Atividade óptica de um meio dielétrico diluído: Pasteur e as simetrias moleculares

Em 1848 Pasteur conjeturou que a rotação do plano de polarização da luz em um meio diluído é gerada pelas propriedades de simetria das moléculas do meio no qual a luz se propaga. O objetivo do nosso artigo é de mostrar que Pasteur estava correto usando conhecimentos de eletromagnetismo e mecânica quântica de um curso de graduação em física. Faremos um breve retrospecto das ideias básicas da teoria eletromagnética necessárias para o estudo da atividade óptica. A seguir, usando a teoria de perturbações em mecânica quântica e levando em conta as simetrias das moléculas calcularemos a atividade óptica do meio. Mostraremos que as previsões teóricas, que estão plenamente de acordo com os resultados experimentais, comprovam a hipótese de Pasteur.

Doces simetrias

As festas em honra do Divino Espírito Santo ocorrem nesta época do ano, um pouco por toda parte, nas 9 ilhas dos Açores e também além-fronteiras, nas nossas comunidades de emigrantes. [...] Em termos gastronómicos, marcam presença obrigatória nestas festividades as tradicionais sopas, a carne assada, a massa sovada e o arroz doce. [...] Aproveitou-se a oportunidade para decorar as travessas de arroz doce do Império da Trindade da Atalaia de uma forma diferente, construindo os sete tipos de frisos com canela. O primeiro friso (A) apresenta simetrias de translação numa única direção, propriedade comum a todos os frisos, o que se traduz na repetição de um motivo ao longo de uma faixa. O espaçamento entre cópias consecutivas do motivo é sempre o mesmo e é determinado pelo vetor de módulo mínimo associado às simetrias de translação. Este friso não apresenta outras simetrias. [...] Os frisos com meia-volta foram escolhidos de forma a homenagear as três cidades açorianas com mais tipos de frisos. Temos o passeio da Rua Dr. Aristides da Mota, em Ponta Delgada (F); o passeio da Praça da República, na Horta (H); e uma faixa do passeio da Rua da Sé, em Angra do Heroísmo (J). [...] É importante valorizar as nossas tradições e o que temos de bom. Se cruzarmos tudo isso com iniciativas que promovam a ciência, podemos potenciar o turismo em vertentes diversificadas. O turismo matemático já é uma realidade em várias partes do mundo. Temos um grande património em calçada. Por que não reproduzir os frisos da nossa calçada em diferentes suportes, desde a doçaria tradicional a diversas formas de artesanato?

As simetrias na tecelagem (parte I)

Neste artigo, convido o leitor a transformar-se num detetive à caça de simetrias! E desta vez o objeto da nossa atenção são as bonitas peças de tecelagem. Os tecidos obtêm-se através do entrelaçamento de fios longitudinais (fios de teia) com fios transversais (fios de trama), o que só por si já tem interesse do ponto de vista matemático. (...) Joana Dias é natural da Ilha de São Miguel e vive atualmente em Santa Maria. O seu trabalho artesanal em tecelagem, malhas e fiação de lã pode ser apreciado na Web. (...) Joana acrescenta: "Como designer tenho um fascínio pelo padrão, pela repetição de um motivo, pela desconstrução e pela sensação de desenhar e preencher um espaço sem limites, sem princípio nem fim. A repetição é infinita embora vejamos apenas uma parte. A arte da tecelagem representa este momento mágico de construção do padrão dentro dos limites do tear." Reforço o facto de este aspeto referido pela Joana ser de extrema importância para a compreensão intuitiva do conceito de simetria. Aqui está um exemplo claro de como é importante estabelecer pontes entre a Escola e a Sociedade, com enfoque nas nossas tradições. E por que não trazer à Escola artesãos açorianos para dar um testemunho das diferentes formas de artesanato tão características da nossa região? Muitos alunos certamente adorariam fazer as suas próprias peças orientados por quem sabe, para não falar no potencial deste tipo de atividades para a promoção de aprendizagens significativas. (...)

As simetrias na tecelagem (parte II)

