La disuguaglianza di Harnack

In questo elaborato si illustra una delle principali proprietà godute dalle funzioni armoniche: la disuguaglianza di Harnack, dal nome del matematico che la dimostrò nel 1887. Nella sua formulazione più semplice, essa afferma che se una funzione armonica è non negativa, allora l'estremo superiore di tale funzione su una palla euclidea è controllato dall'alto dall'estremo inferiore della funzione sulla stessa palla, a meno di una costante moltiplicativa dipendente solo dalla dimensione. Una simile disuguaglianza è soddisfatta anche da soluzioni di equazioni alle derivate parziali più generali dell'equazione di Laplace. Ad esempio, J. Moser nel 1961 dimostra che le soluzioni deboli di equazioni differenziali ellittiche lineari soddisfano una disuguaglianza di tipo Harnack. Tale risultato è argomento dell'ultimo capitolo di questo elaborato.

L'operatore del calore

Nell'elaborato si introduce l'operatore del calore e le funzioni caloriche mostrandone alcuni esempi. Di seguito si deduce la soluzione fondamentale dell'operatore H evidenziandone alcune importanti proprietà. Si procede, poi, con l'introduzione dell'Identità di Green per l'operatore del calore e da questa si ricava la formula di media per le funzioni caloriche. Grazie a tale formula di media si evidenzia una cruciale proprietà delle funzioni caloriche: la loro regolarità C-infinito. Di seguito si deduce un'espressione migliorata per la formula di media calorica avente come vantaggio quello di avere un nucleo limitato. Si procede, quindi, mostrando alcune conseguenze dell'espressione migliorata dimostrata: si ricava, infatti, in modo diretto la disuguaglianza di Harnack e il principio di massimo forte. L'elaborato procede, poi, con lo studio del problema di Cauchy relativo all'operatore del calore. Infine si analizzano i teoremi di Liouville per le funzioni caloriche.

Caratterizzazione colorimetrica di paste concentrate in funzione del tempo di conservazione.

Lo sviluppo negli ultimi decenni di strumentazioni sempre più pratiche, versatili, veloci ed economicamente accessibili, ha notevolmente incrementato la capacità delle aziende, in particolar modo quelle operanti nel settore dell'industria alimentare, nel cogliere le potenzialità di una tecnologia che applica rigore scientifico a una materia a lungo considerata liminale e di secondaria rilevanza, quale quella cromatica. A fronte di ciò, si è ritenuto opportuno introdurre strumenti di misura formalizzati a livello internazionale, atti a individuare e verificare parametri di colore, i quali attestassero la qualità della materia prima utilizzata, nonché riconducibili a una tecnologia di produzione di massa. L’attuale progetto deriva dalla necessità di un’azienda produttrice di concentrati in pasta e semi-lavorati in polvere per la gelateria e la pasticceria, di introdurre un sistema di misurazione oggettiva del colore, che vada a sostituirsi a una valutazione soggettiva, a lungo ritenuta come unico metodo valido di analisi. Il ruolo rivestito all’interno di tale azienda ha consentito, grazie anche al supporto fornito dal Controllo Qualità, la realizzazione di un elaborato finale di sintesi, contenente i risultati delle analisi colorimetriche condotte su alcune paste concentrate. A partire dunque dalla letteratura scientifica elaborata in materia, si è proceduto inizialmente, alla realizzazione di una parte generale riguardante la descrizione del colore, delle sue proprietà e manifestazioni, e dei metodi di misurazione, ripercorrendo le tappe dalla nascita delle prime teorie fino all’adozione di uno spazio di colore universale; una seconda sperimentale, in cui si elaborano- tramite software statistici (Anova , Spectra Magic Nx)- i parametri colorimetrici e il pH dei singoli campioni. In particolare, la determinazione del colore su paste concentrate, ha permesso di valutare in maniera oggettiva le variazioni di colore in termini di coordinate L*, a*, b*, che avvengono durante il periodo di conservazione (24-36 mesi). Partendo dai dati oggettivi di colore, sono state definite semplici equazioni che descrivono l'andamento dei parametri in funzione dei mesi di conservazione e del pH del prodotto. Nell’ottica del miglioramento della gestione della qualità delle aziende specializzate nella produzione di semilavorati-concentrati per le gelaterie, il presente lavoro ha fornito uno spunto per la realizzazione e l’applicazione di un sistema di controllo del colore durante la conservazione del prodotto; ha anche permesso di definire le linee per un sistema di analisi colorimetrica utile alla messa a punto di un database aziendale comprensivo d’indici, stime e annotazioni. Tale database dovrà essere mirato all’ottenimento di un sempre più alto livello di qualità del prodotto, suggerendo allo stesso tempo possibili interventi correttivi (maggior standardizzazione del colore e possibile definizione di un adeguato intervallo di tolleranza), ma anche a un miglioramento nella gestione di problematiche in fase di produzione e quindi, l’incremento della capacità produttiva con conseguente riduzione dei tempi di evasione degli ordini. Tale contributo ha consentito a delineare le future prospettive di sviluppo favorendo l’implementazione (nella realtà aziendale) di un approccio strumentale e quindi oggettivo, in relazione alle più comuni problematiche di tipo colorimetrico, al fine di migliorare il valore qualitativo del prodotto.

