Quasiconformal mappings and inequalities involving special functions

This PhD thesis in Mathematics belongs to the field of Geometric Function Theory. The thesis consists of four original papers. The topic studied deals with quasiconformal mappings and their distortion theory in Euclidean n-dimensional spaces. This theory has its roots in the pioneering papers of F. W. Gehring and J. Väisälä published in the early 1960’s and it has been studied by many mathematicians thereafter. In the first paper we refine the known bounds for the so-called Mori constant and also estimate the distortion in the hyperbolic metric. The second paper deals with radial functions which are simple examples of quasiconformal mappings. These radial functions lead us to the study of the so-called p-angular distance which has been studied recently e.g. by L. Maligranda and S. Dragomir. In the third paper we study a class of functions of a real variable studied by P. Lindqvist in an influential paper. This leads one to study parametrized analogues of classical trigonometric and hyperbolic functions which for the parameter value p = 2 coincide with the classical functions. Gaussian hypergeometric functions have an important role in the study of these special functions. Several new inequalities and identities involving p-analogues of these functions are also given. In the fourth paper we study the generalized complete elliptic integrals, modular functions and some related functions. We find the upper and lower bounds of these functions, and those bounds are given in a simple form. This theory has a long history which goes back two centuries and includes names such as A. M. Legendre, C. Jacobi, C. F. Gauss. Modular functions also occur in the study of quasiconformal mappings. Conformal invariants, such as the modulus of a curve family, are often applied in quasiconformal mapping theory. The invariants can be sometimes expressed in terms of special conformal mappings. This fact explains why special functions often occur in this theory.

Variação radial da retratibilidade e densidade básica da madeira de Eucalyptus saligna Sm.

A ultra-estrutura e a composição química da madeira, bem como suas propriedades físicas e mecânicas, variam significativamente entre espécies, entre árvores de uma mesma espécie e, mesmo, entre diferentes partes de uma mesma árvore. Com este trabalho objetivou-se o estudo dos parâmetros de retratibilidade e de densidade básica da madeira Eucalyptus saligna, com idade de 16 anos, proveniente de talhões experimentais da EMBRAPA Florestas, de Colombo, Paraná. As amostras foram retiradas à altura do DAP de quatro posições eqüidistantes a partir da medula em direção à periferia, correspondendo a 0, 33, 66 e 100%, com dimensões nominais de 1,0 x 2,0 x 3,0 cm, sendo a última dimensão no sentido longitudinal. Elas foram mantidas em câmara fechada com ventilação, próximo de soluções salinas supersaturadas, com o objetivo de proporcionar diferentes condições de umidade relativa. Uma vez atingidas as distintas condições de umidade de equilíbrio, as amostras foram secas em estufa a 105 ºC e obtidos os dados de retratibilidade e densidade básica da madeira nas posições mencionadas. Constataram-se valores de contração volumétrica mais baixos na região medular, apresentando um acréscimo para as demais posições. Comportamento semelhante foi observado para os coeficientes das contrações lineares nas direções tangencial e radial. O fator anisotrópico foi consideravelmente mais elevado na região medular, decrescendo substancialmente em direção ao alburno. A densidade básica não mostrou sinais efetivos de estabilidade, apesar de mostrar tendência de aumento em direção à periferia do tronco.

Influência da idade e da posição radial na flexão estática da madeira de Eucalyptus grandis Hill ex. Maiden

Este trabalho objetivou testar a variação da flexão estática da madeira de Eucalyptus grandis, ao longo da seção radial e sob quatro diferentes idades (10, 14, 20 e 25 anos), provenientes de talhões comerciais. As amostras foram retiradas da prancha diametral, de cada uma das 16 árvores (quatro para cada idade), tomadas de quatro posições eqüidistantes (0, 33, 66 e 100%), no sentido medula-casca, com oito repetições por posição. Verificou-se que os módulos de elasticidade (MOE) e de ruptura (MOR) apresentaram valores médios de 129.230 kgf/cm² e 854 kgf/cm², respectivamente, e ambos se mostraram positivamente correlacionados com a idade e com a posição radial, no sentido medula-casca. Os maiores valores foram conseguidos nas madeiras de 20 anos de idade e localizadas na região mais próxima da casca.

