L'Integrale di Perron: una Estensione dell'Integrale di Lebesgue, e Applicazioni

Il matematico tedesco Oscar Perron, tra il 1910 e il 1914, introduce l'integrale che porterà il suo nome con lo scopo di risolvere una limitazione negli integrali di Riemann e di Lebesgue. Il primo a studiare questo integrale è Denjoy nel 1912 il cui integrale si dimostrerà essere equivalente a quello di Perron. Oggi è più utilizzato l'integrale di Henstock-Kurzweil, studiato negli anni '60, anch'esso equivalente ai due precedenti. L'integrale di Perron rende integrabili tutte le funzioni che sono la derivata di una qualche funzione e restituisce l'analogo del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale nella versione di Torricelli-Barrow. L'integrale di Perron estende e prolunga l'integrale di Lebesgue, infatti se una funzione è sommabile secondo Lebesgue è anche Perron-integrabile e i due integrali coincidono. Per le funzioni non negative vale anche il viceversa e i due integrali sono equivalenti, ma in generale non è così, esistono infatti funzioni Perron-integrabili ma non sommabili secondo Lebesgue. Una differenza tra questi due integrali è il fatto che quello di Perron non sia un integrale assolutamente convergente, ovvero, la Perron integrabilità di una funzione non implica l'integralità del suo valore assoluto; questa è anche in parte la ragione della poca diffusione di questo integrale. Chiudono la tesi alcuni esempi di funzioni di interesse per la formula di "Torricelli-Barrow" e anche un notevole teorema che non sempre si trova nei libri di testo: se una funzione è derivabile in ogni punto del dominio e la sua derivata prima è sommabile allora vale la formula di "Torricelli-Barrow".

Legami tra la misura di Lebesgue e la misura di Hausdorff n-dimensionale

Si vuole definire una misura sullo spazio R^n, cioè la misura di Hausdorff, che ci permetta di assegnare le nozioni di "lunghezza", "area", "volume" ad opportuni sottoinsiemi di R^n. La definizione della misura di Hausdorff sarà basata sulla richiesta che il ricoprimento segua la geometria locale dell'insieme da misurare. In termini matematici, questa richiesta si traduce nella scelta di ricoprimenti di diametro "piccolo". Si darà risalto al fatto che le due misure coincidano sui Boreliani di R^n e si estenderanno le relazioni tra le due misure su R^n ad un generico spazio di Banach. Nel primo capitolo, si danno delle nozioni basilari di teoria della misura, in particolare definizioni e proprietà che valgono per le misure di Hausdorff. Nel secondo capitolo, si definiscono le misure di Hausdorff, si dimostra che sono misure Borel-regolari, si vedono alcune proprietà di base legate a trasformazioni insiemistiche, si dà la definizione di dimensione di Hausdorff di un insieme e si mostrano esempi di insiemi "non regolari", cioè la cui dimensione non è un numero naturale. Nel terzo capitolo, si dimostra il Teorema di Ricoprimento di Vitali, fondato sul principio di massimalità di Hausdorff. Nel quarto capitolo, si dimostra che per ogni insieme Boreliano di R^n, la misura di Lebesgue e la misura di Hausdorff n-dimensionali coincidono. A tale scopo, si fa uso del Teorema del Ricoprimento di Vitali e della disuguaglianza isodiametrica, che verrà a sua volta dimostrata utilizzando la tecnica di simmetrizzazione di Steiner. Infine, nel quinto capitolo, si osserva che molte delle definizioni e proprietà viste per le misure di Hausdorff in R^n sono generalizzabili al contesto degli spazi metrici e si analizza il legame tra la misura di Hausdorff e la misura di Lebesgue nel caso di uno spazio di Banach n-dimensionale.

