Geometry over two Arbitrary Arithmetic Progressions

We consider quadrate matrices with elements of the first row members of an arithmetic progression and of the second row members of other arithmetic progression. We prove the set of these matrices is a group. Then we give a parameterization of this group and investigate about some invariants of the corresponding geometry. We find an invariant of any two points and an invariant of any sixth points. All calculations are made by Maple.

Irrégularités dans la distribution des nombres premiers et des suites plus générales dans les progressions arithmétiques

Le sujet principal de cette thèse est la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, c'est-à-dire des nombres premiers de la forme $qn+a$, avec $a$ et $q$ des entiers fixés et $n=1,2,3,\dots$ La thèse porte aussi sur la comparaison de différentes suites arithmétiques par rapport à leur comportement dans les progressions arithmétiques. Elle est divisée en quatre chapitres et contient trois articles. Le premier chapitre est une invitation à la théorie analytique des nombres, suivie d'une revue des outils qui seront utilisés plus tard. Cette introduction comporte aussi certains résultats de recherche, que nous avons cru bon d'inclure au fil du texte. Le deuxième chapitre contient l'article \emph{Inequities in the Shanks-Rényi prime number race: an asymptotic formula for the densities}, qui est le fruit de recherche conjointe avec le professeur Greg Martin. Le but de cet article est d'étudier un phénomène appelé le <>, qui s'observe dans les <>. Chebyshev a observé qu'il semble y avoir plus de premiers de la forme $4n+3$ que de la forme $4n+1$. De manière plus générale, Rubinstein et Sarnak ont montré l'existence d'une quantité $\delta(q;a,b)$, qui désigne la probabilité d'avoir plus de premiers de la forme $qn+a$ que de la forme $qn+b$. Dans cet article nous prouvons une formule asymptotique pour $\delta(q;a,b)$ qui peut être d'un ordre de précision arbitraire (en terme de puissance négative de $q$). Nous présentons aussi des résultats numériques qui supportent nos formules. Le troisième chapitre contient l'article \emph{Residue classes containing an unexpected number of primes}. Le but est de fixer un entier $a\neq 0$ et ensuite d'étudier la répartition des premiers de la forme $qn+a$, en moyenne sur $q$. Nous montrons que l'entier $a$ fixé au départ a une grande influence sur cette répartition, et qu'il existe en fait certaines progressions arithmétiques contenant moins de premiers que d'autres. Ce phénomène est plutôt surprenant, compte tenu du théorème des premiers dans les progressions arithmétiques qui stipule que les premiers sont équidistribués dans les classes d'équivalence $\bmod q$. Le quatrième chapitre contient l'article \emph{The influence of the first term of an arithmetic progression}. Dans cet article on s'intéresse à des irrégularités similaires à celles observées au troisième chapitre, mais pour des suites arithmétiques plus générales. En effet, nous étudions des suites telles que les entiers s'exprimant comme la somme de deux carrés, les valeurs d'une forme quadratique binaire, les $k$-tuplets de premiers et les entiers sans petit facteur premier. Nous démontrons que dans chacun de ces exemples, ainsi que dans une grande classe de suites arithmétiques, il existe des irrégularités dans les progressions arithmétiques $a\bmod q$, avec $a$ fixé et en moyenne sur $q$.

Les progressions arithmétiques dans les nombres entiers

Le sujet de cette thèse est l'étude des progressions arithmétiques dans les nombres entiers. Plus précisément, nous nous intéressons à borner inférieurement v(N), la taille du plus grand sous-ensemble des nombres entiers de 1 à N qui ne contient pas de progressions arithmétiques de 3 termes. Nous allons donc construire de grands sous-ensembles de nombres entiers qui ne contiennent pas de telles progressions, ce qui nous donne une borne inférieure sur v(N). Nous allons d'abord étudier les preuves de toutes les bornes inférieures obtenues jusqu'à présent, pour ensuite donner une autre preuve de la meilleure borne. Nous allons considérer les points à coordonnés entières dans un anneau à d dimensions, et compter le nombre de progressions arithmétiques qu'il contient. Pour obtenir des bornes sur ces quantités, nous allons étudier les méthodes pour compter le nombre de points de réseau dans des sphères à plusieurs dimensions, ce qui est le sujet de la dernière section.