Qualita di nuove accessioni di fragola (fragaria x ananassa) in funzione del tipo di materiale di propagazione: Aspetti analitici e sensoriali

La ricerca è stata svolta presso il Consiglio per la Ricerca e la Sperimentazione in Agricoltura - Unità di Ricerca per la Frutticoltura di Forlì (CRA-FRF) ed ha riguardato lo studio delle caratteristiche qualitative e di alcuni composti bioattivi dei frutti di 10 diverse accessioni varietali di fragola (6 varietà: Alba, Nora, Garda, Jonica, Brilla, Pircinque; 4 selezioni in avanzata fase di studio ottenute nell’ambito dei programmi di breeding pubblico-privati condotti e coordinati dal CRA-FRF: CE 51, CE 56, VR 177.2, VR 4) coltivate per un biennio nello stesso ambiente (cesenate). Sono state considerate due differenti tipologie di piante: frigoconservata (tipologia tradizionale) e fresca “cima radicata” (tipologia innovativa che si sta sempre più affermando presso i produttori). L’obiettivo principale di questa tesi è finalizzato alla caratterizzazione qualitativa e nutrizionale dei frutti raccolti dalle due tipologie di pianta. L’interesse di monitorare l’effetto di questa innovativa tecnica di coltivazione deriva dalla sua sempre maggiore affermazione in quanto consente una significativa riduzione dei costi di produzione. Lo studio delle 10 accessioni di fragola (tra cui quelle che attualmente stanno dominando lo standard varietale del Nord Italia) può permettere di aggiungere informazioni importanti sulla loro caratterizzazione qualitativa, in particolare sulle caratteristiche sensoriali mediante un approccio quantitativo descrittivo. Infine, la ripetizione dello studio per due annate differenti può consentire di valutare l’influenza del fattore “anno” sui caratteri studiati.

Attività fotocatalitica del biossido di titanio applicato ai materiali da costruzione. Analisi delle prestazioni in funzione della tipologia di supporto e della tecnica di deposizione

