Croissance et ensemble nodal de fonctions propres du laplacien sur des surfaces

Dans cette thèse, nous étudions les fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami - ou simplement laplacien - sur une surface fermée, c'est-à-dire une variété riemannienne lisse, compacte et sans bord de dimension 2. Ces fonctions propres satisfont l'équation $\Delta_g \phi_\lambda + \lambda \phi_\lambda = 0$ et les valeurs propres forment une suite infinie. L'ensemble nodal d'une fonction propre du laplacien est celui de ses zéros et est d'intérêt depuis les expériences de plaques vibrantes de Chladni qui remontent au début du 19ème siècle et, plus récemment, dans le contexte de la mécanique quantique. La taille de cet ensemble nodal a été largement étudiée ces dernières années, notamment par Donnelly et Fefferman, Colding et Minicozzi, Hezari et Sogge, Mangoubi ainsi que Sogge et Zelditch. L'étude de la croissance de fonctions propres n'est pas en reste, avec entre autres les récents travaux de Donnelly et Fefferman, Sogge, Toth et Zelditch, pour ne nommer que ceux-là. Notre thèse s'inscrit dans la foulée du travail de Nazarov, Polterovich et Sodin et relie les propriétés de croissance des fonctions propres avec la taille de leur ensemble nodal dans l'asymptotique $\lambda \nearrow \infty$. Pour ce faire, nous considérons d'abord les exposants de croissance, qui mesurent la croissance locale de fonctions propres et qui sont obtenus à partir de la norme uniforme de celles-ci. Nous construisons ensuite la croissance locale moyenne d'une fonction propre en calculant la moyenne sur toute la surface de ces exposants de croissance, définis sur de petits disques de rayon comparable à la longueur d'onde. Nous montrons alors que la taille de l'ensemble nodal est contrôlée par le produit de cette croissance locale moyenne et de la fréquence $\sqrt{\lambda}$. Ce résultat permet une reformulation centrée sur les fonctions propres de la célèbre conjecture de Yau, qui prévoit que la mesure de l'ensemble nodal croît au rythme de la fréquence. Notre travail renforce également l'intuition répandue selon laquelle une fonction propre se comporte comme un polynôme de degré $\sqrt{\lambda}$. Nous généralisons ensuite nos résultats pour des exposants de croissance construits à partir de normes $L^q$. Nous sommes également amenés à étudier les fonctions appartenant au noyau d'opérateurs de Schrödinger avec petit potentiel dans le plan. Pour de telles fonctions, nous obtenons deux résultats qui relient croissance et taille de l'ensemble nodal.

Géométrie nodale et valeurs propres de l’opérateur de Laplace et du p-laplacien

La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse.

Métrique sur le fibré unitaire tangent au plan hyperbolique

RÉSUMÉ: Toute variété différentiable $M$ admet une métrique dite métrique riemannienne.\\ En définissant $\mathbb{H}=\lbrace z\in\mathbb{C}: Im(z)>0\rbrace$, on peut munir de $\mathbb{H}$ d'une métrique riemannienne $ds^{2}=\frac{dzd\bar{z}}{(Im(z))^{2}}=\frac{dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}$.\\ Muni de cette métrique, $\mathbb{H}$ est une variété riemannienne à la quelle on associe le fibré tangent, $T\mathbb{H}$ ainsi que le fibré unitaire tangent, $T^{1}\mathbb{H}$. Les éléments de $T^{1}\mathbb{H}$ peuvent être exprimés, de façon bijective, en termes des éléments du groupe PSL(2,$\mathbb{R}$) dont l'action sur $T^{1}\mathbb{H}$ est transitive et libre.\\ La métrique définie sur $M$ (en particulier sur $M=\mathbb{H}$) permet de définir sur $TM$ (en particulier sur $T^{1}\mathbb{H}$) une métrique connue sous le nom de métrique de Sasaki.

