EQUAÇÕES ÀS DIFERENÇAS ORDINÁRIAS LINEARES

Na disciplina de Análise Matemática, em geral no final do segundo semestre do primeiro ano dos cursos de licenciatura em Economia, Gestão e Engenharia, é usual tratar, entre outros temas, o das equações às diferenças, quase sempre apenas ordinárias.

Equações de diferenças e aplicações

Sistemas dinâmicos são todos os sistemas que evoluem no tempo, qualquer que seja a sua natureza, isto é, sistemas fisícos, biológicos, químicos, sociais, económicos, etc.. Esta evoluçãoo pode ser descrita (modelada) por equaçõess de diferenças, uma vez que esse tempo é muitas vezes medido em intervalos discretos. As equações de diferenças aparecem também quando se estuda métodos para a discretização de equações diferenciais. Assim, este trabalho tem por principal objectivo estudar as soluções de alguns tipos de equações de diferenças. Para isso, começa-se por introduzir o conceito de diferença e a sua relação com as equações de diferenças. Em seguida, determina-se a solução geral das todas as equações lineares de primeira ordem, bem como o estudo do seu comportamento assimptótico. Prossegue-se, desenvolvendo as principais técnicas para determinar a soluçãoo de equações de diferenças lineares de qualquer ordem. Em particular, estudam-se as equações com coeficientes constantes. Depois de se desenvolver a teoria básica dos sistemas lineares de equações de diferenças, particulariza-se aos sistemas lineares autónomos,com apenas duas variáveis dependentes, fazendo assim o estudo do comportamento das soluções no plano de fases. Por fim, utiliza-se a transformada Z como uma ferramenta que permite resolver equações de diferenças, em especial as equações de tipo convolução.

Uso de equações de diferenças na obtenção de filtros para redução de ruído em sinais de voz no domínio wavelet

Pós-graduação em Engenharia Elétrica - FEIS

Estabilidade de equações de diferenças quase lineares

Pós-graduação em Matemática Universitária - IGCE

Equações de diferenças: aplicações no ensino médio

Pós-graduação em Matemática em Rede Nacional - IBILCE

Análise e implementação de filtros e controladores num sistema de processamento digital de sinal

Dissertação para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica Ramo de Automação e Electrónica Industrial

Simulação do impacto do fungo Nomuraea rileyi em populações da lagarta da soja, Anticarsia gemmatalis

O fungo entomopatogênico Nomuraea rileyi (Farlow) Samson produz epizootias em populações de lagarta da soja, Anticarsia gemmatalis (Huebner), controlando naturalmente a praga em determinadas condições. No entanto, a epizootia nem sempre ocorre a tempo de evitar que as populações desta praga causem dano econômico à cultura. Foi criado um modelo matemático para simular a ocorrência de N. rileyi em populações de A. gemmatalis nas lavouras de soja da Flórida, EUA. O objetivo deste trabalho foi desenvolver um sistema que integrasse esse modelo a outros modelos (fenologia da soja e da praga, interações inseto-planta e dinâmica populacional da praga), a fim de gerar simulações mais precisas no manejo da praga. Estes modelos foram construídos a partir de estudos ecológicos dos organismos envolvidos, conduzidos nas áreas de soja no Brasil. O sistema integrado foi desenvolvido com base em equações de diferenças que são processadas pelo programa STELLA, versão 5.0 Research. A avaliação do modelo em Planaltina, DF, e Londrina, PR, demonstraram que o sistema é capaz de simular a ocorrência de epizootias ou explosões populacionais da lagarta da soja.

Uma metodologia unificada no domínio tempo para sistemas concentrados, discretos e distribuídos

