Formule di media per le soluzioni dell'equazione del calore.

All'interno della tesi si tratta il modello del calore, di cui si trova una rappresentazione integrale della soluzione fondamentale e da questa, attraverso la seconda identità di Green, vengono ricavate le formule di media superficiali e di volume sugli insiemi di livello su cui è definita la soluzione fondamentale.

Problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore

In quest'elaborato si risolve il problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore, prendendo come oggetto d'esame una sbarra omogenea. Nel primo capitolo si studiano le serie di Fourier reali a partire dalle serie trigonometriche; vengono dati, poi, i principali risultati di convergenza puntuale, uniforme ed in L^2 e si discute l'integrabilità termine a termine di una serie di Fourier. Il secondo capitolo tratta la convergenza secondo Cesàro, le serie di Fejèr ed i principali risultati di convergenza di queste ultime. Nel terzo, ed ultimo, capitolo si risolve il Problema di Cauchy-Dirichlet, distinguendo i casi in cui il dato iniziale sia di classe C^1 o solo continuo; nel secondo caso si propone una risoluzione basata sulle serie di Fejér e sul concetto di barriera ed una utilizzando il nucleo di Green per l'equazione del calore.

Problema di Cauchy per l'equazione del calore e l'equazione delle onde

Oggetto della mia tesi è la trasformata di Fourier e la sua applicazione alla risoluzione dell'equazione del calore e dell'equazione delle onde. Nel primo capitolo ricordo la definizione di trasformata di Fourier, alcune sue proprietà e infine la definizione di Spazi di Schwartz. Nel secondo capitolo risolverò l'equazione del calore e nel terzo l'equazione delle onde.

Problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore di una sbarra omogenea

In questa tesi vengono forniti risultati sulle serie di Fourier e successivamente sulle serie di Fejér, utili per poter analizzare il cosiddetto problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore di una sbarra omogenea. Lo scopo è trovare soluzioni classiche del problema che presenta come dato iniziale dapprima una funzione di classe C^1 e successivamente una funzione solamente continua.

Un'interpretazione del modello classico di Retinex sulla base della funzionalita del LGN

In questa tesi consideriamo il problema della percezione di immagini, e in particolare la sensibilità al contrasto del nostro sistema visivo. Viene studiato il modello classico di Retinex, che descrive l'immagine percepita come soluzione di un'equazione di Poisson. Questo modello viene reinterpretato utilizzando strumenti di geometria differenziale e derivate covarianti. La controparte neurofisiologica del modello è la descrizione della funzionalità del LGN, e della connettività che le lega. Questa viene modellata come un nucleo soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace, con strumenti di teoria delle distribuzioni. L'attività dello strato di cellule è quindi soluzione dell'equazione di Laplace, ovvero la stessa equazione che descrive il Retinex. Questo prova che le cellule sono responsabili della percezione a meno di illuminazione.

La trasformata di Fourier nella valutazione d'opzioni

Lo scopo di questa tesi è di fornire una analisi sistematica delle condizioni necessarie per l’esistenza delle formule di valutazione di opzioni che impiegano la trasformata di Fourier. Perchè la trasformata di Fourier? Se assumiamo che il processo del prezzo del sottostante sia un processo di Lévy noi non conosciamo solitamente la sua Legge di probabilità ma sempre la sua funzione caratteristica che è proprio la trasformata di Fourier della Legge.

Modelli diffusivi ed effetti di ritardo nella conduzione del calore e nella dinamica delle popolazioni.

In questi tesi viene studiata la teoria classica di diffusione del calore come modello parabolico per cui viene calcolata una soluzione attraverso il metodo di separazione delle variabili e il metodo delle onde dispersive. Viene poi affrontata la teoria alternativa proposta da Cattaneo del modello iperbolico del calore, allo scopo di superare il paradosso di velocità di propagazione infinita. Si conclude con alcuni esempi in cui lo stesso ragionamento viene applicato in diverse teorie diffusive e di reazione-diffusione in ambiti bio-matematici, come ad esempio la dinamica delle popolazioni.

L'operatore del calore

Nell'elaborato si introduce l'operatore del calore e le funzioni caloriche mostrandone alcuni esempi. Di seguito si deduce la soluzione fondamentale dell'operatore H evidenziandone alcune importanti proprietà. Si procede, poi, con l'introduzione dell'Identità di Green per l'operatore del calore e da questa si ricava la formula di media per le funzioni caloriche. Grazie a tale formula di media si evidenzia una cruciale proprietà delle funzioni caloriche: la loro regolarità C-infinito. Di seguito si deduce un'espressione migliorata per la formula di media calorica avente come vantaggio quello di avere un nucleo limitato. Si procede, quindi, mostrando alcune conseguenze dell'espressione migliorata dimostrata: si ricava, infatti, in modo diretto la disuguaglianza di Harnack e il principio di massimo forte. L'elaborato procede, poi, con lo studio del problema di Cauchy relativo all'operatore del calore. Infine si analizzano i teoremi di Liouville per le funzioni caloriche.

