort que, par rapport aux espaces topologiques traditionnels, les topos transforment radicalement la conceptualisation topologique de l'espace. Alors qu'un espace topologique est un ensemble de points muni d'une structure induite par certains sous-ensembles appelés ouverts, un topos est plutôt une catégorie satisfaisant certaines propriétés d'exactitude. L'aspect le plus important de cette transformation tient à un renversement de la relation dialectique unissant un espace à ses points. Un espace topologique est entièrement déterminé par ses points, ceux-ci étant compris comme des unités indivisibles et sans structure. L'identité de l'espace est donc celle que lui insufflent ses points. À l'opposé, les points et les ouverts d'un topos sont déterminés par la structure de celui-ci. Qui plus est, la nature des points change: ils ne sont plus premiers et indivisibles. En effet, les points d'un topos disposent eux-mêmes d'une structure. L'analyse met également en évidence que le concept d'espace topologique évolua selon une dynamique de rupture et de continuité. Entre 1945 et 1957, la topologie algébrique et, dans une certaine mesure, la géométrie algébrique furent l'objet de changements fondamentaux. Les livres Foundations of Algebraic Topology de Eilenberg et Steenrod et Homological Algebra de Cartan et Eilenberg de même que la théorie des faisceaux modifièrent profondément l'étude des espaces topologiques. En contrepartie, ces ruptures ne furent pas assez profondes pour altérer la conceptualisation topologique de l'espace elle-même. Ces ruptures doivent donc être considérées comme des microfractures dans la perspective de l'évolution du concept d'espace topologique. La rupture définitive ne survint qu'au début des années 1960 avec l'avènement des topos dans le cadre de la vaste refonte de la géométrie algébrique entreprise par Grothendieck. La clé fut l'utilisation novatrice que fit Grothendieck de la théorie des catégories. Alors que ses prédécesseurs n'y voyaient qu'un langage utile pour exprimer certaines idées mathématiques, Grothendieck l'emploie comme un outil de clarification conceptuelle. Ce faisant, il se trouve à mettre de l'avant une approche axiomatico-catégorielle des mathématiques. Or, cette rupture était tributaire des innovations associées à Foundations of Algebraic Topology, Homological Algebra et la théorie des faisceaux. La théorie des catégories permit à Grothendieck d'exploiter le plein potentiel des idées introduites par ces ruptures partielles. D'un point de vue épistémologique, la transition des espaces topologiques aux topos doit alors être vue comme s'inscrivant dans un changement de position normative en mathématiques, soit celui des mathématiques modernes vers les mathématiques contemporaines.

Do topos clássico à paisagem cultural: Sintra e a sua envolvência na Antiguidade

Revista do IHA, N.4 (2007), pp.28-53

Derived categories and Grothendieck duality

"Vegeu el resum a l'inici del document del fitxer adjunt."

Grothendieck topologies from unique factorisation systems

This article presents a way to associate a Grothendieck site structure to a category endowed with a unique factorisation system of its arrows. In particular this recovers the Zariski and Etale topologies and others related to Voevodsky's cd-structures. As unique factorisation systems are also frequent outside algebraic geometry, the same construction applies to some new contexts, where it is related with known structures dened otherwise. The paper details algebraic geometrical situations and sketches only the other contexts.

Singular Bott-Chern classes and the arithmetic Grothendieck-Riemann-Roch theorem for closed immersions

We study the singular Bott-Chern classes introduced by Bismut, Gillet and Soulé. Singular Bott-Chern classes are the main ingredient to define direct images for closed immersions in arithmetic K-theory. In this paper we give an axiomatic definition of a theory of singular Bott-Chern classes, study their properties, and classify all possible theories of this kind. We identify the theory defined by Bismut, Gillet and Soulé as the only one that satisfies the additional condition of being homogeneous. We include a proof of the arithmetic Grothendieck-Riemann-Roch theorem for closed immersions that generalizes a result of Bismut, Gillet and Soulé and was already proved by Zha. This result can be combined with the arithmetic Grothendieck-Riemann-Roch theorem for submersions to extend this theorem to arbitrary projective morphisms. As a byproduct of this study we obtain two results of independent interest. First, we prove a Poincaré lemma for the complex of currents with fixed wave front set, and second we prove that certain direct images of Bott-Chern classes are closed.

O que são campos rupestres e campos de altitude nos topos de montanha do leste do Brasil?