Quotients d'une variété algébrique par un groupe algébrique linéairement réductif et ses sous-groupes maximaux unipotents

La construction d'un quotient, en topologie, est relativement simple; si $G$ est un groupe topologique agissant sur un espace topologique $X$, on peut considérer l'application naturelle de $X$ dans $X/G$, l'espace d'orbites muni de la topologie quotient. En géométrie algébrique, malheureusement, il n'est généralement pas possible de munir l'espace d'orbites d'une structure de variété. Dans le cas de l'action d'un groupe linéairement réductif $G$ sur une variété projective $X$, la théorie géométrique des invariants nous permet toutefois de construire un morphisme de variété d'un ouvert $U$ de $X$ vers une variété projective $X//U$, se rapprochant autant que possible d'une application quotient, au sens topologique du terme. Considérons par exemple $X\subseteq P^{n}$, une $k$-variété projective sur laquelle agit un groupe linéairement réductif $G$ et supposons que cette action soit induite par une action linéaire de $G$ sur $A^{n+1}$. Soit $\widehat{X}\subseteq A^{n+1}$, le cône affine au dessus de $\X$. Par un théorème de la théorie classique des invariants, il existe alors des invariants homogènes $f_{1},...,f_{r}\in C[\widehat{X}]^{G}$ tels que $$C[\widehat{X}]^{G}= C[f_{1},...,f_{r}].$$ On appellera le nilcone, que l'on notera $N$, la sous-variété de $\X$ définie par le locus des invariants $f_{1},...,f_{r}$. Soit $Proj(C[\widehat{X}]^{G})$, le spectre projectif de l'anneau des invariants. L'application rationnelle $$\pi:X\dashrightarrow Proj(C[f_{1},...,f_{r}])$$ induite par l'inclusion de $C[\widehat{X}]^{G}$ dans $C[\widehat{X}]$ est alors surjective, constante sur les orbites et sépare les orbites autant qu'il est possible de le faire; plus précisément, chaque fibre contient exactement une orbite fermée. Pour obtenir une application régulière satisfaisant les mêmes propriétés, il est nécessaire de jeter les points du nilcone. On obtient alors l'application quotient $$\pi:X\backslash N\rightarrow Proj(C[f_{1},...,f_{r}]).$$ Le critère de Hilbert-Mumford, dû à Hilbert et repris par Mumford près d'un demi-siècle plus tard, permet de décrire $N$ sans connaître les $f_{1},...,f_{r}$. Ce critère est d'autant plus utile que les générateurs de l'anneau des invariants ne sont connus que dans certains cas particuliers. Malgré les applications concrètes de ce théorème en géométrie algébrique classique, les démonstrations que l'on en trouve dans la littérature sont généralement données dans le cadre peu accessible des schémas. L'objectif de ce mémoire sera, entre autres, de donner une démonstration de ce critère en utilisant autant que possible les outils de la géométrie algébrique classique et de l'algèbre commutative. La version que nous démontrerons est un peu plus générale que la version originale de Hilbert \cite{hilbert} et se retrouve, par exemple, dans \cite{kempf}. Notre preuve est valide sur $C$ mais pourrait être généralisée à un corps $k$ de caractéristique nulle, pas nécessairement algébriquement clos. Dans la seconde partie de ce mémoire, nous étudierons la relation entre la construction précédente et celle obtenue en incluant les covariants en plus des invariants. Nous démontrerons dans ce cas un critère analogue au critère de Hilbert-Mumford (Théorème 6.3.2). C'est un théorème de Brion pour lequel nous donnerons une version un peu plus générale. Cette version, de même qu'une preuve simplifiée d'un théorème de Grosshans (Théorème 6.1.7), sont les éléments de ce mémoire que l'on ne retrouve pas dans la littérature.