Strings of congruent primes in short intervals

Soit $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5,\ldots$ la suite des nombres premiers, et soient $q \ge 3$ et $a$ des entiers premiers entre eux. R\'ecemment, Daniel Shiu a d\'emontr\'e une ancienne conjecture de Sarvadaman Chowla. Ce dernier a conjectur\'e qu'il existe une infinit\'e de couples $p_n,p_{n+1}$ de premiers cons\'ecutifs tels que $p_n \equiv p_{n+1} \equiv a \bmod q$. Fixons $\epsilon > 0$. Une r\'ecente perc\'ee majeure, de Daniel Goldston, J\`anos Pintz et Cem Y{\i}ld{\i}r{\i}m, a \'et\'e de d\'emontrer qu'il existe une suite de nombres r\'eels $x$ tendant vers l'infini, tels que l'intervalle $(x,x+\epsilon\log x]$ contienne au moins deux nombres premiers $\equiv a \bmod q$. \'Etant donn\'e un couple de nombres premiers $\equiv a \bmod q$ dans un tel intervalle, il pourrait exister un nombre premier compris entre les deux qui n'est pas $\equiv a \bmod q$. On peut d\'eduire que soit il existe une suite de r\'eels $x$ tendant vers l'infini, telle que $(x,x+\epsilon\log x]$ contienne un triplet $p_n,p_{n+1},p_{n+2}$ de nombres premiers cons\'ecutifs, soit il existe une suite de r\'eels $x$, tendant vers l'infini telle que l'intervalle $(x,x+\epsilon\log x]$ contienne un couple $p_n,p_{n+1}$ de nombres premiers tel que $p_n \equiv p_{n+1} \equiv a \bmod q$. On pense que les deux \'enonc\'es sont vrais, toutefois on peut seulement d\'eduire que l'un d'entre eux est vrai, sans savoir lequel. Dans la premi\`ere partie de cette th\`ese, nous d\'emontrons que le deuxi\`eme \'enonc\'e est vrai, ce qui fournit une nouvelle d\'emonstration de la conjecture de Chowla. La preuve combine des id\'ees de Shiu et de Goldston-Pintz-Y{\i}ld{\i}r{\i}m, donc on peut consid\'erer que ce r\'esultat est une application de leurs m\'thodes. Ensuite, nous fournirons des bornes inf\'erieures pour le nombre de couples $p_n,p_{n+1}$ tels que $p_n \equiv p_{n+1} \equiv a \bmod q$, $p_{n+1} - p_n < \epsilon\log p_n$, avec $p_{n+1} \le Y$. Sous l'hypoth\`ese que $\theta$, le \og niveau de distribution \fg{} des nombres premiers, est plus grand que $1/2$, Goldston-Pintz-Y{\i}ld{\i}r{\i}m ont r\'eussi \`a d\'emontrer que $p_{n+1} - p_n \ll_{\theta} 1$ pour une infinit\'e de couples $p_n,p_{n+1}$. Sous la meme hypoth\`ese, nous d\'emontrerons que $p_{n+1} - p_n \ll_{q,\theta} 1$ et $p_n \equiv p_{n+1} \equiv a \bmod q$ pour une infinit\'e de couples $p_n,p_{n+1}$, et nous prouverons \'egalement un r\'esultat quantitatif. Dans la deuxi\`eme partie, nous allons utiliser les techniques de Goldston-Pintz-Y{\i}ld{\i}r{\i}m pour d\'emontrer qu'il existe une infinit\'e de couples de nombres premiers $p,p'$ tels que $(p-1)(p'-1)$ est une carr\'e parfait. Ce resultat est une version approximative d'une ancienne conjecture qui stipule qu'il existe une infinit\'e de nombres premiers $p$ tels que $p-1$ est une carr\'e parfait. En effet, nous d\'emontrerons une borne inf\'erieure sur le nombre d'entiers naturels $n \le Y$ tels que $n = \ell_1\cdots \ell_r$, avec $\ell_1,\ldots,\ell_r$ des premiers distincts, et tels que $(\ell_1-1)\cdots (\ell_r-1)$ est une puissance $r$-i\`eme, avec $r \ge 2$ quelconque. \'Egalement, nous d\'emontrerons une borne inf\'erieure sur le nombre d'entiers naturels $n = \ell_1\cdots \ell_r \le Y$ tels que $(\ell_1+1)\cdots (\ell_r+1)$ est une puissance $r$-i\`eme. Finalement, \'etant donn\'e $A$ un ensemble fini d'entiers non-nuls, nous d\'emontrerons une borne inf\'erieure sur le nombre d'entiers naturels $n \le Y$ tels que $\prod_{p \mid n} (p+a)$ est une puissance $r$-i\`eme, simultan\'ement pour chaque $a \in A$.

Structures linéaires dans les ensembles à faible densité

Réalisé en cotutelle avec l'Université Paris-Diderot.

