Géométrie nodale et valeurs propres de l’opérateur de Laplace et du p-laplacien

La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse.

Prison de l'Abbaye : [estampe] / APM [Potémont] ; D'après la géométrie de Mallet, 1702

Collection : [Ancien Paris] ; 228

La fonction publique en Suisse : analyse géopolitique d'un fédéralisme à géométrie variable

Bien que présenté comme un modèle de stabilité, le fédéralisme est constamment remis en question. Le but de l'article est de présenter quelques-unes de ses caractéristiques lues à travers les effectifs de la fonction publique en Suisse. Pour ce faire, nous distinguerons quatre types d'employeurs : Confédération, cantons, communes et corporations de droit public, lesquels représentent 10,5 % du total des actifs en Suisse. Nous analyserons la densité administrative, la variation des emplois et le degré de décentralisation selon la culture, le territoire et la religion. Il ressort que la fonction publique intermédiaire, c'est-à-dire les cantons, joue le premier rôle avec ses 140'000 emplois en équivalents plein temps (EPT) sur un total de 328'000, en hausse de 10,3 % par rapport à 2001. Les communes comptent 38 % des agents publics (+3,6 % par rapport à 2001), loin devant la Confédération, 11 % du total (en perte de vitesse : -1,2 %) et les corporations de droit public, 9 % du total (+14,5 %). Le taux d'administration est plus élevé dans la partie francophone que dans la partie germanophone, ainsi que dans les centres économiques et les zones frontières. Les écarts entre les cantons peuvent varier du simple au triple. En fait, deux modèles politico-administratifs transparaissent : le premier « cantonaliste » et davantage étatiste dans la partie latine, l'autre « communaliste » et décentralisé, dominant dans la partie germanophone. Le quotient de décentralisation administrative montre de grandes différences entre l'est et l'ouest, qui s'estompent toutefois avec la modernisation des institutions et le repositionnement de la Suisse face à l'Europe.