Gymnasieelevers uppfattningar om algebra och problemlösning : En undersökning med utgångspunkt i elevernas kön, slutbetyg i grundskolan och val av gymnasieprogram

Syftet med den här uppsatsen är att undersöka elevers uppfattningar om algebra och problemlösning samt granska hur dessa uppfattningar påverkas beroende på elevernas val av gymnasieprogram, kön och slutbetyg i grundskolan. Syftet är vidare att ta reda på vilka eventuella hinder och svårigheter eleverna själva uppfattar då de använder algebra för att lösa matematiska problem. Som metod för att söka svar på syfte och frågeställningar har valts att genomföra en enkätundersökning med elever som går första året på gymnasiet och som läser antingen naturvetenskapsprogrammet eller bygg- och anläggningsprogrammet. Enkätundersökningen består av två delar, en del som undersöker elevers uppfattningar om matematik i allmänhet och algebra och problemlösning i synnerhet, samt en del som försöker reda ut vilka svårigheter eleverna uppfattar då de ska lösa matematiska problem med algebra. Svaren sammanställs genom en analys av vilka eventuella skillnader och likheter som finns beroende på elevernas val av gymnasieprogram, kön och betyg i grundskolan. Resultatet visar på att elever på naturvetenskapsprogrammet som hade MVG i betyg i grundskolan har en mer positiv inställning till algebra och problemlösning i jämförelse med elever från bygg- och anläggningsprogrammet som fått G i betyg. Vad gäller elevernas kön finns det inte några indikationer på att denna faktor har någon större påverkan på deras uppfattningar. Resultatet kan vara en indikation på att elevernas uppfattningar främst påverkas av deras förståelse för det algebraiska tankesättet. Det eleverna upplever som svårast när de ska lösa problem med hjälp av algebra är att översätta den skrivna texten till en algebraisk framställning. När eleverna löser matematiska problem indikerar även resultatet att de till stor del styrs av sina förväntningar och förutfattade föreställningar om uppgiften. Resultatet ger en indikation om att eleverna behöver arbeta mer med problemlösning i olika former för att genom det kunna träna upp sin resonemangsförmåga och sin förmåga att behärska alla de tre faserna, översättning, omskrivning och tolkning, i den algebraiska cykeln.

Lärares syn på laborativt material i matematikundervisningen : en intervjustudie med sju lärare i årskurs 1-3

Syftet med denna studie är att ta reda på hur lärare ser på och använder laborativt material i matematikundervisningen. För att svara på studiens syfte och frågeställningar har kvalitativa intervjuer gjorts med sju lärare som undervisar i årskurs 1-3. Observationer har också gjorts för att se vilka laborativa material som finns och hur de används av lärare och elever. Analys av intervjuerna visar att lärarna i första hand nämner plockmaterial i intervjuerna. Andra material som är vanligt förekommande enligt både intervjuer och observationer är vardagens material (pengar) och skolans laborativa material (centicuber). Lärare berättar att det laborativa materialet används i så gott som alla områden i matematik. Enligt observationer och intervjuer förekommer laborativt material främst i området taluppfattning och tals användning. Av resultatet framkommer också lärares syn på de laborativa materialens betydelse för elevers lärande, både möjligheter och vilka hinder som kan uppstå i arbetet med laborativa material lyfts fram. Lärare menar att det laborativa materialet används för att tydliggöra och för att hjälpa och stödja eleverna i deras matematikutveckling. Hinder som kan uppstå är att eleverna inte förstår innebörden med det laborativa materialet och istället leker med det eller fastnar i det. Virtuellt material som exempelvis surfplattor och datorer används inte så mycket i matematikundervisningen. Enligt de intervjuade lärarna kan surfplattor bli ett hinder för elevernas lärande eftersom elever gärna undersöker andra applikationer än de som rör matematik. Resultatet visar också hur lärarna ser på det laborativa materialet kopplat till förmågorna i Lgr 11, vissa tror att de kan uppnås lättare medan andra menar att man som lärare har en plan för hur förmågorna ska uppnås och då spelar det ingen roll om man använder laborativt material i undervisningen eller inte. 

Inkludering av andraspråkselever i matematikundervisningen med hjälp av problemlösning? : Betydelsen av hur uppgifter är formulerade ochundervisningen utformad vid andraspråksinlärning iårskurs 7-9