Voltamos à conversa com Joana Dias sobre o trabalho que tem desenvolvido no âmbito da tecelagem tradicional. A artesã explica as diferentes fases de execução de uma peça: "Primeiro há que fazer a teia. Aqui reside o grande segredo da tecelagem: na preparação da teia e na consequente preparação do tear está mais de metade do trabalho feito. Em seguida, escolho os fios de trama para cobrir a teia. Se forem retalhos, por exemplo, tenho de os cortar, o que demora muito tempo. Confesso que, por vezes, esta é uma tarefa cansativa que me retira algum ânimo e energia. Já o tecer propriamente dito é relativamente rápido, mas é o mais interessante. Só por isso tudo o resto vale a pena!" De facto, é nesta fase que se define o padrão da peça e as simetrias que o caracterizam. É sobretudo esta componente criativa que entusiasma a nossa artesã. (...) A artesã acrescenta: "Penso que os trabalhos de artesanato se fazem, por vezes, ao contrário do que deveria ser. Numa busca pela modernização do artesanato, perde-se o que realmente é tradicional e 'de mestre' para entrarmos numa banalização de que tudo o que é feito à mão é artesanato. Por vezes, não sinto que haja uma vontade de preservar o que é verdadeiramente nosso, cedendo-se às pressões do souvenir para o turista, das miniaturas e afins, em vez de se ir à essência das coisas e partir daí para uma utilização real do objeto e/ou da técnica. Está a banalizar-se um saber fazer que antes se chamava de ofício e não de artesanato, usando-o como aspeto meramente decorativo, de utilização aleatória, que podia ser aquela ou outra qualquer." (...)

As simetrias na tecelagem (parte III)

Ao retomar o tema do último artigo, lanço novamente ao leitor o desafio de se tornar num detetive à descoberta de simetrias nas peças de tecelagem da autoria de Joana Dias. (...) Encontramos frisos em todos os exemplos selecionados. Os frisos são figuras que apresentam simetrias de translação numa única direção. Isto significa que estamos na presença de um friso sempre que é possível identificar um motivo que se repete sucessivamente ao longo de uma faixa, estando as cópias do motivo igualmente espaçadas. A classificação do friso baseia-se na forma como esse motivo se repete, ou seja, na identificação de outras simetrias que o friso possa apresentar. (...) Vejamos o primeiro exemplo (figura 1): "Esta mala é uma peça recente trabalhada em fio de algodão e retalhos de tecido de algodão. Cada mala corresponde seguramente a mais de oito horas de trabalho. Aprendi em S. Jorge um ditado popular muito interessante: À casa da tecedeira sempre lhe faltou telha!" Ao analisar em pormenor uma das suas faixas (figura 2), o friso em causa apresenta simetrias de reflexão em espelho (tem um eixo de simetria horizontal, que coincide com a reta a amarelo; e, supondo que o motivo se repete indefinidamente para a esquerda e para a direita, um número infinito de eixos de simetria verticais). Se o leitor colocar um espelho perpendicular à página do jornal, de modo a que a borda do espelho assente na reta a amarelo (reta horizontal que divide o friso ao meio), verá que cada lado da imagem é, de facto, um reflexo do outro. O mesmo exercício pode ser feito assentando o espelho nos eixos de simetria verticais do friso. Este exemplo também apresenta simetrias de meia-volta: se virarmos o friso "de pernas ao ar", a sua configuração não se altera. (...)

Simetrias Numéricas : capicuas e relações numéricas

Neste artigo apresentamos algumas simetrias numéricas e informação sobre os capicuas.

À descoberta de padrões : as simetrias que podemos encontrar num passeio em calçada

Retomamos a nossa viagem à descoberta de padrões pelas calçadas da Ilha de S. Miguel. A próxima paragem é no Miradouro da Ponta do Escalvado, localizado no lugar da Várzea, freguesia dos Ginetes, concelho de Ponta Delgada. [...] Mas qual o particular interesse da calçada do Miradouro da Ponta do Escalvado? Mostramos, em seguida, que este é um exemplo de um passeio onde podemos encontrar, em simultâneo, os quatro tipos possíveis de simetria... o que nem sempre acontece. [...] Existem também outros tipos de simetria, aparentemente menos percetíveis. Na imagem 3, ilustra-se o conceito de simetria de rotação. Para tal, temos que fixar um ponto: o centro de rotação. Basicamente, a ideia é a de rodar a figura em torno do ponto fixo segundo um ângulo com uma determinada amplitude. Respeita-se, em geral, o sentido contrário aos ponteiros do relógio, designado por sentido anti-horário ou sentido positivo. Se, ao rodarmos a figura segundo uma amplitude inferior a 360º, ela coincidir com a sua posição inicial, dizemos que tem uma simetria de rotação: a figura inicial e a que resultou desse movimento ficam completamente sobrepostas, não se conseguem distinguir. Dizemos que o movimento em causa fixou globalmente a figura ou que a deixou invariante. [...].

Chocolate com simetrias

O chocolate é uma das delícias favoritas dos mais gulosos. (...) Mas existem outras formas de apreciar o chocolate, para além do recurso ao paladar. A exploração das simetrias que encontramos em muitos bombons de chocolate também pode constituir uma atividade altamente motivadora. Analisamos, de seguida, as simetrias de alguns bombons de uma conhecida marca regional. (...)