Variação da retrabilidade da madeira de Eucalyptus grandis Hill ex. Maiden, em função da idade e da posição radial no tronco

Este trabalho estudou a variação das retratibilidades volumétrica e linear da madeira de Eucalyptus grandis proveniente de talhões comerciais de quatro diferentes idades (10, 14, 20 e 25 anos) e posição radial. As amostras foram retiradas da tábua diametral, de cada uma das 16 árvores (quatro para cada idade), tomadas de quatro posições eqüidistantes (0, 33, 66 e 100%), no sentido medula-casca. Verificou-se, em todos os testes, o efeito da idade e da variação radial, observando uma correlação positiva dos efeitos em todos os parâmetros estudados. A espécie, como um todo, apresentou elevada instabilidade dimensional, com valores médios de retratibilidade volumétrica de 18,11% e retratibilidade radial, tangencial e longitudinal de 6,09%, 10,14% e 0,45%, respectivamente, além do fator anisotrópico de 1,71. À exceção da retratibilidade longitudinal e do fator anisotrópico, todos os demais parâmetros apresentaram tendência de crescimento com a idade e com a direção radial, no sentido medula-casca.

Influência de idade e da posição radial nas dimensões das fibras e dos vasos da madeira de Eucalyptus grandis Hill ex. Maiden

Objetivou-se neste trabalho avaliar a variação das dimensões das fibras e dos vasos da madeira de Eucalyptus grandis com quatro diferentes idades (10, 14, 20 e 25 anos), proveniente de talhões comerciais. A amostragem do material na árvore foi feita através da coleta de três discos, retirados da base e das extremidades das duas primeiras toras, ambas com o comprimento comercial de 3 m. De cada disco, retiraram-se cinco amostras, de dimensões 1,0 x 1,0 x 1,0 cm, tomadas de pontos eqüidistantes, correspondentes a 0; 25; 50; 75; e 100% da seção, no sentido radial medula-casca, fazendo-se a medição das fibras e dos vasos. Verificou-se, em todos os parâmetros, o efeito da idade e da variação radial, no sentido medula-casca, à exceção da largura e do diâmetro do lume das fibras; todos os demais parâmetros apresentaram correlação positiva.

Variação da densidade aparente e resistência à compressão paralela às fibras em função da intensidade de desbaste, adubação e posição radial em Eucalyptus grandis hill ex-maiden

O Eucalyptus grandis destaca-se pela produtividade e qualidade de sua madeira. O manejo florestal ideal das árvores em que se obtém maior proporção de madeira e melhor qualidade é uma das questões a serem consideradas nas pesquisas de E. grandis. Este trabalho teve como objetivo estudar a variação da densidade aparente e da resistência à compressão paralela às fibras em função da intensidade de desbaste, adubação e classe de diâmetro, na posição radial nas árvores de uma população de E. grandis de 21 anos de idade, manejada pelo sistema de desbastes seletivos com aplicação de fertilizantes na época do início dos desbastes, ou seja, aos 5 anos. Os fatores utilizados foram: três intensidades de desbastes seletivos (37, 50 e 75%), presença ou ausência de fertilizantes, três classes de diâmetro e cinco posições radiais. As influências dos fatores e de suas combinações foram avaliadas na densidade aparente e na resistência à compressão da madeira. A densidade aparente da madeira e a resistência à compressão foram influenciadas pelos fatores: adubo e classe de diâmetro em quase todas as posições radiais aumentaram no sentido da medula para a casca. Observou-se relação positiva entre densidade aparente, resistência à compressão e posição radial.

Determinação do perfil radial de aspersores a partir de ensaios de distribuição de água em sistemas autopropelidos de irrigação