I materiali fotocatalitici, se opportunamente irradiati con luce di una opportuna lunghezza d'onda, consentono un maggior abbattimento delle sostanze organiche e inorganiche nocive con le quali vengono a contatto. Essi sono in grado inoltre grazie alla loro spiccata idrofilia di conservare inalterato nel tempo il loro aspetto estetico. Il connubio ingegneria e chimica ha creato dunque materiali fotocatalitici contenenti al loro interno particelle di TiO2, il principale fotocatalizzatore in commercio, che, applicati in ambiti urbani ed edilizi come rivestimenti, pitture, rimescolato in pasta di malte o masselli autobloccanti, pitture o piastrelle antisettiche e vetri autopulenti, possono generare effetti positivi in termini sia di antinquinamento che di antibattericità. La tesi parte dalla descrizione delle reazioni chimiche che stanno alla base della fotocatalisi e prosegue descrivendo il fotocatalizzatore più attivo ed efficace fino ad ora scoperto, il TiO2. Nella seconda parte della tesi si citano le principali aziende italiane e mondiali che si sono impegnate nella produzione di materiali fotocatalitici, riportando le loro opere e i loro prodotti. Nella parte terza si vogliono invece fornire le informazioni generali attualmente conosciute sulla minaccia alla salute che può costituire l'utilizzo di materiali nanometrici come il TiO2. Nella parte quarta invece si risponde alle ancora frequenti domande riguardanti l'efficacia del TiO2 nelle applicazioni reali al variare del materiale di supporto, la sua efficacia nel lungo termine, il reale effetto autopulente nell'ambiente reale e nel suo impatto sull'ambiente. Si riportano i risultati di laboratorio riguardanti l'efficacia fotocatalitica in termini di degradazione di tinte e di angolo di contatto, direttamente applicati alla realtà delle costruzioni: su supporti diversi in termini di permeabilità e idrorepellenza, è stata applicata una sospensione acquosa fotocatalitica applicata sia a pennello che tramite getto spray HVLP. Alcuni campioni sono poi stati dilavati simulando l'azione atmosferica di weathering dell'area bolognese.

Qualita della carne bovina in funzione del tipo di muscolo e dell'eta alla macellazione

Per determinare la qualità della carne bovina è fondamentale studiare le sue caratteristiche fisiche. La carne è caratterizzata da un’elevata eterogeneità a causa di fattori endogeni (la razza, il sesso, il tipo di muscolo, l’età alla macellazione), fattori pre-macellazione (il trasporto, lo scarico, la sosta al macello possono determinare fattori di stress per l’animale) e post-macellazione (la frollatura, lo stoccaggio delle carcasse, la preparazione finale della carne). Lo scopo di questo elaborato è quello di esaminare i parametri qualitativi (la tessitura e la tenerezza, il colore, la ritenzione idrica e la succulenza) della carne in relazione a due fattori intrinseci del bovino, in particolare al tipo di fibra muscolare e all’età di macellazione. A tale scopo sono stati utilizzati come riferimento due studi. Il primo riguarda la valutazione qualitativa di tre muscoli – Triceps brachii, Longissimus thoracis, Semitendinosus – appartenenti a vitelloni di razza Chianina macellati ad un’età di 18-19 mesi. Il Longissimus ha mostrato maggiore estratto etereo, quindi minori valori di sforzo di taglio e maggiore tenerezza; il Semitendinoso ha un indice di Luminosità (L*) elevata, quindi la carne è più chiara, ma più dura e con minore capacità di ritenzione idrica. La carne derivata dal Tricipite brachiale aveva i più bassi valori di L* e quindi la più scura. Il secondo studio condotto in Turchia ha permesso di confrontare le caratteristiche qualitative di carni di bovini, macellati ad età differenti, tra i 17 e i 19 mesi e tra i 25 e i 27 mesi. I risultati discussi rappresentano una media dei valori di due muscoli. Le carni di bovini giovani tendono a perdere più liquidi di sgocciolamento e anche di cottura in quanto sono generalmente più acquose e meno grasse. Anche lo sforzo di taglio risulta maggiore in relazione al minore stato di ingrassamento della carcassa.

Alcune proprietà di regolarità per le funzioni p-armoniche

Le funzioni p-armoniche sono definite come soluzioni dell'equazione differenziale alle derivate parziali $\Delta_p u = 0$, dove $\Delta_p$ è l'operatore p-laplaciano. La classe delle funzioni p-armoniche si può estendere includendo funzioni derivabili in senso debole. Si dimostra che ogni funzione p-armonica è localmente hoelderiana, così come il suo gradiente. Infine, si caratterizzano le funzioni p-armoniche in termini della loro media integrale, mediante formule di media asintotiche.