Números primos e divisibilidade: estudo de propriedades

Pós-graduação em Matemática em Rede Nacional - IBILCE

Aplicação da matemática em investimentos financeiros : caderneta de poupança e títulos públicos

Iniciando com um breve estudo de porcentagem e algumas de suas aplicações, o desenvolvimento deste trabalho consiste de uma revisão dos fundamentos da matemática financeira e suas aplicações em dois tipos de investimentos financeiros denominados caderneta de poupança e títulos públicos. Além do clássico estudo de juros simples e compostos, associando-os a progressões aritméticas e geométricas, respectivamente, aborda-se sobre os vários tipos de taxas (proporcionais e equivalentes, nominais e efetivas, variáveis e acumuladas) incluindo a conceituação de taxa por dia útil. Fundamentado nos assuntos mencionados, o trabalho encerra-se com uma aplicação da matemática financeira associada a investimentos na caderneta de poupança e nos diversos títulos públicos negociados no Tesouro Direto.

Efficient Implementation Of A Single-Precision Floating-Point Arithmetic Unit on FPGA

This paper presents a single precision floating point arithmetic unit with support for multiplication, addition, fused multiply-add, reciprocal, square-root and inverse squareroot with high-performance and low resource usage. The design uses a piecewise 2nd order polynomial approximation to implement reciprocal, square-root and inverse square-root. The unit can be configured with any number of operations and is capable to calculate any function with a throughput of one operation per cycle. The floatingpoint multiplier of the unit is also used to implement the polynomial approximation and the fused multiply-add operation. We have compared our implementation with other state-of-the-art proposals, including the Xilinx Core-Gen operators, and conclude that the approach has a high relative performance/area efficiency. © 2014 Technical University of Munich (TUM).

Arithmetic-based binary-to-RNS converter modulo {2(n)+/- k} for jn-Bit dynamic range

In this brief, a read-only-memoryless structure for binary-to-residue number system (RNS) conversion modulo {2(n) +/- k} is proposed. This structure is based only on adders and constant multipliers. This brief is motivated by the existing {2(n) +/- k} binary-to-RNS converters, which are particular inefficient for larger values of n. The experimental results obtained for 4n and 8n bits of dynamic range suggest that the proposed conversion structures are able to significantly improve the forward conversion efficiency, with an AT metric improvement above 100%, regarding the related state of the art. Delay improvements of 2.17 times with only 5% area increase can be achieved if a proper selection of the {2(n) +/- k} moduli is performed.

On an upper bound for the arithmetic self-intersection number of the dualizing sheaf on arithmetic surfaces

Vegeu el resum a l'inici del document del fitxer adjunt

Higher arithmetic Chow groups

We give a new construction of higher arithmetic Chow groups for quasi-projective arithmetic varieties over a field. Our definition agrees with the higher arithmetic Chow groups defined by Goncharov for projective arithmetic varieties over a field. These groups are the analogue, in the Arakelov context, of the higher algebraic Chow groups defined by Bloch. The degree zero group agrees with the arithmetic Chow groups of Burgos. Our new construction is shown to be a contravariant functor and is endowed with a product structure, which is commutative and associative.

Singular Bott-Chern classes and the arithmetic Grothendieck-Riemann-Roch theorem for closed immersions

We study the singular Bott-Chern classes introduced by Bismut, Gillet and Soulé. Singular Bott-Chern classes are the main ingredient to define direct images for closed immersions in arithmetic K-theory. In this paper we give an axiomatic definition of a theory of singular Bott-Chern classes, study their properties, and classify all possible theories of this kind. We identify the theory defined by Bismut, Gillet and Soulé as the only one that satisfies the additional condition of being homogeneous. We include a proof of the arithmetic Grothendieck-Riemann-Roch theorem for closed immersions that generalizes a result of Bismut, Gillet and Soulé and was already proved by Zha. This result can be combined with the arithmetic Grothendieck-Riemann-Roch theorem for submersions to extend this theorem to arbitrary projective morphisms. As a byproduct of this study we obtain two results of independent interest. First, we prove a Poincaré lemma for the complex of currents with fixed wave front set, and second we prove that certain direct images of Bott-Chern classes are closed.

An irreducibility criterion for group representations, with arithmetic applications

We prove a criterion for the irreducibility of an integral group representation p over the fraction field of a noetherian domain R in terms of suitably defined reductions of p at prime ideals of R. As applications, we give irreducibility results for universal deformations of residual representations, with a special attention to universal deformations of residual Galois representations associated with modular forms of weight at least 2.