Théorèmes d'existence pour des systèmes d'équations différentielles et d'équations aux échelles de temps.

Nous présentons dans cette thèse des théorèmes d’existence pour des systèmes d’équations différentielles non-linéaires d’ordre trois, pour des systèmes d’équa- tions et d’inclusions aux échelles de temps non-linéaires d’ordre un et pour des systèmes d’équations aux échelles de temps non-linéaires d’ordre deux sous cer- taines conditions aux limites. Dans le chapitre trois, nous introduirons une notion de tube-solution pour obtenir des théorèmes d’existence pour des systèmes d’équations différentielles du troisième ordre. Cette nouvelle notion généralise aux systèmes les notions de sous- et sur-solutions pour le problème aux limites de l’équation différentielle du troisième ordre étudiée dans [34]. Dans la dernière section de ce chapitre, nous traitons les systèmes d’ordre trois lorsque f est soumise à une condition de crois- sance de type Wintner-Nagumo. Pour admettre l’existence de solutions d’un tel système, nous aurons recours à la théorie des inclusions différentielles. Ce résultat d’existence généralise de diverses façons un théorème de Grossinho et Minhós [34]. Le chapitre suivant porte sur l’existence de solutions pour deux types de sys- tèmes d’équations aux échelles de temps du premier ordre. Les résultats d’exis- tence pour ces deux problèmes ont été obtenus grâce à des notions de tube-solution adaptées à ces systèmes. Le premier théorème généralise entre autre aux systèmes et à une échelle de temps quelconque, un résultat obtenu pour des équations aux différences finies par Mawhin et Bereanu [9]. Ce résultat permet également d’obte- nir l’existence de solutions pour de nouveaux systèmes dont on ne pouvait obtenir l’existence en utilisant le résultat de Dai et Tisdell [17]. Le deuxième théorème de ce chapitre généralise quant à lui, sous certaines conditions, des résultats de [60]. Le chapitre cinq aborde un nouveau théorème d’existence pour un système d’in- clusions aux échelles de temps du premier ordre. Selon nos recherches, aucun résultat avant celui-ci ne traitait de l’existence de solutions pour des systèmes d’inclusions de ce type. Ainsi, ce chapitre ouvre de nouvelles possibilités dans le domaine des inclusions aux échelles de temps. Notre résultat a été obtenu encore une fois à l’aide d’une hypothèse de tube-solution adaptée au problème. Au chapitre six, nous traitons l’existence de solutions pour des systèmes d’équations aux échelles de temps d’ordre deux. Le premier théorème d’existence que nous obtenons généralise les résultats de [36] étant donné que l’hypothèse que ces auteurs utilisent pour faire la majoration a priori est un cas particulier de notre hypothèse de tube-solution pour ce type de systèmes. Notons également que notre définition de tube-solution généralise aux systèmes les notions de sous- et sur-solutions introduites pour les équations d’ordre deux par [4] et [55]. Ainsi, nous généralisons également des résultats obtenus pour des équations aux échelles de temps d’ordre deux. Finalement, nous proposons un nouveau résultat d’exis- tence pour un système dont le membre droit des équations dépend de la ∆-dérivée de la fonction.

Équations différentielles issues des vecteurs singuliers des représentations de l'algèbre de Virasoro

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Discrétisation des équations différentielles ordinaires avec préservation de leurs symétries

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Équations différentielles à retard et leur application en hématopoïèse, avec étude du cas de la neutropénie cyclique

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Discrétisation des équations différentielles ordinaires avec préservation de leurs symétries

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Équations différentielles à retard et leur application en hématopoïèse, avec étude du cas de la neutropénie cyclique

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Sur l’existence de solutions pour l’équation de van der Pol et pour certaines équations différentielles du second ordre, en présence d’impulsions ; sur la moyennisation pour les équations différentielles floues

Cette thèse est constituée de deux parties : Dans la première partie nous étudions l’existence de solutions périodiques, de periode donnée, et à variations bornées, de l’équation de van der Pol en présence d’impulsions. Nous étudions, en premier, le cas où les impulsions ne dépendent pas de l’état. Ensuite, nous considèrons le cas où les impulsions dépendent de la moyenne de l’état et enfin, nous traitons le cas général où les impulsions dépendent de l’état. La méthode de résolution est basée sur le principe de point fixe de type contraction. Nous nous intéressons ensuite à l’étude d’un problème avec trois points aux limites, associé à certaines équations différentielles impulsives du second ordre. Nous obtenons un premier résultat d’existence de solutions en appliquant le théorème de point fixe de Schaefer. Un deuxième résultat est obtenu en utilisant le théorème de point fixe de Sadovskii. Pour le résultat d’unicité des solutions nous appliquons, enfin, un théorème de point fixe de type contraction. La deuxième partie est consacrée à la justification de la technique de moyennisation dans le cadre des équations différentielles floues. Les conditions sur les données que nous imposons sont moins restrictives que celles de la littérature.