Formule di rappresentazione e disuguaglianze di Sobolev e Poincaré

La tesi si suddivide in tre capitoli. Nel primo capitolo viene presentata una prima dimostrazione della disuguaglianza di Sobolev. La prova del Capitolo 1 si basa in modo essenziale sul fatto che R^ n è prodotto cartesiano di R per se stesso n volte. Nel Capitolo 2 si introducono i cosiddetti potenziali di Riesz Iα, con 0 < α < n che sono una tra le più importanti classi di operatori di convoluzione. Vediamo come sia possibile legare la teoria di questi operatori di tipo integrale frazionario a formule di rappresentazione . Il teorema principale di questo capitolo è il teorema di Hardy-Littlewood-Sobolev: si forniscono stime in norma L^p per tali operatori. La prova di tale teorema che qui abbiamo fornito segue l’idea di dimostrazione di Hedberg ed è basata sull’uso della disuguaglianza di Holder e sulle stime per la funzione massimale di Hardy-Littlewood. Le stime per il nucleo di Riesz I_1 sono state utilizzate nel Capitolo 3 per dimostrare le disuguaglianze di Sobolev e Poincaré nel caso p ∈]1, n[. Il caso p = 1 viene trattato a parte in quanto, nel caso p = 1, il teorema di Hardy-Littlewood- Sobolev fornisce solo una stima di tipo debole per il nucleo di Riesz I_1. Questo tipo di approccio, mediante le formule di rappresentazione, ha il vantaggio che può essere adattato a contesti geometrici diversi da quello Euclideo e a misure diverse della misura di Lebesgue. Infine, sempre nel Capitolo 3 abbiamo dato un breve cenno del collegamento che si ha tra la disuguaglianza di Sobolev nel caso p=1 e il problema isoperimetrico in R^n.

Processi di semi-Markov a tempo discreto

Studio della teoria dei processi di semi-Markov nella modellizzazione a tempo discreto. Introduzione delle catene di rinnovo di Markov, del nucleo di semi-Markov e delle catene di semi-Markov, risultati ad essi relativi. Analisi delle equazioni di rinnovo di Markov, caratterizzazione degli stati di una catena di semi-Markov, teorema di esistenza e unicità dell'equazione di rinnovo di Markov. Un esempio concreto.

Soluzioni Deboli di Equazioni Differenziali Stocastiche: il Problema della Martingala di Stroock e Varadhan

In questa tesi si definisce il problema della martingala, fondamentale in quanto la sua esistenza e unicità della soluzione coincidono con l'esistenza e unicità delle soluzioni deboli delle SDE. Nel Capitolo 1 vengono richiamate alcune nozioni di topologia negli spazi metrici, in particolare la nozione di tightness e il Teorema di Prokhorov. Nel Capitolo 2 vengono introdotte le equazioni differenziali stocastiche, con cenni a risultati di esistenza e unicità forte. Nel Capitolo 3 viene definito il problema della martingala, viene dimostrata la sua equivalenza con il problema delle soluzioni deboli; infine, vengono enunciati e dimostrati importanti risultati di esistenza e unicità.

Gruppi di Galois primitivi ed imprimitivi

L'obiettivo di questa tesi è la caratterizzazione dei gruppi di Galois di alcune classi di polinomi separabili e risolubili per radicali. Questa classificazione si baserà sulle proprietà di primitività e imprimitività di tali gruppi, proprietà che descrivono il carattere della loro azione permutativa sulle radici dei polinomi. Da tale analisi potremo inoltre dedurre importanti informazioni sui polinomi, i quali, a loro volta, saranno detti primitivi o imprimitivi. Dopo aver ricordato alcune definizioni e risultati fondamentali di Teoria di Galois e Teoria dei gruppi, studieremo alcuni gruppi di permutazioni, concentrandoci in particolare sul gruppo lineare affine e sul prodotto intrecciato di due gruppi di permutazioni: tali oggetti costituiscono, infatti, gli strumenti principali per la descrizione dei gruppi di Galois che affronteremo negli ultimi capitoli. Nel Capitolo 3, in particolare, ci concentreremo su polinomi imprimitivi di grado p², con p primo. Nel quarto, invece, dimostreremo un potente Teorema che fornisce una notevole caratterizzazione dei gruppi di Galois di tutti i polinomi primitivi e risolubili per radicali.