(O que são campos rupestres e campos de altitude nos topos de montanha do Leste do Brasil?). Os campos rupestres e os campos de altitude do leste do Brasil ocorrem nas partes mais elevadas da Cadeia do Espinhaço, da Serra da Mantiqueira e da Serra do Mar. Uma vez que há certa confusão sobre a caracterização e os limites geográficos destes dois tipos de vegetação, o objetivo deste trabalho é apresentar uma síntese das opiniões sobre tais ambientes campestres, discutindo sobre a história de suas denominações, localização geográfica, aspectos fisionômicos e afinidades biogeográficas. Embora os campos rupestres e os campos de altitude apresentem certas semelhanças fisionômicas e compartilhem alguns táxons vegetais, ambos os tipos de vegetação devem ser considerados distintos.

Sbiancare un etiope. La pelle cangiante di un topos antico

The book is part of a multi-year investigation on the historical construction and representation of ethnic otherness through the use of language, and focuses on the history of the tópos expressed by the proverb Lavare/sbiancare un etiope (‘to wash an Ethiop white’), a tópos which is traceable in different languages across many centuries (and since II c. A.D.), which stays for either ‘to attempt the impossible’ or ‘to do something useless’. The research also tries to shine a light upon the cultural and social contexts in which ‘Ethiopian’ otherness have generated. Its final goal is to find out how the washing-the-Ethiopian tópos (in its verbal and iconographical forms) has become long-lasting, ductile and semantically productive key expression whose heterogeneous use not only document but also produce and fix otherness in time.

Venedig oder Rom – Disegno e Colore. Ein Topos der Kunstkritik und seine Folgen

Partendo dal concetto di 'regionalismo' oppure d' identità regionale nell'interpretazione che ne ha dato Fernand Braudel ci rendiamo conto che il modo di guardare Venezia e l'arte veneziana con una certa ottica si forma a partire del romanticismo. Sono autori quali John Ruskin e Hippolyte Taine che sulla base della teoria del 'milieu' hanno dato inizio a un metodo della storia dell'arte ottocentesca che identifica il carattere del luogo e della sua gente con l'arte che vi viene prodotta. Il concetto teorico che sta alla base di questo modo di interpretare la pittura, deriva però dal Vasari e si riferiva all'opposizione artistica tra Venezia e Firenze, e al loro antagonismo che secondo Vasari vedeva vincitore il disegno. Dopo Vasari questo concetto viene ripreso da altri teorici italiani, ma all'inizio del Settecento il dibattito si sposta in Francia dove de Piles sulla scia del 'debat des anciens et modernes' dando la palma a Rubens invece di Poussin, prende la parte del colore. Grazie alla diffusione del nuovo gusto per il colore che si diffonde dalla Francia per tutta l'Europa, l'arte veneziana acquista una grandissima riputazione dalla quale approfittano soprattutto i pittori moderni veneziani attivi all'estero, durante il Settecento. Davanti questo sfondo viene sottolineata l'importanza di Venezia per il giovane Mengs che deve il suo primo successo al 'ritratto a pastelli', seguendo il gusto del sovrano sassone Augusto III. A causa dell'incarico per il quadro della chiesa cattolica di Dresda il pittore si porta a Venezia dove studia l'Assunta di Tiziano che si rispecchia nel quadro per Dresda. Dall'incontro con l'arte di Tiziano nasce un intenso dialogo teorico con la sua pittura di modo che Tiziano viene incluso da Mengs nella 'trias' dei tre primi pittori della storia della pittura per la perfezione del suo colore. Tale rivalutazione di Tiziano, pubblicata nei suoi scritti, porta alla revisione generale dei pregiudizi accademici verso la scuola veneziana sul livello teorico e pratico. A Venezia è Andrea Memmo, basandosi sui scritti di Mengs, a dare con la sua 'Orazione' davanti l'Accademia nel 1787 una nuova visione quando abbandona la tradizionale gerarchia 'disegno, colore e chiaroscuro' e con essa anche la tradizionale classifica delle scuole. Angelika Kauffmann che ritrae Memmo durante il suo soggiorno veneziano rappresenta forse il tipo di pittura che Memmo intese come ideale ed è una pittura che riunisce le qualità dei grandi maestri del passato facendolo confluire in un gusto universale. Spetterà poi al Lanzi di introdurre l'idea di una nuova pittura di carattere nazionale che si verifica durante l'Ottocento con i 'Macchiaioli' che danno la prevalenza al colore e non al disegno.