Operatori lineari su spazi di Hilbert

La trattazione che segue fornisce un'introduzione agli operatori lineari. Il primo capitolo contiene dei cenni sugli spazi di Hilbert di dimensione infinita, in modo da poter lavorare con operatori definiti non solo su spazi finito dimensionali, che sono generalmente rappresentati da matrici. Nel secondo capitolo si prosegue con lo studio degli operatori lineari limitati, proponendo come esempio l'operatore di proiezione. Viene definito anche l'importante concetto di operatore aggiunto, generalizzato nel capitolo successivo. Il capitolo finale tratta gli operatori non limitati, che possono essere analizzati con più facilità se soddisfano una proprietà topologica, che è la chiusura. Si affronta anche il concetto di spettro di un operatore, soprattutto nel caso di un operatore autoaggiunto, concludendo con l' esempio di un importante operatore, cioè l'operatore differenziale, fondamentale in meccanica quantistica.

Teoria spettrale in spazi di Hilbert

In questa tesi ci si occuperà di presentare alcuni aspetti salienti della teoria spettrale per gli operatori limitati negli spazi di Hilbert. Nel primo capitolo verranno presentate alcune nozioni fondamentali di analisi funzionale, necessarie per lo studio degli operatori. Il secondo capitolo si occupa invece di analizzare la teoria spettrale per operatori compatti. In particolare, verrà presentato il Teorema Spettrale per Operatori Normali Compatti e il Teorema dell'Alternativa di Fredholm. In seguito verrà applicata tale teoria alla risolubilità del problema di Dirichlet. Nel terzo capitolo verrà esteso quanto ottenuto per gli operatori compatti ad operatori limitati autoaggiunti e per gli operatori normali limitati, passando attraverso le famiglie spettrali.

Operatori simmetrici massimali in meccanica quantistica

Si è proposto una serie di 4 assiomi per la MQ più deboli, e quindi più fondamentali, da cui è possibile dedurre i concetti di misura di probabilità, equazione di Schrodinger e operatori autoaggiunti, considerati i pilastri della MQ. Si è cercato di trovare le motivazioni fisiche che rendevano necessaria la loro formulazione e si sono sviluppate le conseguenze matematiche. In particolare ci si è focalizzati nel dimostrare che non a tutte le osservabili possono essere associati operatori simmetrici definiti su tutto lo spazio di Hilbert, da cui l’introduzione negli assiomi della MQ degli operatori simmetrici massimali densamente definiti; il punto fondamentale è che da questi ultimi è stato provato che si può arrivare alla corrispondenza biunivoca tra operatori autoaggiunti ed osservabili fisiche. Si è infine dimostrato che la condizione che un operatore sia simmetrico massimale non implica che esso sia autoaggiunto.

Spettri di operatori compatti e applicazioni

Scopo della tesi è presentare alcuni aspetti della teoria spettrale per operatori compatti definiti su spazi di Hilbert separabili. Il primo capitolo è dedicato al Teorema di esistenza di una base numerabile di autovettori, per operatori compatti autoaggiunti. Nel secondo capitolo sono presentate alcune applicazioni dirette al Laplaciano. Viene dimostrato il teorema di immersione di Sobolev, e come conseguenza dell'immersione compatta, si prova che l'inverso del Laplaciano su aperti limitati è un operatore compatto autoaggiunto. Conseguentemente viene determinata la base dei suoi autovettori, che in dimensione uno è la classica serie di Fourier. Nel terzo capitolo vengono determinate le espressioni analitiche delle basi di autovettori sul quadrato e il cerchio unitario.

Semigruppi generati da operatori lineari multivoci ed applicazioni a problemi di evoluzione degeneri

Studio del problema evolutivo degenere in uno spazio di Banach, con condizioni di tipo parabolico, attraverso la generalizzazione della teoria dei semigruppi al caso di operatori multivoci. Il problema viene dunque ridotto a un'equazione multivoca. Si riporta inoltre come esempio l'equazione del calore di Poisson.

Distribuzioni temperate e loro applicazioni a problemi per operatori differenziali lineari con coefficienti costanti

In questa tesi tratteremo alcune applicazioni della teoria delle distribuzioni, specialmente di quelle temperate. Nei primi capitoli introdurremo i concetti fondamentali di questa teoria e cercheremo di fornire al lettore tutti gli strumenti necessari per affrontare l’argomento principale: la ricerca delle soluzioni fondamentali per un operatore lineare a coefficienti costanti e la risoluzione di problemi differenziali per essi. Infine applicheremo quanto studiato, all’operatore delle onde. Conclude la tesi un’appendice in cui verranno trattate le distribuzioni a simmetria radiale, utili per affrontare il problema di Cauchy per l’equazione delle onde.

Semigruppi di operatori ed equazioni paraboliche

Primi elementi della teoria dei semigruppi di operatori lineari e applicazione del metodo dei semigruppi alle equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo parabolico.

Successioni di polinomi di tipo binomiale e operatori delta

In questa tesi riportiamo le definizioni ed i risultati principali relativi alla corrispondenza tra le successioni di polinomi di tipo binomiale (particolari basi dello spazio dei polinomi a coefficienti reali) e gli operatori delta, cioè operatori lineari sullo spazio dei polinomi che commutano con gli operatori di traslazione e il cui nucleo è costituito dai polinomi costanti. Nel capitolo 1 richiamiamo i concetti fondamentali sull'algebra delle serie formali e definiamo l'algebra degli operatori lineari invarianti per traslazione, dimostrando in particolare l'isomorfismo tra queste algebre. Nel capitolo 2, dopo aver dimostrato l'unicità della successione di base relativa ad un operatore delta, ricaviamo come esempio le successioni di base di tre operatori delta, che useremo durante tutto il capitolo: l'operatore derivata, l'operatore di differenza in avanti e l'operatore di differenza all'indietro. Arriviamo quindi a dimostrare un importante risultato, il Primo Teorema di Sviluppo, in cui facciamo vedere come le potenze di un operatore delta siano una base per l'algebra degli operatori invarianti per traslazione. Introducendo poi le successioni di Sheffer, possiamo dimostrare anche il Secondo Teorema di Sviluppo in cui esplicitiamo l'azione di un operatore invariante per traslazione su un polinomio, tramite un operatore delta fissato e una sua successione di Sheffer. Nell'ultima parte della tesi presentiamo i formalismi e alcune semplici operazioni del calcolo umbrale, che useremo per determinare le cosiddette costanti di connessione, ovvero le costanti che definiscono lo sviluppo di una successione binomiale in funzione di un'altra successione binomiale usata come base dello spazio dei polinomi.

Sugli operatori di misura nella computazione quantistica

Si studia in modo formale una specifica proprietà della Computazione Quantistica. In particolare, il modello di calcolo che si utilizzerà (circuito quantistico) può essere rappresentato da una sequenza di operazioni. Una sequenza è detta mista (circuito misto) se si presentano operazioni classiche e quantistiche in modo alternato (sequenze del tipo Q-C-C-Q-Q-C). Una sequenza in Forma Normale, invece, ammette operazioni classiche solamente all'inizio o alla fine, mentre in mezzo possono esserci solamente operazioni quantistiche (sequenze del tipo C-C-Q-Q-Q-C). Una sequenza di operazioni esclusivamente quantistiche porta numerosi vantaggi, per questo la forma normale è molto importante. Essa infatti separa le operazioni classiche da quelle quantistiche, concentrandole tutte all'interno. Quello che si farà in questa tesi sarà fornire un modo operativo (mediante riscritture) per ottenere la forma normale di una qualsiasi sequenza di operazioni classiche o quantistiche.