Formule di media per funzioni armoniche

Questa tesi tratta delle proprietà fondamentali delle funzioni armoniche. Nel primo Capitolo utilizziamo il teorema della divergenza per ottenere importanti identità integrali quali la formula di rappresentazione di Green e la formula dell'integrale di Poisson; tali identità ci permettono di mostrare nel secondo Capitolo che per le funzioni armoniche valgono le formule di media e, in particolare, queste rappresentano una proprietà caratterizzante per tali funzioni. Le formule di media rappresentano un ottimo punto di partenza per lo studio delle proprietà delle funzioni armoniche che osserviamo nel terzo Capitolo; da esse è possibile ottenere il principio del massimo e del minimo forte e la disuguaglianza di Harnack. Da queste due è possibile ottenere alcune importanti proprietà sulla convergenza di successioni di funzioni armoniche; in particolare osserviamo che una successione di funzioni armoniche convergente converge ad una funzione armonica.

Funzioni a variazione limitata di una variabile

Nel primo capitolo sono presentate alcune generalità: le principali proprietà delle funzioni a variazione limitata di una variabile partendo dalla definizione classica introdotta da Jordan e sono ricordati alcuni risultati già studiati durante questi anni di studio. Nel secondo capitolo dimostriamo un importante risultato sulla differenziabilità quasi ovunque delle funzioni a variazione limitata. Questo risultato è ottenuto come conseguenza di un teorema di ricoprimento di Vitali, che abbiamo dimostreremato come risultato più generale in R^n. Abbiamo visto inoltre la definizione di funzione assolutamente continua e caratterizzato questa classe di funzioni, collegandole proprio alla validità del teorema fondamentale del calcolo integrale (la validità del teorema fondamentale per funzioni è in effetti una caratterizzazione di questa classe di funzioni). Nel terzo capitolo infine, dopo aver fornito la definizione moderna di funzione a variazione limitata (funzione BV), si sono confrontate le due definizioni provandone la loro equivalenza.

Crystal Structure Of (3e)-3-(2,4-di-nitro-phen-oxy-meth-yl)-4-phenyl-but-3-en-2-one.

In the title compound, C17H14N2O6, the conformation about the C=C double bond [1.345 (2) Å] is E, with the ketone moiety almost coplanar [C-C-C-C torsion angle = 9.5 (2)°] along with the phenyl ring [C-C-C-C = 5.9 (2)°]. The aromatic rings are almost perpendicular to each other [dihedral angle = 86.66 (7)°]. The 4-nitro moiety is approximately coplanar with the benzene ring to which it is attached [O-N-C-C = 4.2 (2)°], whereas the one in the ortho position is twisted [O-N-C-C = 138.28 (13)°]. The mol-ecules associate via C-H⋯O inter-actions, involving both O atoms from the 2-nitro group, to form a helical supra-molecular chain along [010]. Nitro-nitro N⋯O inter-actions [2.8461 (19) Å] connect the chains into layers that stack along [001].

Histopathological Alterations In The Prostates Of Mongolian Gerbils Exposed To A High-fat Diet And Di-n-butyl Phthalate Individually Or In Combination.

Both high-fat diet and exposure to endocrine-disrupting chemicals have been implicated in susceptibility to pathological prostate lesions, but the consequences of combining the two have not yet been examined. We evaluated the effects of gestational and postnatal exposure to a high-fat diet (20% fat) and low doses of di-n-butyl phthalate (DBP; 5mg/kg/day), individually or in combination, on the tissue response and incidence of pathological lesions in the ventral prostate of adult gerbils. Continuous intake of a high-fat diet caused dyslipidemia, hypertrophy, and promoted the development of inflammatory, premalignant and malignant prostate lesions, even in the absence of obesity. Life-time DBP exposure was obesogenic and dyslipidemic and increased the incidence of premalignant prostate lesions. Combined exposure to DBP and a high-fat diet also caused prostate hypertrophy, but the effects were less severe than those of individual treatments; combined exposure neither induced an inflammatory response nor altered serum lipid content.

