“Imagens do Som: figuras de Chladni”

“Imagens do som: figuras de Chladni” - Experiência (vídeo de 6 min 4 s, Graça Carraça, Departamento de Física, Escola de Ciências e Tecnologia- Universidade de Évora). A experiência sobre figuras de Chladni registada neste vídeo faz parte de um conjunto de trabalhos de divulgação, seleccionados de entre os vários disponíveis no Departamento de Física e que podem ser explorados de uma forma mais avançada nas nossas aulas. Esta experiência foi recentemente apresentada como actividade interactiva a um público muito jovem, crianças dos 7 aos 12 anos, do Campo de Férias SASUE - 2016, integrada no tema “Explorando o som”. A experiência suscitou muita curiosidade e o interesse sobre a explicação dos fenómenos em causa, havendo um entusiasmo acrescido por terem tido a possibilidade de realizarem eles próprios a experiência. Com este registo em vídeo pretende-se facilitar o trabalho dos alunos e professores que queiram realizar a experiência e suscitar o interesse para a exploração de experiências sobre este tema para além do que aqui foi apresentado.

Croissance et ensemble nodal de fonctions propres du laplacien sur des surfaces

Dans cette thèse, nous étudions les fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami - ou simplement laplacien - sur une surface fermée, c'est-à-dire une variété riemannienne lisse, compacte et sans bord de dimension 2. Ces fonctions propres satisfont l'équation $\Delta_g \phi_\lambda + \lambda \phi_\lambda = 0$ et les valeurs propres forment une suite infinie. L'ensemble nodal d'une fonction propre du laplacien est celui de ses zéros et est d'intérêt depuis les expériences de plaques vibrantes de Chladni qui remontent au début du 19ème siècle et, plus récemment, dans le contexte de la mécanique quantique. La taille de cet ensemble nodal a été largement étudiée ces dernières années, notamment par Donnelly et Fefferman, Colding et Minicozzi, Hezari et Sogge, Mangoubi ainsi que Sogge et Zelditch. L'étude de la croissance de fonctions propres n'est pas en reste, avec entre autres les récents travaux de Donnelly et Fefferman, Sogge, Toth et Zelditch, pour ne nommer que ceux-là. Notre thèse s'inscrit dans la foulée du travail de Nazarov, Polterovich et Sodin et relie les propriétés de croissance des fonctions propres avec la taille de leur ensemble nodal dans l'asymptotique $\lambda \nearrow \infty$. Pour ce faire, nous considérons d'abord les exposants de croissance, qui mesurent la croissance locale de fonctions propres et qui sont obtenus à partir de la norme uniforme de celles-ci. Nous construisons ensuite la croissance locale moyenne d'une fonction propre en calculant la moyenne sur toute la surface de ces exposants de croissance, définis sur de petits disques de rayon comparable à la longueur d'onde. Nous montrons alors que la taille de l'ensemble nodal est contrôlée par le produit de cette croissance locale moyenne et de la fréquence $\sqrt{\lambda}$. Ce résultat permet une reformulation centrée sur les fonctions propres de la célèbre conjecture de Yau, qui prévoit que la mesure de l'ensemble nodal croît au rythme de la fréquence. Notre travail renforce également l'intuition répandue selon laquelle une fonction propre se comporte comme un polynôme de degré $\sqrt{\lambda}$. Nous généralisons ensuite nos résultats pour des exposants de croissance construits à partir de normes $L^q$. Nous sommes également amenés à étudier les fonctions appartenant au noyau d'opérateurs de Schrödinger avec petit potentiel dans le plan. Pour de telles fonctions, nous obtenons deux résultats qui relient croissance et taille de l'ensemble nodal.

Kurze Übersicht der Schall- und Klanglehre, nebst einem Anhange die Entwickelung und Anordnung der Tonverhältnisse betreffend

von E.F.F. Chladni

Ueber Feuer-Meteore : und über die mit denselben herabgefallenen Massen /

"Anhang. Verzeichniss der Sammlung von Meteormassen, welche sich im K. K. Hof-Mineralien-Cabinette in Wien befindet, vom Director von Schreibers": p. 425-434.