Influence de la variété de laitue (Lactuca sativa) sur le puceron (Nasonovia ribisnigri) et le parasitoïde (Aphidius ervi) dans le contexte d’une relation tritrophique

Plusieurs recherches sont effectuées sur la laitue commercialisée (Lactuca sativa L.), afin d’améliorer sa résistance aux ravageurs. L’objectif de cette étude est d’examiner les impacts de la résistance de la laitue sur le puceron de la laitue, Nasonovia ribisnigri (Mosley) (Hemiptera : Aphididae) et son parasitoïde, Aphidius ervi Haliday (Hymenoptera: Braconidae). La résistance de la laitue affecte négativement la valeur adaptative du puceron en augmentant sa mortalité et son temps de développement et en diminuant sa fécondité, sa taille et son poids. Cet impact sur la valeur adaptative du puceron affecte aussi négativement le parasitoïde qui s'y développe en diminuant le pourcentage d’émergence, la taille et le poids des adultes, et en diminuant la fécondité des femelles. La femelle parasitoïde estime de manière absolue la qualité de ses hôtes puisqu’elle peut discriminer entre des hôtes de bonne et de faible qualité, sans expérience préalable. L’acceptation des hôtes de bonne qualité est similaire lorsqu’ils sont présentés successivement à la femelle; l’estimation de la valeur des hôtes est donc adéquate dès la première rencontre. Cependant, cet estimé absolu est modifié par l'expérience, puisque la femelle peut changer son exploitation selon la qualité des agrégats rencontrés. Lorsque des hôtes de basse qualité sont présentés successivement, l’acceptation de la femelle augmente. Accepter des hôtes de mauvaise qualité pour l’oviposition peut être préférable que de risquer de ne pas pondre tous ses œufs. L’utilisation d’une estimation absolue et relative par A. ervi peut mener à une exploitation optimale des agrégats.

En resa som gör skillnad : En undersökning om hur svenska unga människor, som varit volontärer i sydländer, förstår volontärverksamheten.

Syftet med denna undersökning var att studera den förståelse som svenska unga människor, som varit iväg som volontärer till länder i syd, har av den svenska volontärverksamhetens funktion. För att kunna besvara syftet intervjuades sex unga kvinnor som varit iväg på en volontärresa med organisationen Internationellt Kulturutbyte (IKU) någon gång sedan år 2000. Intervjuerna kretsade kring fyra teman som syftade till att ringa in synen på verksamhetens funktion: motiv, förväntningar, påverkan och allmän förståelse av verksamhetens funktion. Resultatet visade att alla informanterna la stor vikt vid själva resan och den ”unika” upplevelse den givit dem. Tack vare volontärverksamheten fick de möjligheten att uppfylla sina drömmar och göra det där ”annorlunda” som många unga människor drömmer om. Det framkom också att det fanns en ganska stark vilja att hjälpa till och göra någon nytta, men eftersom organisationerna inte vill tala om bistånd blir detta en tyst funktion. Resultatet visade också på den utvecklings- och förändringspotential som denna verksamhet har eftersom informanterna sprider information, erfarenheter och kunskaper när de kommer hem till Sverige. Dessutom så var alla informanterna engagerade i något som anknyter till det globala. Att informanterna vill engagera sig, och att de vill berätta om sina erfarenheter, får konsekvenser för Sveriges bistånd, men som studien också visade behövs en större uppföljning av de hemkomna volontärerna ifall verksamhetens funktion ska vara att skapa handlings- och förändringskraft. Slutligen visade studien att informanterna inte åkte med motivet att de ville uppnå personlig utveckling, något som var fallet för många ungdomar i en liknande studie i Australien.

