Teorema del viriale e applicazioni astrofisiche

Studio del teorema del viriale e relative applicazioni astrofisiche. In particolare si è studiato un sistema non collisionale formato da un numero grande di particelle. Nelle applicazioni astrofisiche si è considerato come sistema una galassia ellittica.

Teorema del viriale e applicazioni astrofisiche

Il teorema del viriale consiste in una relazione tra energia cinetica e energia potenziale totali di un sistema all'equilibrio. Il concetto di Viriale (dal latino vires, plurale di vis, 'forza') è stato introdotto dal fisico e matematico tedesco Rudolf Julius Emanuel Clausius (1822-1888) per indicare la quantità N
Fi •xi i=1 che rappresenta la somma, fatta su tutte le N particelle di un sistema, dei prodotti scalari del vettore forza totale agente su ciascuna particella per il vettore posizione della particella stessa, rispetto ad un riferimento inerziale scelto. Tale quantità altro non è che un'energia potenziale. Dire che un sistema di particelle è virializzato equivale a dire che esso è stazionario, cioè all'equilibrio. In questo elaborato sono di nostro interesse sistemi astrofisici gravitazionali, in cui cioè l'energia potenziale sia dovuta solo a campi gravitazionali. Distingueremo innanzitutto sistemi collisionali e non collisionali, introducendo i tempi scala di attraversamento e di rilassamento. Dopo una trattazione teorica del teorema, nell'approssimazione di continuità - per cui sostuiremo alle sommatorie gli integrali - e di non collisionalità, an- dremo a studiarne l'importanza in alcuni sistemi astrofisici: applicazione agli ammassi stellari, alle galassie e agli ammassi di galassie, stima della quantità di materia oscura nei sistemi, instabilità di Jeans in nubi molecolari, rotazione delle galassie ellittiche. Per ragioni di spazio non saranno affrontati altri casi, di cui ne citiamo alcuni: collasso delle stelle, stima della massa dei buchi neri al centro delle galassie, 'mass-to-light ratio' di sistemi sferici. Parleremo in generale di “particelle” costituenti i sistemi per intendere stelle, galassie, particelle di gas a seconda del sistema in esame. Trascureremo in ogni caso le influenze gravitazionali di distribuzioni di densità esterne al sistema.

Teorema del Viriale

In questo elaborato si presenta il teorema del viriale, introdotto per la prima volta da R. J. E. Clausius nel 1870. É una relazione fra energia cinetica e poteziale totali di un sistema che, se soddisfatta, implica che questo sia in equilibrio. Sono equivalenti le affermazioni: "sistema virializzato" e "sistema in equilibrio". Sebbene in ordine cronologico la prima formulazione del teorema sia stata quella in forma scalare, ricaveremo, per maggiore generalità, la forma tensoriale, dalla quale estrarremo quella scalare come caso particolare. Sono di nostro interesse i sistemi astrofisici dinamici autogravitanti costituiti da N particelle (intese come stelle, gas etc.), perciò la trattazione teorica è dedotta per tali configurazioni. In seguito ci concentreremo su alcune applicazioni astrofisiche. In primo luogo analizzeremo sistemi autogravitanti, per cui l'unica energia potenziale in gioco è quella dovuta a campi gravitazionali. Sarà quindi ricavato il limite di Jeans per l'instabilità gravitazionale, con conseguente descrizione del processo di formazione stellare, la stima della quantità di materia oscura in questi sistemi e il motivo dello schiacciamento delle galassie ellittiche. Successivamente introdurremo nell'energia potenziale un termine dovuto al campo magnetico, seguendo il lavoro di Fermi e Chandrasekhar, andando a vedere come si modifica il teorema e quali sono le implicazioni nella stabilità delle strutture stellari. Per motivi di spazio, queste trattazioni saranno presentate in termini generali e con approssimazioni, non potendo approfondire casi più specifici.

Teorema del viriale e applicazioni astrofisiche

Il teorema del viriale esprime una delle relazioni più importanti e utilizzate in astrofisica. In questo elaborato il teorema del viriale viene dimostrato in maniera classica per un generico sistema di N corpi, evidenziando in particolare la forma che esso assume in sistemi autogravitanti. Successivamente si forniscono alcune generalizzazioni del teorema e si mostra come esso possa essere dedotto dall’equazione non collisionale di Boltzmann grazie al concetto di funzione di distribuzione. Nella seconda parte della tesi si discutono alcune implicazioni del teorema del viriale per sistemi autogravitanti, quali il meccanismo di Kelvin-Helmholtz nelle stelle e la catastrofe gravotermica negli ammassi globulari. Infine si utilizza il teorema del viriale tensoriale per spiegare come forma, rotazione e anisotropia siano tra loro legate nelle galassie ellittiche.