Experimental studies of di-jet survival and surface emission bias in Au plus Au collisions via angular correlations with respect to back-to-back leading hadrons

We report first results from an analysis based on a new multi-hadron correlation technique, exploring jet-medium interactions and di-jet surface emission bias at the BNL Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC). Pairs of back-to-back high-transverse-momentum hadrons are used for triggers to study associated hadron distributions. In contrast with two-and three-particle correlations with a single trigger with similar kinematic selections, the associated hadron distribution of both trigger sides reveals no modification in either relative pseudorapidity Delta eta or relative azimuthal angle Delta phi from d + Au to central Au + Au collisions. We determine associated hadron yields and spectra as well as production rates for such correlated back-to-back triggers to gain additional insights on medium properties.

Azimuthal di-hadron correlations in d plus Au and Au plus Au collisions at root s(NN)=200 GeV measured at the STAR detector

Yields, correlation shapes, and mean transverse momenta p(T) of charged particles associated with intermediate-to high-p(T) trigger particles (2.5 < p(T) < 10 GeV/c) in d + Au and Au + Au collisions at root s(NN) = 200 GeV are presented. For associated particles at higher p(T) greater than or similar to 2.5 GeV/c, narrow correlation peaks are seen in d + Au and Au + Au, indicating that the main production mechanism is jet fragmentation. At lower associated particle pT < 2 GeV/c, a large enhancement of the near- (Delta phi similar to 0) and away-side (Delta phi similar to pi) associated yields is found, together with a strong broadening of the away-side azimuthal distributions in Au + Au collisions compared to d + Au measurements, suggesting that other particle production mechanisms play a role. This is further supported by the observed significant softening of the away-side associated particle yield distribution at Delta phi similar to pi in central Au + Au collisions.

Neuropharmacological effects in mice of Lychnophora species (Vernonieae, Asteraceae) and anticonvulsant activity of 4,5-di-O-[E]-caffeoylquinic acid isolated from the stem of L-rupestris and L-staavioides

Aiming at contributing with the search for neuroactive substances from natural sources, we report for the first time antinociceptive and anticonvulsant effects of some Lychnophora species. We verify the protective effects of polar extracts (600 mg/kg, intraperitoneally), and methanolic fractions of L. staavioides and L. rupestris (100 mg/kg, intraperitoneally) in pentylenetetrazole-induced seizures on mice. Previously, a screening was accomplished, evaluating the antinociceptive central activity (hot plate test), with different extracts of L. rupestris, L. staavioides and L. diamantinana. It was possible to select the possible extracts of Lychnophora with central nervous system activity. Some of the active extracts were submitted to fractionation and purification process and the methanolic fractions of L. rupestris (stem) and L. staavioides (stem), with anticonvulsant properties (100 mg/kg, intraperitoneally), yielded 4,5-di-O-[E]-caffeoylquinic acid. This substance was injected intraperitoneally in mice and showed anticonvulsant effect against pentylenetetrazole-induced seizures at doses of 25 and 50 mg/kg. It has often been shown that seizures induced by pentylenetetrazole are involved in inhibition and/or attenuation of GABAergic neurotransmission. However, other systems of the central nervous system such as adenosinergic and glutamatergic could be involved in the caffeoylquinic acid effects. Further studies should be conducted to verify that the target receptor could be participating in this anticonvulsant property. Although other investigations have reported a series of biological activities from Lychnophora species, this is the first report of central analgesic and anticonvulsant activity in species of this genus.