A resposta impulso é utilizada como ferramenta padrão no estudo direto de sistemas concentrados, discretos e distribuídos de ordem arbitrária. Esta abordagem leva ao desenvolvimento de uma plataforma unificada para a obtenção de respostas dinâmicas. Em particular, as respostas forçadas dos sistemas são decompostas na soma de uma resposta permanente e de uma resposta livre induzida pelos valores iniciais da resposta permanente. A teoria desenvolve-se de maneira geral e direta para sistemas de n-ésima ordem, introduzindo-se a base dinâmica gerada pela resposta impulso na forma padrão e normalizada, sem utilizar-se a formulação de estado, através da qual reduz-se um sistema de ordem superior para um sistema de primeira ordem. Considerou-se sistemas de primeira ordem a fim de acompanhar-se os muitos resultados apresentados na literatura através da formulação de espaço de estado. Os métodos para o cálculo da resposta impulso foram classificados em espectrais, não espectrais e numéricos. A ênfase é dada aos métodos não espectrais, pois a resposta impulso admite uma fórmula fechada que requer o uso de três equações características do tipo algébrica, diferencial e em diferenças Realizou-se simulações numéricas onde foram apresentados modelos vibratórios clássicos e não clássicos. Os sistemas considerados foram sistemas do tipo concentrado, discreto e distribuído. Os resultados da decomposição da resposta dinâmica de sistemas concentrados diante de cargas harmônicas e não harmônicas foram apresentados em detalhe. A decomposição para o caso discreto foi desenvolvida utilizando-se os esquemas de integração numérica de Adams-Basforth, Strömer e Numerov. Para sistemas distribuídos, foi considerado o modelo de Euler-Bernoulli com força axial, sujeito a entradas oscilatórias com amplitude triangular, pulso e harmônica. As soluções permanentes foram calculadas com o uso da função de Green espacial. A resposta impulso foi aproximada com o uso do método espectral.

Controle preditivo de sistemas mistos lógicos-dinâmicos

O comportamento dinâmico de um sistema é tradicionalmente descrito por um modelo, em geral associado a um conjunto de equações diferenciais ou de equações de diferenças, onde as variáveis representam grandezas físicas. Sistemas complexos, principalmente na indústria de processos, incorporam elementos com comportamento dinâmico lógico, tais como atuadores e sensores ON-OFF (estados aberto/fechado) ou proposições lógicas (estados verdadeiro/falso). Estes sistemas são denominados “Sistemas Híbridos”, “Sistemas Mistos Lógicos-dinâmicos” ou, simplesmente, “Sistemas Mistos”. Neste trabalho, são apresentadas técnicas que, associando variáveis lógicas a estes elementos, e mediante a incorporação de restrições sobre as variáveis, permitem obter um modelo matemático do sistema misto. Neste caso, técnicas clássicas de controle não permitem a incorporação destas novas variáves e restrições. Como opção de controle de sistemas mistos, é então proposta e estudada uma técnica de controle preditivo baseado em modelo. São apresentados tanto a formulação teórica do problema de controle, quanto exemplos e simulações bem como um estudo de caso de sua aplicação sobre um sistema de equalização de uma planta de tratamento de efluentes.

Redes de mapas acoplados em sistemas biológicos de reação-difusão

Em modelos em que a distribuição espacial da população não é con- siderada, isto é, quando se supõe que haja uma homogeneidade espacial, e se estuda a evolução temporal do sistema, há uma única variável independente: o tempo. Caso a população seja constituída de duas espécies, do tipo parasitóide-hospedeiro, e a variável independente tempo for considerada discreta, teremos um sistema de equações a diferenças, como por exemplo o modelo de Nicholson-Bailey cujas soluções são apresentadas neste trabalho. Populações espacialmente distribuídas, em um espaço de natureza discreta, juntamente com a dinâmica vital em tempo discreto, têm o seu comportamento estudado através de redes de mapas acoplados. Após estudar o modelo de Hassell (dinâmica vital de Nicholson-Bailey com movimentação por difusão) e o modelo planta-herbívoro com movimentação por taxia, deduzimos e simulamos um modelo incluindo movimentação por taxia, difusão e convecção. É também apresentado neste trabalho, um paralelo entre estes modelos de redes de mapas acoplados e aqueles com as equações diferenciais correspondentes.

Rede de mapas acoplados em sistemas parasitóide-hospedeiro com refúgios

Sistemas do tipo parasitóide-hospedeiro têm sido objeto de estudo em diversos trabalhos, com enfoque especial em problemas de persistência e/ou co-existência de espécies. Nesta dissertação, numa primeira abordagem, considerando meios homogêneos, são apresentados, usando sistemas de equações a diferenças, o modelo de Nicholson-Bailey e algumas de suas modificações que previnem as oscilações divergentes bem como a extinção das espécies apresentadas no modelo original. Em cada um destes modelos, investigamos a existência e a estabilidade dos estados de equilíbrio das populações, identificamos os parâmetros e limiares que caracterizam a dinâmica do sistema, e visualizamos as informações decorrentes dos resultados analíticos, através de gráficos construídos a partir de simulações computacionais. A seguir, adotamos a formulação de Rede de Mapas Acoplados, através da qual o sistema é espacialmente estruturado, e revisamos o modelo de Hassell et al.(1991) e a influência da dispersão local difusiva no modelo anteriormente estudado. O trabalho é complementado mediante a inclusão da existência de refúgios espaciais, caracterizados por regiões nas quais a eficiência do parasitóide é muito menor que no restante do hábitat. Simulações computacionais foram realizadas para diversas configurações de refúgios, diferindo em forma e tamanho. Em especial foram analisadas a sua influência nos padrões espaciais e nas populações dentro e fora dos refúgios

