Conexiones de Galois y técnicas de tratamiento de la información

En el ámbito de las estructuras ordenadas, Ø. Ore introdujo en 1944 el concepto de conexión de Galois como un par de funciones antítonas entre dos conjuntos parcialmente ordenados, generalizando así la teoría de polaridades entre retículos completos. Este concepto supone una generalización de la correspondencia subgrupo-subcuerpo que se describe en el clásico Teorema Fundamental de la Teoría de Galois, de ahí el origen del término. Años más tarde, J. Schmidt mantuvo la terminología de conexión de Galois, pero cambió las funciones antítonas por funciones isótonas, lo cual favoreció la aplicabilidad de este concepto a Computación. El término adjunción fue introducido en 1958 por D. M. Kan. Originalmente fueron definidas en un contexto categórico y tal vez debido a esto, pueden encontrarse gran cantidad de ejemplos de adjunciones en varias áreas de investigación, que van desde las más teóricas a las más aplicadas. En 1965, Lotfi Zadeh introduce la Teoría de Conjuntos Difusos. En su trabajo se aborda definitivamente el problema del modelado matemático de la ambigüedad, con la definición de conjunto difuso X en un universo U como una aplicación X: U→ [0,1] que asocia a cada elemento u del conjunto U un valor del intervalo real [0,1] y donde X(u) representa el grado de pertenencia de u al conjunto difuso X. El término conexión de Galois difusa fue introducido por R. Belohlávek como un par de aplicaciones definidas entre los conjuntos de conjuntos difusos definidos sobre dos universos. Desde entonces, en el ámbito de la lógica difusa, se pueden encontrar numerosos artículos en los cuales se estudian las conexiones de Galois difusas desde un punto de vista algebraico y abstracto. El objetivo principal de este trabajo es estudiar y caracterizar, a partir de una aplicación f: A→ B desde un conjunto A dotado con una determinada estructura hasta un conjunto B no necesariamente dotado de estructura, las situaciones en las cuales se pueda definir una estructura en B similar a la de A, de forma que además se pueda construir una aplicación g: B→ A tal que el par (f,g) sea una adjunción (conexión de Galois isótona). Se considera el conjunto A dotado con un orden parcial y se realiza la descomposición canónica de la función f a través del conjunto cociente de A con respecto a la relación núcleo. Partiendo del problema inicial de deducir las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un orden parcial en B y para la definición de un adjunto por la derecha de f, con esta descomposición canónica se pretende dividir la cuestión en tres problemas más simples, a saber, la construcción de un orden en el codominio y un adjunto por la derecha para cada una de las aplicaciones que forman parte de la citada descomposición. Esto resuelve la cuestión planteada para el caso de funciones que son sobreyectivas. Para el caso general, es necesario analizar previamente cómo extender una relación de preorden definida sobre un subconjunto de un conjunto dado a dicho conjunto, así como la definición de un adjunto por la derecha para la inclusión natural del subconjunto dentro del conjunto. Se continua la investigación considerando el conjunto A dotado con un preorden, en este caso la ausencia de la propiedad antisimétrica hace necesario utilizar la denominada relación p-núcleo, que es el cierre transitivo de la unión de la relación núcleo y la relación de equivalencia núcleo simétrico. Asimismo, el hecho de que no se tenga unicidad para el máximo o el mínimo de un subconjunto, conduce a trabajar con relaciones definidas en el conjunto de partes de un conjunto (concretamente, con el preorden de Hoare). Todo ello hace aumentar la dificultad en la búsqueda de las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una relación de preorden en el codominio y la existencia de un adjunto por la derecha. Se finaliza esta sección con el análisis de la unicidad del adjunto por la derecha y del orden parcial (preorden) definido sobre el codominio. Después del estudio anterior, se introducen los denominados operadores y sistemas de ≈-cierre en conjuntos preordenados y se analiza la relación existente entre ambos (que deja de ser biunívoca, como sucede en el caso de órdenes parciales). Se trabaja con la noción de compatibilidad respecto a una relación de equivalencia y se caracteriza la construcción de adjunciones entre conjuntos preordenados en términos de la existencia de un sistema de ≈-cierre compatible con la relación núcleo. En una segunda parte de la tesis, se aportan las definiciones de las nociones de adjunción difusa, co-adjunción difusa y conexiones de Galois difusas por la derecha y por la izquierda entre conjuntos con preórdenes difusos. Además se presentan las distintas caracterizaciones de los conceptos anteriormente señalados, así como las relaciones entre ellos. Se aborda la construcción de adjunciones entre conjuntos con órdenes difusos, utilizando de nuevo la relación núcleo, en su versión difusa, y la descomposición canónica de la función de partida respecto a ella. El teorema principal de esta sección recoge una caracterización para la definición de una relación difusa de orden sobre el codominio B y un adjunto por la derecha para f:(A, ρA) → B donde (A, ρA) es un conjunto con un orden difuso. El estudio del problema anterior entre conjuntos con preórdenes difusos, hace necesario trabajar con la relación difusa denominada p-núcleo. También es preciso definir un preorden difuso en el conjunto de partes de un conjunto para describir las condiciones bajo las que es posible la construcción de una adjunción. Se finaliza proponiendo la definición de sistema de cierre en un conjunto con un preorden difuso y algunas caracterizaciones más manejables. También se trabaja con los operadores de cierre definidos en un conjunto con un preorden difuso y se analiza la relación con los sistemas de cierre. Todo ello encaminado a caracterizar la construcción de un adjunto por la derecha y un preorden difuso sobre el codominio B de una de una aplicación f:(A, ρA) → B, donde ρA es un preorden difuso sobre A.