Aplicación del teorema del umbral estocástico de Whittle a un brote de varicela

OBJETIVO: Estimar el ritmo reproductivo básico en un brote de varicela, aplicar el teorema umbral estocástico para estimar la probabilidad de la ocurrencia del brote e identificar medidas preventivas. MÉTODOS: El estudio fue realizado en una guardería de 16 niños, con 13 susceptibles, un infectado inicial y dos niños inmunes por antecedente de enfermedad. Se partió de un modelo estocástico: susceptible - infectado - removido. Se estimó el ritmo de reproducción básico de la enfermedad R0, usando un método de máxima verosimilitud basado en el conocimiento de la distribución de probabilidades para el tamaño total de la epidemia y haciendo una aproximación de epidemia casi-completa. Con el R0 obtenido se aplicó el teorema de umbral estocástico para obtener algunas medidas preventivas que podrían impedir la irrupción del brote de varicela. RESULTADOS: Cada infectado inicial produjo tres casos nuevos de infección, requiriendo para impedir el brote, una cobertura mínima de vacunación del 62%, o disminuir en 62% el contacto entre miembros del grupo o aumentar en 170% la remoción de infectados. CONCLUSIONES: El teorema del umbral estocástico permite identificar medidas que se podrían implementar para prevenir y controlar brotes de varicela. Aunque la distribución del tamaño de la epidemia en forma bimodal con similar probabilidad de ocurrencia de brotes grandes y pequeños, señala la incertidumbre del proceso epidémico en grupos pequeños, requiriéndose un estrecho seguimiento de los brotes en tales grupos.

Comprensión de las implicaciones del teorema del límite central a través de histogramas : un estudio con estudiantes y profesores de América latina.

Resumen basado en el de la publicación

Actividades de aprendizaje con estadística dinámica : el teorema del límite central.

XII Jornadas de Investigación en el Aula de Matemáticas : estadística y azar, celebradas en Granada, noviembre y diciembre de 2006. Resumen tomado de la publicación

Correzioni asintotiche per il teorema del limite centrale generalizzato.

Vengono presentate correzioni agli sviluppi asintotici di Edgeworth per densità di somme di variabili aleatorie stabili. Queste stime sono successivamente implementate in Matlab, con particolare attenzioni agli approssimanti in forma razionale di Padè. Nell'Appendice viene poi fornita la distribuzione di zeri degli approssimanti di Padè per la funzione esponenziale.

Sul teorema del d'Alembert relativo alle quantità immaginarie; ragionamento.

Mode of access: Internet.

Campi magnetici in astrofisica: determinazione dell'intensità minima e massima del campo magnetico delle pulsar

L’intento dell’elaborato è quello di ricavare i limiti teorici ai quali è soggetta l’intensità del campo magnetico delle pulsar. Troveremo due relazioni: una che esprime il valore massimo dell’intensità del campo magnetico per una pulsar, e una che ne esprime il valore minimo. Combineremo infine i nostri due risultati in una disequazione, nella quale l'intensità del campo magnetico di una pulsar è minorata e maggiorata dai due termini trovati. Il valore massimo che può assumere l’intensità del campo magnetico di una pulsar verrà derivato dalla condizione di stabilità espressa dal teorema del viriale per un sistema sferico rotante in presenza di un campo magnetico. Enunceremo inizialmente il teorema del viriale nella sua forma generale, dopodiché ne presenteremo l'espressione in un caso statico in presenza di un campo magnetico. Abbandoneremo poi il caso statico per includere l'effetto della rotazione, non trascurabile nel caso delle pulsar. Dopo aver adattato la condizione di stabilità derivante dal teorema del viriale al nostro modello di pulsar, ricaveremo il valore massimo dell'intensità del campo magnetico. Il valore minimo che può assumere l’intensità del campo magnetico di una pulsar verrà ricavato uguagliando la potenza emessa dalla pulsar mentre ruota (approssimata ad un dipolo rotante) con la perdita di energia rotazionale che si osserva normalmente per questi oggetti. Otterremo alla fine due termini che delimitano i valori che può assumere l’intensità del campo magnetico per una pulsar. Sostituendo alla relazione trovata i valori di raggio e massa tipici per una pulsar, saremo in grado di riscrivere tale relazione unicamente in funzione del periodo di rotazione della pulsar e della sua derivata rispetto al tempo. Sostituiremo i valori di periodo e derivata temporale del periodo di una pulsar esistente per avere un’idea del range di valori sotteso dai due termini trovati.

Teorema del residuo y algunas de sus aplicaciones

Investigación orientada al Análisis Complejo, presentando la similitud entre la serie de Laurent y la serie de Taylor (excepto cuando la función no es holomorfa) estableciendo la relación que existe entre el residuo y la serie de Laurent. El Teorema del Residuo, es aplicado solamente cuando el número de puntos singulares es finito. Asimismo, se aplicó el cálculo de residuos para evaluar integrales de funciones cuyas trayectorias encierran varias singularidades independientes de cualquier tipo de singularidad (polo, removibles o esenciales). En conclusión, se encontró que es imposible aplicar el teorema de Cauchy para caminos cerrados que encierran puntos singulares, por consiguiente, el teorema del residuo da solución a ese tipo de problemas. Finalmente se aplicó el Teorema del Residuo para sumar series que relacionan el número de polos con el número de enteros en el interior de un camino cerrado.

Teorema del punto fijo de Banach y algunas aplicaciones

El teorema del punto fijo es aplicable a un tipo especial de sucesiones; dicho teorema es utilizado en muchas ciencias aplicadas (economía, ingeniería, informática) así como en las ciencias fundamentales (física, química, biología, etc.). El trabajo investiga la teoría del punto fijo y algunas aplicaciones del Teorema del Punto Fijo de Banach, para elaborar un documento en el que se presenten algunas aplicaciones y la teoría del punto fijo.