Este trabalho apresenta uma rotina computacional, em Visual Basic 6, para determinar o perfil radial de aspersores, mediante ensaios de equipamentos autopropelidos de irrigação. Para a avaliação do programa, foi utilizado o aplicativo computacional SIMULASOFT e dados de ensaios de campo de sistemas autopropelidos de irrigação. As lâminas aplicadas, geradas pelo programa SIMULASOFT, foram para o aspersor PLONA-RL250 (bocal = 20 x 6 mm; pressão = 490 kPa), em deslocamento linear com velocidade de 50 m h-1, e quatro ângulos de giro distintos (180; 270; 330 e 360º). As lâminas aplicadas, observadas nos ensaios de campo, em condições de vento menores que 1,5 m s-1, foram para o aspersor PLONA-RL250, operando na pressão de 392 kPa e sob as condições: i) bocal de 14 mm, ângulo de giro de 240º e velocidade de 30 m h-1; ii) bocal de 14 x 6 mm, ângulo de giro de 270º e velocidade de 55 m h-1. O perfil radial gerado pela rotina computacional com as lâminas aplicadas, geradas com SIMULASOFT, foi igual ao perfil radial obtido em ensaios de laboratório, revelando que o procedimento de cálculo está correto. Uma boa semelhança entre os perfis radiais do aspersor, determinados em ensaios de laboratório e gerados pela rotina computacional, com as lâminas obtidas nos ensaios de campo, foi observada, mostrando que ensaios de campo de sistemas autopropelidos de irrigação podem ser utilizados para a obtenção do perfil radial de aspersores.

Qualidade de sementes de soja em função do horário de colheita e do sistema de trilha de fluxo radial e axial

O trabalho objetivou avaliar dois tipos de colhedoras, de fluxo radial e axial, em relação à qualidade física e fisiológica de sementes de duas cultivares de soja, BRS 184 e BRS 133, colhidas em dois horários, às 10 e 18 horas. A colhedora de fluxo radial trabalhou a 5,0 km h-1 , com o cilindro batedor a 750 rotações por minuto (rpm). A colhedora de fluxo axial trabalhou a 8,0 km h-1, e rotor com 650 rpm. Para a avaliação da qualidade física e fisiológica das sementes, foram realizados testes de germinação, envelhecimento acelerado, tetrazólio, dano mecânico (hipoclorito), umidade de campo e laboratório, sementes quebradas (bandinha) e pureza. A colheita realizada às 18 horas, com grau de umidade menor que 12%, ocasionou maiores danos mecânicos nas sementes da cultivar BRS 184. A colhedora de sistema de fluxo axial resultou em sementes de melhor qualidade fisiológica para a cultivar BRS 184, e em menores percentuais de sementes quebradas e maior pureza para ambas as cultivares, comparativamente à colhedora de sistema de trilha com fluxo radial.

Numerical evaluation of the modulus of longitudinal elasticity in structural round timber elements of the Eucalyptus genus

Currently, the standards that deal with the determination of the properties of rigidity and strength for structural round timber elements do not take in consideration in their calculations and mathematical models the influence of the existing irregularities in the geometry of these elements. This study has as objective to determine the effective value of the modulus of longitudinal elasticity for structural round timber pieces of the Eucalyptus citriodora genus by a technique of optimization allied to the Inverse Analysis Method, to the Finite Element Method and the Least Square Method.

The position effect of structural Eucalyptus round timber on the flexural modulus of elasticity

Round timber has great use in civil construction, performing the function of beams, columns, foundations, poles for power distribution among others, with the advantage of not being processed, such as lumber. The structural design of round timber requires determining the elastic properties, mainly the modulus of elasticity. The Brazilian standards responsible for the stiffness and strength determination of round timber are in effect for over twenty years with no technical review. Round timber, for generally present an axis with non-zero curvature according to the position of the element in the bending test, may exhibit different values of modulus of elasticity. This study aims to analyze the position effect of Eucalyptus grandis round timber on the flexural modulus of elasticity. The three-point bending test was evaluated in two different positions based on the longitudinal rotation of the round timber element. The results revealed that at least two different positions of the round timber element are desired to obtain significant modulus of elasticity.

Uniformidade de aplicação de água de equipamentos autopropelidos de irrigação com aspersores de perfil radial triangular, elíptico e retangular

Este trabalho apresenta resultados de simulações digitais da uniformidade de aplicação de água de sistemas autopropelidos de irrigação, para a condição de ausência de ventos. Nas simulações foram considerados aspersores com perfis radiais de distribuição de água tipo triangular, elíptico e retangular, operando sob diferentes combinações de ângulo de giro (de 180 até 360º) e espaçamento entre carreadores (de 0 a 100% do diâmetro molhado - DM). Os resultados das simulações foram apresentados em três grupos distintos, cada um representando a mesma forma geométrica do perfil radial de distribuição de água. Independentemente do ângulo de giro, os melhores valores de uniformidade foram obtidos com espaçamentos menores que 45% e entre 55% e 70% do DM para o perfil radial triangular e com espaçamentos menores que 50% e entre 70% e 90% do DM para os perfis radiais elíptico e retangular. Para os três perfis radiais, ângulos de giro do aspersor entre 180 e 230º geram maiores valores de coeficiente de uniformidade.