Sviluppo di un simulatore per la propagazione del calore nei data center

Questa tesi tratta lo sviluppo di un software in grado di simulare le dinamiche tra fluidi e oggetti considerando la propagazione del calore in vista di possibili applicazioni rivolte ad ambienti in cui lo stato termico del sistema e' critico (data center).

L'equazione del mezzo poroso: proprieta matematiche e applicazioni fisiche

In questa tesi viene presentata una breve trattazione matematica dell' equazione del mezzo poroso. Questa è uno dei più semplici esempi di PDE parabolica non lineare e degenere, che appare nella descrizione di molti fenomeni naturali, legati alla diffusione, filtrazione e propagazione del calore. I risultati sono confrontati con quelli ben noti del modello parabolico classico. Una particolare attenzione è rivolta alla proprietà matematica di propagazione finita che contrasta con il paradosso della velocità infinita, tipico del modello parabolico lineare.

La trasformata di Radon e la sua applicazione nella ricostruzione di immagini

Scopo di questo lavoro è mostrare una soluzione al problema della ricostruzione delle immagini basata sullo strumento matematico della trasformata di Radon. In un primo momento si introdurrà il problema legato ad un particolare ambito, quello medico; ci si focalizzerà, infatti sui principi di funzionamento della TAC (tomografia assiale computerizzata)e si cercherà di chiarire dal punto di vista fisico come la trasformata di Radon del coefficiente di attenuazione del materiale sia utile per visualizzare degli organi o comunque degli oggetti che altrimenti non potrebbero essere visibili, se non rompendo la struttura che li contiene. Dopo aver raccontato un po' di storia della TAC, sarà necessario quindi definire tale trasformata, le sue principali proprietà e trovare una formula per la sua inversione. Si mostrerà che la sola formula d'inversione non potrà essere utilizzata a livello pratico; si ricaverà allora un algoritmo di retroproiezione filtrata, basato sulla trasformata di Radon, applicato per visualizzare delle immagini tramite TAC.

Il metodo di steepest descent per la regolarizzazione di immagini

Scopo della tesi è la descrizione di un metodo per il calcolo di minimi di funzionali, basato sulla steepest descent. L'idea principale è quella di considerare un flusso nella direzione opposta al gradiente come soluzione di un problema di Cauchy in spazi di Banach, che sotto l'ipotesi di Palais-Smale permette di determinare minimi. Il metodo viene applicato al problema di denoising e segmentazione in elaborazione di immagini: vengono presentati metodi classici basati sull'equazione del calore, il total variation ed il Perona Malik. Nell'ultimo capitolo il grafico di un'immagine viene considerato come varietà, che induce una metrica sul suo dominio, e viene nuovamente utilizzato il metodo di steepest descent per costruire algoritmi che tengano conto delle caratteristiche geometriche dell'immagine.

Trasformata di Fourier e trasformata Wavelet

Questo elaborato si concentra sullo studio della trasformata di Fourier e della trasformata Wavelet. Nella prima parte della tesi si analizzano gli aspetti fondamentali della trasformata di Fourier. Si definisce poi la trasformata di Fourier su gruppi abeliani finiti, richiamando opportunamente la struttura di tali gruppi. Si mostra che calcolare la trasformata di Fourier nel quoziente richiede un minor numero di operazioni rispetto a calcolarla direttamente nel gruppo di partenza. L'ultima parte dell'elaborato si occupa dello studio delle Wavelet, dette ondine. Viene presentato quindi il sistema di Haar che permette di definire una funzione come serie di funzioni di Haar in alternativa alla serie di Fourier. Si propone poi un vero e proprio metodo per la costruzione delle ondine e si osserva che tale costruzione è strettamente legata all'analisi multirisoluzione. Un ruolo cruciale viene svolto dall'identità di scala, un'identità algebrica che permette di definire certi coefficienti che determinano completamente le ondine. Interviene poi la trasformata di Fourier che riduce la ricerca dei coefficienti sopra citati, alla ricerca di certe funzioni opportune che determinano esplicitamente le Wavelet. Non tutte le scelte di queste funzioni sono accettabili. Ci sono vari approcci, qui viene presentato l'approccio di Ingrid Daubechies. Le Wavelet costituiscono basi per lo spazio di funzioni a quadrato sommabile e sono particolarmente interessanti per la decomposizione dei segnali. Sono quindi in relazione con l'analisi armonica e sono adottate in un gran numero di applicazioni. Spesso sostituiscono la trasformata di Fourier convenzionale.