Harnack inequalities in sub-Riemannian settings

In the present thesis, we discuss the main notions of an axiomatic approach for an invariant Harnack inequality. This procedure, originated from techniques for fully nonlinear elliptic operators, has been developed by Di Fazio, Gutiérrez, and Lanconelli in the general settings of doubling Hölder quasi-metric spaces. The main tools of the approach are the so-called double ball property and critical density property: the validity of these properties implies an invariant Harnack inequality. We are mainly interested in the horizontally elliptic operators, i.e. some second order linear degenerate-elliptic operators which are elliptic with respect to the horizontal directions of a Carnot group. An invariant Harnack inequality of Krylov-Safonov type is still an open problem in this context. In the thesis we show how the double ball property is related to the solvability of a kind of exterior Dirichlet problem for these operators. More precisely, it is a consequence of the existence of some suitable interior barrier functions of Bouligand-type. By following these ideas, we prove the double ball property for a generic step two Carnot group. Regarding the critical density, we generalize to the setting of H-type groups some arguments by Gutiérrez and Tournier for the Heisenberg group. We recognize that the critical density holds true in these peculiar contexts by assuming a Cordes-Landis type condition for the coefficient matrix of the operator. By the axiomatic approach, we thus prove an invariant Harnack inequality in H-type groups which is uniform in the class of the coefficient matrices with prescribed bounds for the eigenvalues and satisfying such a Cordes-Landis condition.

Formule di media per le funzioni armoniche

In questo lavoro studiamo le funzioni armoniche e le loro proprietà: le formule di media, il principio del massimo e del minimo (forte e debole), la disuguaglianza di Harnack e il teorema di Louiville. Successivamente scriviamo la prima e la seconda identità di Green, che permettono di ottenere esplicitamente la soluzione fondamentale dell’equazione di Laplace, tramite il calcolo delle soluzioni radiali del Laplaciano. Introduciamo poi la funzione di Green, da cui si ottiene una formula di rappresentazione per le funzioni armoniche. Se il dominio di riferimento è una palla, la funzione di Green può essere determinata esplicitamente, e ciò conduce alla rappresentazione integrale di Poisson per le funzioni armoniche in una palla.

Formule di media per funzioni armoniche

Questa tesi tratta delle proprietà fondamentali delle funzioni armoniche. Nel primo Capitolo utilizziamo il teorema della divergenza per ottenere importanti identità integrali quali la formula di rappresentazione di Green e la formula dell'integrale di Poisson; tali identità ci permettono di mostrare nel secondo Capitolo che per le funzioni armoniche valgono le formule di media e, in particolare, queste rappresentano una proprietà caratterizzante per tali funzioni. Le formule di media rappresentano un ottimo punto di partenza per lo studio delle proprietà delle funzioni armoniche che osserviamo nel terzo Capitolo; da esse è possibile ottenere il principio del massimo e del minimo forte e la disuguaglianza di Harnack. Da queste due è possibile ottenere alcune importanti proprietà sulla convergenza di successioni di funzioni armoniche; in particolare osserviamo che una successione di funzioni armoniche convergente converge ad una funzione armonica.

Studio di un sistema per la generazione di seconda armonica di un laser infrarosso

In questo lavoro di Tesi viene studiata la realizzazione di un sistema per la generazione di seconda armonica di una luce laser infrarossa. Il lavoro è stato svolto presso l'Univerità di Firenze nell'ambito di un esperimento di fisica atomica, nel quale viene studiato il comportamento di una miscela di atomi freddi di Potassio-Rubidio. Per la realizzazione sperimentale è richiesto l'utilizzo di un fascio laser con luce verde a 532 nm. Per ottenere questo fascio si è ricorso alla generazione di seconda armonica di un laser con luce infrarossa a 1064 nm, sfruttando le proprietà dei cristalli non lineari. Il cristallo utilizzato è un cristallo periodically poled di Tantalato di Litio, che sfrutta la tecnica del Quasi-Phasematching per generare seconda armonica. L'obiettivo principale di questo lavoro è stato quello di caratterizzare il sistema di duplicazione per poter ottimizzare la produzione del fascio verde. Infatti la produzione di seconda armonica dipende da diversi fattori sperimentali, quali la temperatura alla quale si trova il cristallo e la posizione del fuoco del fascio incidente rispetto al cristallo. Per prima cosa si sono ottimizzati i parametri del fascio infrarosso, cercando quelli per i quali la produzione di seconda armonica è maggiormente efficiente. Questo è stato effettuato caratterizzando il fascio per trovarne la posizione del fuoco e la sua larghezza. Nella seconda parte si è studiata l'efficienza di produzione di seconda armonica. La temperatura del cristallo influenza notevolmente la produzione di seconda armonica, quindi si è cercata la temperatura ottimale a cui l'efficienza di duplicazione è massima. Inoltre si è anche calcolata l'ampiezza massima delle oscillazioni di temperatura a cui è possibile sottoporre il cristallo senza uscire dalla zona in cui la duplicazione è efficiente. Per trovare la temperatura ottimale si è studiato l'andamento dell'efficienza in funzione della temperatura del cristallo. Analizzando questo andamento si sono anche verificati i coefficienti non lineari del cristallo dichiarati dal produttore.

