Numerical Computation of a Certain Dirichlet Series Attached to Siegel Modular Forms of Degree Two

The Rankin convolution type Dirichlet series D-F,D-G(s) of Siegel modular forms F and G of degree two, which was introduced by Kohnen and the second author, is computed numerically for various F and G. In particular, we prove that the series D-F,D-G(s), which shares the same functional equation and analytic behavior with the spinor L-functions of eigenforms of the same weight are not linear combinations of those. In order to conduct these experiments a numerical method to compute the Petersson scalar products of Jacobi Forms is developed and discussed in detail.

Approximation of riemanns zeta function by finite dirichlet series: A multiprecision numerical approach

The finite Dirichlet series of the title are defined by the condition that they vanish at as many initial zeros of the zeta function as possible. It turns out that such series can produce extremely good approximations to the values of Riemanns zeta function inside the critical strip. In addition, the coefficients of these series have remarkable number-theoretical properties discovered in large-scale high-precision numerical experiments. So far, we have found no theoretical explanation for the observed phenomena.

Over eene functie voorgesteld door eene reeks van Dirichlet,

Proefschrift--Utrecht.

Ueber das Dirichlet'sche Princip.

"Sonderabdruck aus der Festschrift zur Feier des 150 jährigen Bestehens der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1901."

Transformation formula for exponential sums involving fourier coefficients of modular forms

In 1984 Jutila [5] obtained a transformation formula for certain exponential sums involving the Fourier coefficients of a holomorphic cusp form for the full modular group SL(2, Z). With the help of the transformation formula he obtained good estimates for the distance between consecutive zeros on the critical line of the Dirichlet series associated with the cusp form and for the order of the Dirichlet series on the critical line, [7]. In this paper we follow Jutila to obtain a transformation formula for exponential sums involving the Fourier coefficients of either holomorphic cusp forms or certain Maass forms for congruence subgroups of SL(2, Z) and prove similar estimates for the corresponding Dirichlet series.

On the Barnes double zeta and Gamma functions

We present a complete description of the analytic properties of the Barnes double zeta and Gamma functions. (C) 2009 Elsevier Inc. All rights reserved.

Series de Dirichlet

Las series de potencias constituyeron una herramienta esencial manejada por Weierstrass en el siglo XIX dentro de su programa de aritmetización del Análisis Matemático. Más tarde, a principios del siglo XX, en conexión con la función zeta de Riemann se inició un estudio intensivo de las series de Dirichlet, que constituyen el objeto fundamental de este trabajo fin de grado. En lo que a la estructura del trabajo se refiere, se empieza con una breve presentación histórica y posteriormente se procede a ilustrar el concepto de serie de Dirichlet, introduciendo sus propiedades inmediatas, como bien pueden ser la convergencia y la analiticidad de la forma más general posible, para luego centrarnos en el caso de las series de Dirichlet clásicas u ordinarias, haciendo un inciso en su estructura algebraica existente y en los productos de Euler. Finalmente y como no podía ser de otra forma, cerramos este estudio con una introducción a las características de la ya mencionada función zeta de Riemann y la archiconocida hipótesis de Riemann. Se adjuntan además tres anexos con los resultados necesarios para la correcta evolución del trabajo.