Modelagem matemática aplicada ao controle biológico de Ceratitis capitata Wiedemann (Diptera: Tephritidae) por Diachasmimorpha longicaudata Ashmed (Hymenoptera: Braconidae) em Citrus

O modelo matemático apresentado tem como objetivos: (1) simular as dinâmicas populacionais de um sistema hospedeiro parasitóide de três níveis tróficos composto pelas populações de mosca-do-mediterrâneo Ceratitis capitata (Wiedemann), vespa braconídea parasitóide Diachasmimorpha longicaudata (Ashmed) e frutos cítricos; (2) auxiliar no melhor entendimento dos principais fatores biológicos e ecológicos que regem as interações populacionais e (3) colaborar com programas mais eficientes de controle biológico para o sistema em questão. A metodologia empregada baseou-se na formulação de sistemas de equações de diferenças que descrevessem os processos de interação do sistema trófico. Posteriormente, foram elaboradas resoluções numéricas desses sistemas de equações e sua representação gráfica, utilizando-se o programa computacional Matlab, versão 6.1. Os dados biológicos e ecológicos necessários para a formulação das equações matemáticas foram fornecidos por especialistas em controle de C. capitata e retirados da literatura referente ao controle biológico das moscas-das-frutas em plantações de citros no Brasil, principalmente através da utilização de vespas parasitóides, como D. longicaudata. Os resultados obtidos nas simulações sugerem que o modelo proposto descreve adequadamente o sistema ecológico em questão e permite entender melhor suas principais características biológicas e ecológicas. em conseqüência pode auxiliar na escolha do modo e momento para liberação da vespa parasitóide para o controle mais efetivo de C. capitata.

Estratégias de controle de ordem fracionária aplicadas ao amortecimento de oscilações eletromecânicas em sistemas elétricos de potência

Neste trabalho é proposta uma nova metodologia de projeto de estabilizadores de sistemas de potência baseada em teoria de sistemas de ordem fracionária (ESP-OF). A estratégia é baseada em uma generalização do projeto de compensadores do tipo rede avançoatraso (lead-lag) para o domínio de funções de transferência de ordem fracionária. Uma nova variável de projeto, a qual define a ordem da dinâmica fracionária do controlador, é sintonizada para se obter um compromisso entre um bom desempenho no amortecimento do modo eletromecânico dominante e uma robustez ampliada do ESP-OF. O desempenho do ESP-OF foi avaliado experimentalmente, em um sistema de potência em escala reduzida, localizado no Laboratório de Sistemas de Potência da Universidade Federal do Pará. A referida planta de teste apresenta uma estrutura típica do tipo gerador síncrono conectado a um barramento infinito e exibe um modo dominante de oscilação eletromecânica, de amortecimento extremamente reduzido, cujo valor da frequência natural é em torno de 1,2 Hz. O ESP-OF foi então projetado para ampliar o amortecimento relativo desse modo alvo, para toda a faixa de operação admissível. Para fins de implementação prática, primeiramente foram realizados testes experimentais para a identificação de um modelo nominal da planta, sob a forma de uma função de transferência pulsada, para uso na fase de projeto. O modelo obtido experimentalmente foi então validado e posteriormente utilizado tanto para o projeto do ESP-OF quanto para o projeto de um ESP convencional (utilizado para fins de comparação de desempenho). As leis de controle amortecedor do ESP-OF foram calculadas, convertidas para a forma de equações a diferenças e, subsequentemente, embarcadas em sistema digital baseado em microcontrolador DSPIC. Diversos testes de resposta ao impulso foram realizadas sob diferentes condições operacionais. As respectivas respostas dinâmicas dos sinais de saída da planta (desvio de potencia ativa) e do esforço de controle foram registradas para fins de análise. Os resultados experimentais mostraram que o ESP fracionário apresentou um desemprenho dinâmico e robustez similar em comparação com o desempenho obtido por um ESP convencional, para toda a faixa de operação investigada.

Desenvolvimento de uma metodologia numérica para escoamentos viscoelásticos não-isotérmicos

Pós-graduação em Matematica Aplicada e Computacional - FCT