Le funzioni armoniche e le formule di media

In questa tesi studiamo le proprietà fondamentali delle funzioni armoniche. Ricaviamo le formule di media mostrando alcune proprietà importanti, quali la disuguaglianza di Harnack, il teorema di Liouville, il principio del massimo debole e forte. Infine, illustriamo un criterio di risolubilità per il problema di Dirichlet per il Laplaciano in un arbitrario dominio limitato di R^n tramite un metodo noto come metodo di Perron per le funzioni subarmoniche.

Sugli autovalori dell'operatore di Koopman: perturbazione e aspetti computazionali

La previsione ed il controllo dei grandi sistemi dinamici costituiscono due delle principali sfide della scienza contemporanea. Prima degli anni '90 la parola previsione indicava un singolo esperimento numerico, mentre negli ultimi vent'anni ha denotato un insieme di simulazioni/esperimenti. Sostanzialmente non si cerca più di trovare la traiettoria più realistica e verosimile ma si studia l'insieme delle previsioni e l'evolversi della loro distribuzione nel tempo per avere un'idea di quale sia la previsione più probabile. Un sistema dinamico è descritto, in un particolare istante temporale, da una variabile di stato. Esistono poi delle funzioni di stato che hanno come argomento una variabile di stato e mentre il sistema dinamico è in movimento, e dunque mentre le variabili di stato del sistema cambiano nel tempo, anche le funzioni di stato si evolvono. Il lavoro di Bernard Koopman (19/01/1900 - 18/08/1981) si è incentrato sullo studio di tale evoluzione. Koopman formalizzò il problema cercando di trovare un operatore che prendesse una funzione di stato e la "spingesse" in avanti nel tempo. Tale operatore venne chiamato Operatore di Koopman. Il legame sostanziale tra l'operatore di Koopman e il sistema dinamico in questione sta nel fatto che tale operatore agisce sullo spazio delle funzioni di stato del sistema. Inoltre si è scoperto che i suoi autovalori e le sue autofunzioni descrivono completamente il sistema dinamico che vi sta dietro. Questo elaborato introduce l'operatore di Koopman in relazione a sistemi dinamici e mostra come ricavare lo spettro di tale operatore a partire da dati di simulazione. Infine vengono studiate le proprietà spettrali dell'operatore di Koopman nel caso mono-dimensionale degli indici Niño-3 e viene fatta un'analisi dettagliata dei risultati numerici ottenuti, trovando una conferma teorica mediante l'utilizzo dei dischi di Gershgorin.

Principio del massimo per operatori lineari ellittici

All'interno della tesi viene analizzato il principio del massimo per l'operatore di Laplace e per operatori lineari ellittici differenziali. Attraverso l'utilizzo delle formule di media si dimostra il principio del massimo forte e debole per l'operatore di Laplace e si analizzano le sue applicazioni, quali la disuguaglianza di Harnack, il teorema di Liouville e il teorema fondamentale dell'algebra. Successivamente si vanno a dimostrare il principio del massimo debole e, tramite il lemma di Hopf, il principio del massimo forte, per operatori lineari ellittici differenziali. Infine si studia il caso dell'unicità delle soluzioni dei problemi di Dirichlet per operatori lineari ellittici differenziali, sfruttando il principio del massimo debole.