Alternative methodology for calculating the modulus of elasticity of wooden beams of structural dimensions

This study aims to present an alternative calculation methodology based on the Least Squares Method for determining the modulus of elasticity in bending wooden beams of structural dimensions. The equations developed require knowledge of three or five points measured in displacements along the piece, allowing greater reliability on the response variable, using the statistical bending test at three points and non-destructively, resulting from imposition of measures from small displacements L/300 and L/200, the largest being stipulated by the Brazilian norm NBR 7190:1997. The woods tested were Angico, Cumaru, Garapa and Jatoba. Besides obtaining the modulus of elasticity through the alternative methodology proposed, these were also obtained employing the Brazilian norm NBR 7190:1997, adapted to the condition of non-destructive testing (small displacements) and for pieces of structural dimensions. The results of the modulus of elasticity of the four species of wood according to both calculation approaches used proved to be equivalent, implying the good approximation provided by the methodology of calculation adapted from the Brazilian norm.

Modeling of turbulent flow through radial diffuser

The work considers the modeling of turbulent flow in radial diffuser with axial feeding. Due to its claimed capability to predict flow including features such as separation, curvature and adverse pressure gradient, the RNG k-epsilon model of Orzag et al. (1993) is applied in the present analysis. The governing equations are numerically solved using the finite volume methodology. Experiments were conducted to assess the turbulence model. Numerical results of pressure distribution on the front disk surface for different flow conditions when compared to the experimental data indicated that the RNG k-epsilon model is adequate to predict this class of flow.

Contrast sensitivity to radial frequencies modulated by Jn and j n Bessel profiles

We measured human contrast sensitivity to radial frequencies modulated by cylindrical (Jo) and spherical (j o) Bessel profiles. We also measured responses to profiles of j o, j1, j2, j4, j8, and j16. Functions were measured three times by at least three of eight observers using a forced-choice method. The results conform to our expectations that sensitivity would be higher for cylindrical profiles. We also observed that contrast sensitivity is increased with the j n order for n greater than zero, having distinct orderly effects at the low and high frequency ends. For n = 0, 1, 2, and 4 sensitivity tended to occur around 0.8-1.0 cpd while for n = 8 and 16 it seemed to shift gradually to 0.8-3.0 cpd. We interpret these results as being consistent with the possibility that spatial frequency processing by the human visual system can be defined a priori in terms of polar coordinates and discuss its application to study face perception.

Radial frequency stimuli and sine-wave gratings seem to be processed by distinct contrast brain mechanisms

An assumption commonly made in the study of visual perception is that the lower the contrast threshold for a given stimulus, the more sensitive and selective will be the mechanism that processes it. On the basis of this consideration, we investigated contrast thresholds for two classes of stimuli: sine-wave gratings and radial frequency stimuli (i.e., j0 targets or stimuli modulated by spherical Bessel functions). Employing a suprathreshold summation method, we measured the selectivity of spatial and radial frequency filters using either sine-wave gratings or j0 target contrast profiles at either 1 or 4 cycles per degree of visual angle (cpd), as the test frequencies. Thus, in a forced-choice trial, observers chose between a background spatial (or radial) frequency alone and the given background stimulus plus the test frequency (1 or 4 cpd sine-wave grating or radial frequency). Contrary to our expectations, the results showed elevated thresholds (i.e., inhibition) for sine-wave gratings and decreased thresholds (i.e., summation) for radial frequencies when background and test frequencies were identical. This was true for both 1- and 4-cpd test frequencies. This finding suggests that sine-wave gratings and radial frequency stimuli are processed by different quasi-linear systems, one working at low luminance and contrast level (sine-wave gratings) and the other at high luminance and contrast levels (radial frequency stimuli). We think that this interpretation is consistent with distinct foveal only and foveal-parafoveal mechanisms involving striate and/or other higher visual areas (i.e., V2 and V4).