Att bli, att vara och att ha varit - om ingångar i och utgångar ur Jehovas vittnen i Sverige

Summary To become, to be and to have been: about the  Jehovah’s Witnesses The Watchtower Bible and Tract Society, in the following text referred to as the Jehovah’s Witnesses or “the organisation”, is a worldwide Christian organisation with about 6.7 million members. The organisation has many times, without any success so far, proclaimed Armageddon when they expect Jehovah to return to Earth. They interpret the Bible in their own, often very literal way, and require their members to live according to these interpretations. Among the consequences of this, members are forbidden to vote, to do military service or to receive blood transfusions. Apart from attending the three weekly meetings, members are expected to be active in missionary work, known as “publishing”. If a member fails to do a certain number of hours’ publishing, he or she risks being deprived of active membership status Sweden in general is considered to be a society where the population is not very religious. The formerly state-governed Lutheran church has lost its influence and the vast majority of ordinary Swedes do not visit church on other occasions than weddings, funerals or christenings. Expressing one’s own religious values has become somewhat of a private matter where publicity is seldom appreciated, which is contrary to the practice of the Jehovah’s Witnesses. This is one of the reasons why the Jehovah’s Witnesses are commonly perceived by average Swedes as a “suspicious” religious organisation. The aim and methods of the study This dissertation seeks to describe and investigate the entering and leaving of a highly structured and hierarchical religious community, exemplified in this case by the Jehovah’s Witnesses. What are the thoughts and aspirations of someone who is considering becoming a Jehovah’s Witness? What are the priorities and what experiences seem important when a person is going through such a process? And when this person has finally reached his or her goal of becoming a member, is it the same motivation that makes him or her stay in the organisation for longer periods of time, possibly for the rest of their lives, or does it change during the process of entering, or does this motivation change its character during the transition from entering to being a regular member? Why do some of the members change their attitude to the Jehovah’s Witnesses from rejoicing to bitterness? And how does this process of exit manifest itself? In what way is it different from the process of entry? The respondents in this study were chosen from both active members of the Jehovah’s Witnesses in Sweden and those who have left the organisation for personal reasons. Repeated interviews with ten active members of the organisation have been conducted in the course of the study and compared to equal numbers of former members. The interviews have been semi-structured to deal with questions of how a person has come into contact with the organisation; how they retrospectively experienced the process of entry; the reasons for becoming a member. Questions have also been asked about life in the organisation. The group of “exiters” have also been asked about the experience of leaving, why they wanted to leave, and how this process was started and carried out. In addition to this I have analysed a four-year diary describing the time inside and the process of leaving the organisation. This has given me an extra psychological insight into the inner experience of someone who has gone through the whole process. The analysis has been done by categorising the content of the transcribed interviews. An attempt to outline a model of an entry and exit process has been made, based on ideas and interpretations presented in the interviews. The analysis of the diary has involved thorough reading, resulting in a division of it into four different parts, where each part has been given a certain key-word, signifying the author’s emotional state when writing it. A great deal of the information about the Jehovah’s Witnesses has been collected through discussion boards on the Internet, informal talks with members and ex-members, interviews with representatives of the organisations during visits to its different offices (Bethels), such as St. Petersburg, Russia, and Brooklyn, New York, USA. The context Each organisation evolves in its own context with its own norms, roles and stories that would not survive outside it. With this as a starting point, there is a chapter dedicated to the description of the organisation’s history, structure and activities. It has been stated that the organisation’s treatment of its critical members and the strategies for recruiting new members have evolved over the years of its history. At the beginning there was an openness allowing members to be critical. As the structure of the organisation has become more rigid and formalised, the treatment of internal critics has become much less tolerated and exclusion has become a frequent option. As a rule many new members have been attracted to the organisation when (1) the day of Armageddon has been pronounced to be approaching; (2) the members of the organisation have been persecuted or threatened with persecution; and (3) the organisation has discovered a “new market”. The processes for entering and exiting How the entering processes manifest themselves depends on whether the person has been brought up in the organisation or not. A person converting as an adult has to pass six phases before being considered a Jehovah’s Witness by the organisation. These are:  Contact with the Jehovah’s Witnesses, Studying the bible with members of the organisation, Questioning, Accepting, Being active as publisher (spreading the belief), Being baptised.  For a person brought up in the organisation, the process to full membership is much shorter:   Upbringing in the organisation, Taking a stand on the belief, Being baptised. The exit process contains of seven phases:   Different levels of doubts, Testing of doubts, Turning points, Different kinds of decisions, Different steps in executing the decisions, Floating, a period of emotional and cognitive consideration of membership and its experiences, Realtive neutrality.   The process in and the process out are both slow and are accompanied with anguish and doubts. When a person is going through the process in or out of the organisation he or she experiences criticism. This is when people around the adept question the decision to continue in the process. The result of the criticism depends on where in the process the person is. If he or she is at the beginning of the process, the criticism will probably make the person insecure and the process will slow down or stop. If the criticism is pronounced in a later phase, the process will probably speed up. The norms of the organisation affect the behaviour of the members. There are techniques for inclusion that both bind members to the organisation and shield them off from the surrounding society. Examples of techniques for inclusion are the “work situation” and “closed doors”. The work situation signifies that members who do as the organisation recommends – doing simple work – often end up in the same branch of industry as many other Jehovah’s Witnesses. This often means that the person has other witnesses as workmates. If the person is unemployed or moves to another town it is easy to find a new job through connections in the organisation. Doubts and exclusions can lead to problems since they entail a risk of losing one’s job. This can also result in problems getting a new job. Jehovah’s Witnesses are not supposed to talk to excluded members, which of course mean difficulties working together. “Closed doors” means that members who do as the organisation recommends – not pursuing higher education, not engaging in civil society, working with a manual or in other way simple job, putting much time into the organisation – will, after a long life in the organisation, have problems starting a new life outside the Jehovah’s Witnesses. The language used in the organisation shows the community among the members, thus the language is one of the most important symbols. A special way of thinking is created through the language. It binds members to the organisation and sometimes it can work as a way to get back into the normative world of the organisation. Randall Collins’s (1990, 2004) thoughts about “emotional energy” have enabled an understanding of the solidarity and unity in the organisation. This also gives an understanding of the way the members treat doubting and critical members. The members who want to exit have to open up the binding/screening off. A possible way to do that is through language, to become aware of the effect the language might have. Another way is to search for emotional energy in another situation. During the exit process, shame might be of some importance. When members become aware of the shame they feel, because they perceive they are “acting a belief”, the exit process might accelerate.