Caractère intrinsèque des matrices de Stokes

Il est connu qu’une équation différentielle linéaire, x^(k+1)Y' = A(x)Y, au voisinage d’un point singulier irrégulier non-résonant est uniquement déterminée (à isomorphisme analytique près) par : (1) sa forme normale formelle, (2) sa collection de matrices de Stokes. La définition des matrices de Stokes fait appel à un ordre sur les parties réelles des valeurs propres du système, ordre qui peut être perturbé par une rotation en x. Dans ce mémoire, nous avons établi le caractère intrinsèque de cette relation : nous avons donc établi comment la nouvelle collection de matrices de Stokes obtenue après une rotation en x qui change l’ordre des parties réelles des valeurs propres dépend de la collection initiale. Pour ce faire, nous donnons un chapitre de préliminaires généraux sur la forme normale des équations différentielles ordinaires puis un chapitre sur le phénomène de Stokes pour les équations différentielles linéaires. Le troisième chapitre contient nos résultats.

Unfolded singularities of analytic differential equations

La thèse est composée d’un chapitre de préliminaires et de deux articles sur le sujet du déploiement de singularités d’équations différentielles ordinaires analytiques dans le plan complexe. L’article Analytic classification of families of linear differential systems unfolding a resonant irregular singularity traite le problème de l’équivalence analytique de familles paramétriques de systèmes linéaires en dimension 2 qui déploient une singularité résonante générique de rang de Poincaré 1 dont la matrice principale est composée d’un seul bloc de Jordan. La question: quand deux telles familles sontelles équivalentes au moyen d’un changement analytique de coordonnées au voisinage d’une singularité? est complètement résolue et l’espace des modules des classes d’équivalence analytiques est décrit en termes d’un ensemble d’invariants formels et d’un invariant analytique, obtenu à partir de la trace de la monodromie. Des déploiements universels sont donnés pour toutes ces singularités. Dans l’article Confluence of singularities of non-linear differential equations via Borel–Laplace transformations on cherche des solutions bornées de systèmes paramétriques des équations non-linéaires de la variété centre de dimension 1 d’une singularité col-noeud déployée dans une famille de champs vectoriels complexes. En général, un système d’ÉDO analytiques avec une singularité double possède une unique solution formelle divergente au voisinage de la singularité, à laquelle on peut associer des vraies solutions sur certains secteurs dans le plan complexe en utilisant les transformations de Borel–Laplace. L’article montre comment généraliser cette méthode et déployer les solutions sectorielles. On construit des solutions de systèmes paramétriques, avec deux singularités régulières déployant une singularité irrégulière double, qui sont bornées sur des domaines «spirals» attachés aux deux points singuliers, et qui, à la limite, convergent vers une paire de solutions sectorielles couvrant un voisinage de la singularité confluente. La méthode apporte une description unifiée pour toutes les valeurs du paramètre.

Sur un modèle d'érythropoïèse comportant un taux de mortalité dynamique

Ce mémoire concerne la modélisation mathématique de l’érythropoïèse, à savoir le processus de production des érythrocytes (ou globules rouges) et sa régulation par l’érythropoïétine, une hormone de contrôle. Nous proposons une extension d’un modèle d’érythropoïèse tenant compte du vieillissement des cellules matures. D’abord, nous considérons un modèle structuré en maturité avec condition limite mouvante, dont la dynamique est capturée par des équations d’advection. Biologiquement, la condition limite mouvante signifie que la durée de vie maximale varie afin qu’il y ait toujours un flux constant de cellules éliminées. Par la suite, des hypothèses sur la biologie sont introduites pour simplifier ce modèle et le ramener à un système de trois équations différentielles à retard pour la population totale, la concentration d’hormones ainsi que la durée de vie maximale. Un système alternatif composé de deux équations avec deux retards constants est obtenu en supposant que la durée de vie maximale soit fixe. Enfin, un nouveau modèle est introduit, lequel comporte un taux de mortalité augmentant exponentiellement en fonction du niveau de maturité des érythrocytes. Une analyse de stabilité linéaire permet de détecter des bifurcations de Hopf simple et double émergeant des variations du gain dans la boucle de feedback et de paramètres associés à la fonction de survie. Des simulations numériques suggèrent aussi une perte de stabilité causée par des interactions entre deux modes linéaires et l’existence d’un tore de dimension deux dans l’espace de phase autour de la solution stationnaire.

Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal,

1. ptie. Généralités. Coordonnées curvilignes. Surfaces minima. 1887.--2. ptie. Les congruences et les équations linéaires aux dérivées partielles. Des lignes tracées sur les surfaces. 1889.--3. ptie. Lignes géodésiques et courbure géodésique. Paramètres différentiels. Déformation des surfaces. 1894.--4. ptie. Déformation infiniment petite et représentation sphérique. Notes et additions: I. Sur les méthodes d'approximations successives dans la théorie des équations différentielles, par É. Picard. II. Sur les géodésiques à intégrales quadratiques, par G. Koenigs. III. Sur la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre, par E. Cosserat. IV-XI. Par l'auteur. 1896.

