Gruppi liberi e giochi di parole

La struttura di gruppo è una delle strutture algebriche più semplici e fondamentali della matematica. Un gruppo si può descrivere in vari modi. Noi abbiamo illustrato la presentazione tramite generatori e relazioni, che consiste sostanzialmente nell'elencare le "regole di calcolo" che valgono nel gruppo considerato, oltre a quelle che derivano dagli assiomi di gruppo. L'idea principale di questa tesi è quella di mostrare come un argomento così tecnico e specifico possa essere reso "elementare" e anche divertente. Siamo partiti dalla costruzione di un gioco, inventando regole da aggiungere di volta in volta. Abbiamo poi tentato di spiegare il medesimo concetto da un punto di vista teorico, tramite la teoria dei gruppi liberi. Si tratta di gruppi che hanno un insieme di generatori soddisfacenti unicamente alle relazioni che sono conseguenza degli assiomi di gruppo.Ogni gruppo è un quoziente di un gruppo libero su un appropriato insieme di generatori per un sottogruppo normale, generato dalle relazioni. Infine si è illustrato il problema della parola formulato da Max Dhen nel 1911, e si è visto come tale problema è risolubile per i gruppi liberi.

Gruppi risolubili

I gruppi risolubili sono tra gli argomenti più studiati nella storia dell'algebra, per la loro ricchezza di proprietà e di applicazioni. Questa tesi si prefigge l'obiettivo di presentare tali gruppi, in quanto argomento che esula da quelli usualmente trattati nei corsi fondamentali, ma che diventa fondamentale in altri campi di studio come la teoria delle equazioni. Il nome di tale classe di gruppi deriva infatti dalla loro correlazione con la risolubilità per formule generali delle equazioni di n-esimo grado. Si ha infatti dalla teoria di Galois che un'equazione di grado n è risolubile per radicali se e solo se il suo gruppo di Galois è risolubile. Da questo spunto di prima e grande utilità, la teoria dei gruppi risolubili ha preso una propria strada, tanto da poter caratterizzare tali gruppi senza dover passare dalla teoria di Galois. Qui viene infatti presentata la teoria dei gruppi risolubili senza far uso di tale teoria: nel primo capitolo esporrò le definizioni fondamentali necessarie per lo studio dei gruppi risolubili, la chiusura del loro insieme rispetto a sottogruppi, quozienti, estensioni e prodotti, e la loro caratterizzazione attraverso la serie derivata, oltre all'esempio più caratteristico tra i gruppi non risolubili, che è quello del gruppo simmetrico. Nel secondo capitolo sono riportati alcuni esempi e controesempi nel caso di gruppi non finiti, tra i quali vi sono il gruppo delle isometrie del piano e i gruppi liberi. Infine nel terzo capitolo viene approfondito il caso dei gruppi risolubili finiti, con alcuni esempi, come i p-gruppi, con un’analisi della risolubilità dei gruppi finiti con ordine minore o uguale a 100.

Gli strumenti per la governance dei gruppi pubblici locali alla luce della riforma Brunetta. Una proposta operativa

Il lavoro ha ad oggetto gli strumenti di programmazione e controllo utilizzabili dagli enti locali ai fini della governance sulle proprie aziende di gestione dei servizi pubblici, alla luce delle riforme che hanno interessato sia il settore considerato, sia i sistemi informativo-contabili delle amministrazioni territoriali. Viene effettuata una proposta, anche in base allo studio della Legge, della dottrina economico aziendale e degli esiti di una ricerca che ha coinvolto i comuni capoluogo di Emilia Romagna e Toscana, per identificare un cruscotto informativo unico che coniughi esigenze informative degli enti locali, semplicità di utilizzo e rispetto della normativa attuale.

Programmazione e controllo dei gruppi pubblici locali. Dagli strumenti esistenti alle soluzioni innovative per la governance.

Il tema dei servizi pubblici locali è sicuramente centrale nell'attuale contesto socio-economico nazionale ed internazionale, in quanto essi hanno un impatto determinante sulle condizioni di vita dei cittadini e sulla competitività dei sistemi economici. In ragione di ciò, negli ultimi anni in Italia numerose riforme si sono susseguite, con lo scopo di individuare l'assetto più efficace ed efficiente per tale settore. Le suddette riforme hanno così ridisegnato il ruolo degli Enti Locali, che saranno sempre meno gestori diretti e sempre più direttori di una multiforme orchestra composta dalle aziende esterne chiamate a fornire in prima persona le prestazioni agli utenti finali. Il presente lavoro si propone di individuare, anche attraverso una ricerca sui Comuni capoluogo di Emilia-Romagna e Toscana, strumenti di programmazione e controllo in ottica di gruppo che consentano agli Enti Locali di svolgere questo nuovo delicato ruolo. Tali strumenti verranno disegnati sulla base delle necessità informative delle amministrazioni indagate e nel rispetto delle più recenti riforme in tema di programmazione, rilevazione, gestione, controllo, valutazione e comunicazione delle performance pubbliche.