Tjejer som slåss - en studie om tjejer som varit aktiva våldsutövare

Ungdomsvåldet, framförallt bland unga tjejer, har under de senaste åren ökat. Tjejer är idag i högre grad involverade i våldshandlingar än tidigare och våldet blir allt hårdare. Det övergripande syftet med denna studie var att belysa och undersöka fenomenet "tjejer som slåss". Avsikten var att återspegla hur tjejerna i denna studie beskriver sina personliga erfarenheter av att börja använda våld och av att aktivt ha utövat det. Vidare var avsikten att förstå vad som ligger bakom deras uppbrott och hur livet ser ut efteråt. För att uppnå syftet genomfördes en personlig kvalitativ intervju och fem kvalitativa intervjuer via e-mail. Resultatet var att tjejerna har gemensamma erfarenheter av att börja använda våld och ett antal återkommande riskfaktorer identifierades, exempelvis uppväxtmiljö präglad av våld och någon form av utanförskap bland jämnåriga. Tjejerna har också likartade erfarenheter av att aktivt ha utövat våld. Under tiden som våldsutövare kom många att hamna i brottsliga gäng. Eftersom tjejerna under sin uppväxt upplevt utanförskap uppfattades den gemenskap som de fann i dessa gäng som väldigt positiv. Vägen ut ur våldsbrottsligheten skedde på olika sätt, dock kunde likartade uppbrottsprocesser tydas. Uppbrottet från våldsutövandet karaktäriserades av en process som skedde under en lång tid. Tjejerna angav att de idag lever ett bra liv och att de till största delen har positiva erfarenheter av att ha varit en tjej som slåss. Dock ansåg de också att det är en erfarenhet som är svår att bära på. Studiens främsta fynd var att ensamhet och utanförskap tenderar att spela stor roll både vid vägen in i, under tiden, vägen ut ur våldsbrottslighet och livet efter.