Cours d'analyse de l'École polytechnique /

1. t. Calcul différentiel: Variables réelles. Variables complexes. Séries. Applications géométriques de la série de Taylor. Courbes planes algébriques.--2. t. Calcul intégral: Intégrales indéfinies. Intégrales définies. Des fonctions représentées par des intégrales définies. Potentiels newtoniens. Séries de Fourier. Intégrales complexes. Fonctions elliptiques. Intégrales abéliennes.--3. t. Équations différentielles ordinaires. Équations linéaires. Équations aux dérivées partielles. Calcul des variations. Potentiels newtoniens.

Sampling Interval and estimated Betas : Implications for the Presence of Transitory Components in Stock Prices

We provide a theoretical framework to explain the empirical finding that the estimated betas are sensitive to the sampling interval even when using continuously compounded returns. We suppose that stock prices have both permanent and transitory components. The permanent component is a standard geometric Brownian motion while the transitory component is a stationary Ornstein-Uhlenbeck process. The discrete time representation of the beta depends on the sampling interval and two components labelled \"permanent and transitory betas\". We show that if no transitory component is present in stock prices, then no sampling interval effect occurs. However, the presence of a transitory component implies that the beta is an increasing (decreasing) function of the sampling interval for more (less) risky assets. In our framework, assets are labelled risky if their \"permanent beta\" is greater than their \"transitory beta\" and vice versa for less risky assets. Simulations show that our theoretical results provide good approximations for the means and standard deviations of estimated betas in small samples. Our results can be perceived as indirect evidence for the presence of a transitory component in stock prices, as proposed by Fama and French (1988) and Poterba and Summers (1988).

Évaluation in silico des pompes d’assistance ventriculaire de type écoulement mixte

L'insuffisance cardiaque est une maladie à grande incidence dont le traitement définitif est difficile. Les pompes d'assistance ventriculaire ont été proposées comme thérapie alternative à long terme, mais la technologie est relativement jeune et selon son design, axial ou centrifuge, le dispositif favorise soit l'hémolyse, soit la stagnation de l'écoulement sanguin. Les pompes à écoulement mixte, combinant certaines propriétés des deux types, ont été proposées comme solution intermédiaire. Pour évaluer leurs performances, nous avons effectué des comparaisons numériques entre huit pompes, deux axiales, deux centrifuges, et quatre mixtes, en employant un modèle Windkessel du système cardiovasculaire avec paramètres optimisés pour l'insuffisance cardiaque résolu avec une méthode Radau IIA3, une méthode de résolution de système d'équations différentielles ordinaires L-stable appartenant à la famille des méthodes Runge-Kutta implicites. Nos résultats semblent suggérer que les pompes d'assistance mixtes ne démontrent qu'un léger avantage comparativement aux autres types en terme de performance optimale dans le cas de l'insuffisance cardiaque, mais il faudrait effectuer plus d'essais numériques avec un modèle plus complet, entre autres avec contrôles nerveux implémentés.

New simulation schemes for the Heston model

Les titres financiers sont souvent modélisés par des équations différentielles stochastiques (ÉDS). Ces équations peuvent décrire le comportement de l'actif, et aussi parfois certains paramètres du modèle. Par exemple, le modèle de Heston (1993), qui s'inscrit dans la catégorie des modèles à volatilité stochastique, décrit le comportement de l'actif et de la variance de ce dernier. Le modèle de Heston est très intéressant puisqu'il admet des formules semi-analytiques pour certains produits dérivés, ainsi qu'un certain réalisme. Cependant, la plupart des algorithmes de simulation pour ce modèle font face à quelques problèmes lorsque la condition de Feller (1951) n'est pas respectée. Dans ce mémoire, nous introduisons trois nouveaux algorithmes de simulation pour le modèle de Heston. Ces nouveaux algorithmes visent à accélérer le célèbre algorithme de Broadie et Kaya (2006); pour ce faire, nous utiliserons, entre autres, des méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) et des approximations. Dans le premier algorithme, nous modifions la seconde étape de la méthode de Broadie et Kaya afin de l'accélérer. Alors, au lieu d'utiliser la méthode de Newton du second ordre et l'approche d'inversion, nous utilisons l'algorithme de Metropolis-Hastings (voir Hastings (1970)). Le second algorithme est une amélioration du premier. Au lieu d'utiliser la vraie densité de la variance intégrée, nous utilisons l'approximation de Smith (2007). Cette amélioration diminue la dimension de l'équation caractéristique et accélère l'algorithme. Notre dernier algorithme n'est pas basé sur une méthode MCMC. Cependant, nous essayons toujours d'accélérer la seconde étape de la méthode de Broadie et Kaya (2006). Afin de réussir ceci, nous utilisons une variable aléatoire gamma dont les moments sont appariés à la vraie variable aléatoire de la variance intégrée par rapport au temps. Selon Stewart et al. (2007), il est possible d'approximer une convolution de variables aléatoires gamma (qui ressemble beaucoup à la représentation donnée par Glasserman et Kim (2008) si le pas de temps est petit) par une simple variable aléatoire gamma.