Copper(II) complexes of mono- and di-nucleating hexaamines

The potentially hexadentate polyamines N,N,N',N'-tetrakis(2-aminoethyl)ethane-1,2-diamine (L-1) and the octamethylated analogue N,N,N',N'-tetrakis(2-dimethylaminoethyl)ethane 1,2-diamine (L-2) have been complexed with copper(II) and the crystal structures of their complexes determined. A trigonal-bipyramidal co-ordination geometry for [Cu(HL1)][ClO4](3) was found where one aminoethyl arm is not co-ordinated. By contrast, a dinuclear structure of formula [(H2O)Cu(L-2)Cu(OH)](3+) was determined for the N-methylated analogue, where the hexaamine acts as a bridging ligand between the two square-pyramidal metal centres. Electronic and EPR spectroscopy are both consistent with these structures being maintained in solution.

Stage-specific proteophosphoglycan from Leishmania mexicana amastigotes - Structural characterization of novel mono-, di-, and triphosphorylated phosphodiester-linked oligosaccharides

Intracellular amastigotes of the protozoan parasite Leishmania mexicana secrete a macromolecular proteophosphoglycan (aPPG) into the phagolysosome of their host cell, the mammalian macrophage. The structures of aPPG glycans were analyzed by a combination of high pH anion exchange high pressure liquid chromatography, gas chromatography-mass spectrometry, enzymatic digestions, electrospray-mass spectrometry as well as H-1 and P-31 NMR spectroscopy. Some glycans are identical to oligosaccharides known from Leishmania mexicana promastigote lipophosphoglycan and secreted acid phosphatase, However, the majority of the aPPG glycans represent amastigote stage-specific and novel structures. These include neutral glycans ([Glc beta(1-3)](1-2)Gal beta 1-4Man, Gal beta 1-3Gal beta 1-4Man, Gal beta 1-3Glc beta 1-3Gal beta 1-4Man), several monophosphorylated glycans containing the conserved phosphodisaccharide backbone (R-3-[PO4-6-Gal]beta 1-4Man) but carrying stage-specific modifications (R = Gal beta 1-, [Glc beta 1-3](1-2)Glc beta 1-), and monophosphorylated aPPG tri- and tetrasaccharides that are uniquely phosphorylated on the terminal hexose (PO4-6-Glc beta 1-3Gal beta 1-4Man, PO4-6-Glc beta 1-3Glc beta 1-3Gal beta 1-4Man, PO4-6-Gal beta 1-3Glc beta 1-3Gal beta 1-4Man), In addition aPPG contains highly unusual di- and triphosphorylated glycans whose major species are PO4-6-Glc beta 1-3Glc beta 1-3[PO4-6-Gal]beta 1-4Man, PO4-6-Gal beta 1-3Glc beta 1-3 [PO4-6-Gal]beta 1-4Man, PO4-6-GaL beta 1-3Glc beta 1-3Glc beta 1-3[PO4-6-Gal]beta 1-4Man, PO4-6-Glc beta 1-3[PO4-6-Glc]beta 1-3[PO4-6-Gal]beta 1-4Man, PO4-6Gal beta 1-3[PO4-6-Glc]beta 1-3Glc beta 1-3[PO4-6-Gal]beta 1-4Man, and PO4-6-Glc beta 1-3[PO4-6-Glc]beta 1-3Glc beta 1-3[PO4-6-Gal]beta 1-4Man. These glycans are linked together by the conserved phosphodiester R-Man alpha 1-PO4-6-Gal-R or the novel phosphodiester R-Man alpha 1-PO4-6-Glc-R and are connected to Ser(P) of the protein backbone most likely via the linkage R-Man alpha 1-PO4-Ser. The variety of stage-specific glycan structures in Leishmania mexicana aPPG suggests the presence of developmentally regulated amastigote glycosyltransferases which may be potential anti-parasite drug targets.