Galois extension of CP-Graded ring extensions

In this paper, we investigate galois theory of CP-graded ring extensions. In particular, we generalize some galois results given in [1, 2] and, without restriction to nor graded fields nor torsion free of the grade groups, we show that some results of graded field extensions given in [3] hold.

Computing congruences of modular forms and Galois representations modulo prime powers

This article starts a computational study of congruences of modular forms and modular Galoisrepresentations modulo prime powers. Algorithms are described that compute the maximum integermodulo which two monic coprime integral polynomials have a root in common in a sensethat is defined. These techniques are applied to the study of congruences of modular forms andmodular Galois representations modulo prime powers. Finally, some computational results withimplications on the (non-)liftability of modular forms modulo prime powers and possible generalisationsof level raising are presented.

Galois representations, embedding problems and modular forms

To an odd irreducible 2-dimensional complex linear representation of the absolute Galois group of the field Q of rational numbers, a modular form of weight 1 is associated (modulo Artin's conjecture on the L-series of the representation in the icosahedral case). In addition, linear liftings of 2-dimensional projective Galois representations are related to solutions of certain Galois embedding problems. In this paper we present some recent results on the existence of liftings of projective representations and on the explicit resolution of embedding problems associated to orthogonal Galois representations, and explain how these results can be used to construct modular forms.

The Valentiner group as Galois group

We obtain the complete set of solutions to the Galois embedding problem given by the Valentiner group as a triple cover of the alternatinggroup A6.

Lattices for 3-Dimensional Fuzzy Data generated by Fuzzy Galois Connections

Vagueness and high dimensional space data are usual features of current data. The paper is an approach to identify conceptual structures among fuzzy three dimensional data sets in order to get conceptual hierarchy. We propose a fuzzy extension of the Galois connections that allows to demonstrate an isomorphism theorem between fuzzy sets closures which is the basis for generating lattices ordered-sets

Remarks on abstract Galois theory

This paper is a historical companion to a previous one, in which it was studied the so-called abstract Galois theory as formulated by the Portuguese mathematician José Sebastião e Silva (see da Costa, Rodrigues (2007)). Our purpose is to present some applications of abstract Galois theory to higher-order model theory, to discuss Silva's notion of expressibility and to outline a classical Galois theory that can be obtained inside the two versions of the abstract theory, those of Mark Krasner and of Silva. Some comments are made on the universal theory of (set-theoretic) structures.

Problème inverse de Galois : critère de rigidité

Dans ce mémoire, on étudie les extensions galoisiennes finies de C(x). On y démontre le théorème d'existence de Riemann. Les notions de rigidité faible, rigidité et rationalité y sont développées. On y obtient le critère de rigidité qui permet de réaliser certains groupes comme groupes de Galois sur Q. Plusieurs exemples de types de ramification sont construis.

Galois orders in skew monoid rings

We introduce a new class of noncommutative rings - Galois orders, realized as certain subrings of invariants in skew semigroup rings, and develop their structure theory. The class of Calms orders generalizes classical orders in noncommutative rings and contains many important examples, such as the Generalized Weyl algebras, the universal enveloping algebra of the general linear Lie algebra, associated Yangians and finite W-algebras (C) 2010 Elsevier Inc All rights reserved

La corrispondenza di Galois

In questa tesi viene studiata la corrispondenza di Galois. Tale corrispondenza mette in relazione particolari sottogruppi con sottocampi intermedi di un'estensione finita.

La corrispondenza di Galois per polinomi di terzo e quarto grado

Nella tesi viene studiata tramite un certo numero di esempi la corrispondenza di Galois per polinomi di terzo e quarto grado.

Teoria di Galois e polinomi ciclotomici

Questa tesi tratta di argomenti di Teoria di Galois. In essa sono presenti alcuni richiami fondamentali della teoria di Galois, come il gruppo di Galois di una estensione di campi di Galois e la corrispondenza di Galois. Prosegue con lo studio delle radici m-esime primitive dell'unità e dei polinomi ciclotomici. Infine si studia il gruppo di Galois di un polinomio ciclotomico.