À descoberta de padrões : as simetrias dos tapetes decorativos da Procissão do Senhor Santo Cristo dos Milagres

(...) Neste breve artigo, analisamos as simetrias de alguns tapetes decorativos construídos nos últimos anos. Ao olhar com atenção para os tapetes, encontramos com frequência rosáceas – figuras em geral circulares, tipo a rosa dos ventos, que apresentam simetrias de rotação e, em alguns casos, simetrias de reflexão (simetrias de espelho). (...) Se pensarmos na repetição dos motivos ao longo dos tapetes, do ponto de vista matemático, passamos a ter frisos. Existem 7 tipos de frisos, ou seja, 7 maneiras diferentes de repetir um determinado motivo ao longo de uma faixa recorrendo aos diferentes tipos de simetria. Em seguida, caracterizamos as simetrias do tipo de friso mais comum nos tapetes da Procissão do Senhor Santo Cristo (...)

As simetrias do modelo hempeliano de explicação

Este artigo faz um exame crítico do modelo nomológico dedutivo de Hempel. Nós focalizamos a atenção sobre certas simetrias desse modelo geradas pela exigência de condições nomicamente suficientes para uma explicação. Tais condições, argüimos, são incapazes de traduzir corretamente as relações explanatórias e causais.

Solução da equação advectivo-difusiva utilizando regras para manipulação de exponenciais de operadores diferenciais e simetrias de Lie : aplicações em engenharia ambiental

Vários métodos analíticos, numéricos e híbridos podem ser utilizados na solução de problemas de difusão e difusão-advecção. O objetivo deste trabalho é apresentar dois métodos analíticos para obtenção de soluções em forma fechada da equação advectivo-difusiva em coordenadas cartesianas que descreve problemas de dispersão de poluentes na água e na atmosfera. Um deles é baseado em regras de manipulação de exponenciais de operadores diferenciais, e o outro consiste na aplicação de simetrias de Lie admitidas por uma equação diferencial parcial linear. Desenvolvem-se regras para manipulação de exponenciais de operadores diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e para operadores advectivo-difusivos. Nos casos em que essas regras não podem ser aplicadas utiliza-se uma formulação para a obtenção de simetrias de Lie, admitidas por uma equação diferencial, via mapeamento. Define-se um operador diferencial com a propriedade de transformar soluções analíticas de uma dada equação diferencial em novas soluções analíticas da mesma equação. Nas aplicações referentes à dispersão de poluentes na água, resolve-se a equação advectivo-difusiva bidimensional com coeficientes variáveis, realizando uma mudança de variáveis de modo a reescrevê-la em termos do potencial velocidade e da função corrente correspondentes ao respectivo escoamento potencial, estendendo a solução para domínios de contornos arbitrários Na aplicação referente ao problema de dispersão de poluentes na atmosfera, realiza-se uma mudança de variáveis de modo a obter uma equação diferencial parcial com coeficientes constantes na qual se possam aplicar as regras de manipulação de exponenciais de operadores diferenciais. Os resultados numéricos obtidos são comparados com dados disponíveis na literatura. Diversas vantagens da aplicação das formulações apresentadas podem ser citadas, a saber, o aumento da velocidade de processamento, permitindo a obtenção de solução em tempo real; a redução da quantidade de memória requerida na realização de operações necessárias para a obtenção da solução analítica; a possibilidade de dispensar a discretização do domínio em algumas situações.

Os formalismos das simetrias de Becchi-Rouet-Stora-Tyutin e de Batalin-Vilkovisky e aplicações

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Um estudo de simetrias de sólidos regulares

Pós-graduação em Matemática Universitária - IGCE

Estudo da violação das simetrias de Lorentz e CPT na eletrodinâmica quântica

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

O discurso literário e cinematográfico: simetrias e assimetrias em O Leopardo, Guisseppe Tomasi di Lampedusa X Luchino Visconti

Este trabalho trata de duas artes, Literatura e Cinema. Embora autônomas e específicas, traduzem-se em textos distintos, relações de identificação e ao mesmo tempo afastamento de uma obra em relação à outra. Nossa abordagem tem, como ponto de partida, o texto literário "O Leopardo", do escritor italiano Giuseppe Tomasi di Lampedusa e, como ponto de chegada, a obra cinematográfica homônima do cineasta, também italiano, Luchino Visconti. Lampedusa produziu uma obra que só ganharia reconhecimento postumamente. Nela, criou um discurso narrativo através do qual põe em destaque a História e a representação da sociedade. Apesar de ter nos legado uma obra pequena, caracteriza-se por apresentar um estilo próprio, marcado por requintes de liberdade e recriação da palavra. Luchino Visconti, o mais requintado criador da sétima arte de seu tempo, transpôs, com rigor, para a tela, importantes obras de renomados escritores. Seus filmes traduzem uma precisa visão histórica e aristocrática. A narrativa cinematográfica mescla ousadia e criatividade, desafiando a escritura ao arquitetá-la em magníficas imagens, cumprindo com o (quase) intuito da fidelidade a abstração da imagem literária.