Bootstrap percolation on homogeneous trees has 2 phase transitions

We study the threshold theta bootstrap percolation model on the homogeneous tree with degree b + 1, 2 <= theta <= b, and initial density p. It is known that there exists a nontrivial critical value for p, which we call p(f), such that a) for p > p(f), the final bootstrapped configuration is fully occupied for almost every initial configuration, and b) if p < p(f) , then for almost every initial configuration, the final bootstrapped configuration has density of occupied vertices less than 1. In this paper, we establish the existence of a distinct critical value for p, p(c), such that 0 < p(c) < p(f), with the following properties: 1) if p <= p(c), then for almost every initial configuration there is no infinite cluster of occupied vertices in the final bootstrapped configuration; 2) if p > p(c), then for almost every initial configuration there are infinite clusters of occupied vertices in the final bootstrapped configuration. Moreover, we show that 3) for p < p(c), the distribution of the occupied cluster size in the final bootstrapped configuration has an exponential tail; 4) at p = p(c), the expected occupied cluster size in the final bootstrapped configuration is infinite; 5) the probability of percolation of occupied vertices in the final bootstrapped configuration is continuous on [0, p(f)] and analytic on (p(c), p(f) ), admitting an analytic continuation from the right at p (c) and, only in the case theta = b, also from the left at p(f).

Comportamento assintótico e controlabilidade exata para a equação de Klein-Gordon

Pós-graduação em Matemática - IBILCE

La concezione epistemica dell'analiticità: un dibattito in corso

Il lavoro è una riflessione sugli sviluppi della nozione di definizione nel recente dibattito sull'analiticità. La rinascita di questa discussione, dopo le critiche di Quine e un conseguente primo abbandono della concezione convenzionalista carnapiana ha come conseguenza una nuova concezione epistemica dell'analiticità. Nella maggior parte dei casi le nuove teorie epistemiche, tra le quali quelle di Bob Hale e Crispin Wright (Implicit Definition and the A priori, 2001) e Paul Boghossian (Analyticity, 1997; Epistemic analyticity, a defence, 2002, Blind reasoning, 2003, Is Meaning Normative ?, 2005) presentano il comune carattere di intendere la conoscenza a priori nella forma di una definizione implicita (Paul Horwich, Stipulation, Meaning, and Apriority, 2001). Ma una seconda linea di obiezioni facenti capo dapprima a Horwich, e in seguito agli stessi Hale e Wright, mettono in evidenza rispettivamente due difficoltà per la definizione corrispondenti alle questioni dell'arroganza epistemica e dell'accettazione (o della stipulazione) di una definizione implicita. Da questo presupposto nascono diversi tentativi di risposta. Da un lato, una concezione della definizione, nella teoria di Hale e Wright, secondo la quale essa appare come un principio di astrazione, dall'altro una nozione della definizione come definizione implicita, che si richiama alla concezione di P. Boghossian. In quest'ultima, la definizione implicita è data nella forma di un condizionale linguistico (EA, 2002; BR, 2003), ottenuto mediante una fattorizzazione della teoria costruita sul modello carnapiano per i termini teorici delle teorie empiriche. Un'analisi attenta del lavoro di Rudolf Carnap (Philosophical foundations of Physics, 1966), mostra che la strategia di scomposizione rappresenta una strada possibile per una nozione di analiticità adeguata ai termini teorici. La strategia carnapiana si colloca, infatti, nell'ambito di un tentativo di elaborazione di una nozione di analiticità che tiene conto degli aspetti induttivi delle teorie empiriche