Genom att svara på frågeställningarna om faktorer som påverkar förståelsen av problemlösningsuppgiftersamt om anpassning för andraspråkselever söker studien svar på omproblemlösning kan bidra till att inkludera andraspråkselever i matematikundervisningen. Föratt nå syftet och besvara frågeställningarna har dels en litteraturstudie genomförts, dels enempirisk studie bestående av fokusgruppsintervjuer med lärare.Den svenskspråkliga kompetensens betydelse för matematisk förståelse framhålls i de bådadelstudierna. Textförståelsen är primär för problemlösning och det är vanligt att elever harsvårigheter med detta, därmed behöver textinnehållet tydliggöras. Textuella svårigheter imatematikuppgifter kan exempelvis handla om svårigheter med meningsbyggnader,grammatik, överflödig information, ord och uttryck, samt att vardagsspråket och matematikspråketinnehar skillnader, enligt de båda studierna. Kontextuell förståelse i uppgifterframhålls även viktigt. Det anses relevant att knyta matematikuppgifter till elevens verklighet,men här finns svårigheter genom att den kontextuella förståelsen kan skilja sig mellan elever,vilket kan medföra att eleven inte förstår uppgiften. Vikten av att underlätta med avseende påspråk och kontext framhålls, samtidigt som det är områden som behöver utvidgas förandraspråkseleverna.Problemlösningsuppgifter bidrar enligt den empiriska studien till ökade möjligheter förinkludering av andraspråkselever. Inkluderingen kan främjas dels genom organisationen avproblemlösningen, dels genom utformandet av uppgifterna. Variation i hur undervisningenorganiseras framhålls i båda delstudierna genom enskilt arbetet, grupparbete samtklassdiskussion. Vid interaktion kan språkliga svårigheter redas ut och språkutvecklingen kanberikas, men de språkliga svårigheterna kan även försvåra interaktionen, enligt de bådadelstudierna.

Huvudräkningsstrategier som grund för tabellkunskaper : En empirisk undersökning om och hur huvudräkningsstrategier undervisas i årskurs 1-3

Denna undersökning tar sin utgångspunkt i en tidigare litteraturstudie vars resultat påvisade att grundläggande tabellkunskaper som tillgodogjorts genom huvudräknings-strategier, är avgörande för elevers fortsatta matematiklärande och en förutsättning för en välutvecklad taluppfattning. Om huvudräkningsstrategier explicit skall undervisas eller inte, var dock en fråga som besvarades olika av den i litteraturstudien ingående forskningen. Som en konsekvens av detta har en empirisk undersökning genomförts i syfte att undersöka om, och i så fall hur, lärare i svenska skolor undervisar elever i årskurs 1-3 i huvudräkningsstrategier. Frågeställningen har undersökts genom lärarintervjuer. Undersökningens resultatet visar att lärarna som ingått i urvalet anser att tabellkunskaper som grund för huvudräkningsstrategier är avgörande för att elever skall bli framgångrika i matematik. Lärarna ger också uttryck för att eleverna behöver aktiv undervisning i olika huvudräkningsstrategier för att uppmärksamma att man kan tänka på olika sätt när man använder sig av huvudräkning, och att eleverna behöver lyssna till hur andra tänker för att hitta och tillgodogöra sig alternativa räknestrategier.

Vilka faktorer påverkar användningen av den interaktiva skrivtavlan i matematikundervisningen enligt lärare? : En intervjustudie med sex lärare i årskurs 1-5

Syftet med studien är att få ökad kunskap om lärares erfarenheter av och uppfattningar om att använda den interaktiva skrivtavlan i matematikundervisning samt hur den påverkar elevers lärande i matematik. Studien visar att skrivtavlan används huvudsakligen som ett demonstrationsverktyg för läraren vid exempelvis genomgångar och repetition. Den tillhörande dokumentkameran används flitigt. Skrivtavlan används också för att visa film och TV-program och ibland för att söka på internet. Eleverna interagerar med skrivtavlan när de till exempel löser uppgifter i matematik. Detta sker både enskilt och i par. Interaktion mellan elev och skrivtavlan sker även då surfplattor kopplas upp mot skrivtavlan. Det är vanligt att eleverna redovisar arbeten med hjälp av skrivtavlan. De faktorer som skapar möjligheter till användning är skrivtavlans unika egenskaper och ”Det får igång eleverna”. Skrivtavlans unika egenskaper innebär till exempel funktionen som gör det enkelt att spara och plocka fram sparade dokument samt enkelheten i att snabbt byta aktivitet. Citatet ”Det får igång eleverna” avser skrivtavlans påverkan på elevers delaktighet och fokus, faktorer som upplevs öka när skrivtavlan involveras i undervisningen. De faktorer som upplevs som hinder är lärarens kunskap om verktyget och tekniska problem. Tiden är ett hinder för lärarnas egen kunskapsinhämtning men kan också verka som möjlighet då tid kan skapas för enskilda elever när skrivtavlan används i ett stationssystem i undervisningen.

Modelling dominance in a flexible intercross analysis

The aim of this paper is to develop a flexible model for analysis of quantitative trait loci (QTL) in outbred line crosses, which includes both additive and dominance effects. Our flexible intercross analysis (FIA) model accounts for QTL that are not fixed within founder lines and is based on the variance component framework. Genome scans with FIA are performed using a score statistic, which does not require variance component estimation. RESULTS: Simulations of a pedigree with 800 F2 individuals showed that the power of FIA including both additive and dominance effects was almost 50% for a QTL with equal allele frequencies in both lines with complete dominance and a moderate effect, whereas the power of a traditional regression model was equal to the chosen significance value of 5%. The power of FIA without dominance effects included in the model was close to those obtained for FIA with dominance for all simulated cases except for QTL with overdominant effects. A genome-wide linkage analysis of experimental data from an F2 intercross between Red Jungle Fowl and White Leghorn was performed with both additive and dominance effects included in FIA. The score values for chicken body weight at 200 days of age were similar to those obtained in FIA analysis without dominance. CONCLUSION: We have extended FIA to include QTL dominance effects. The power of FIA was superior, or similar, to standard regression methods for QTL effects with dominance. The difference in power for FIA with or without dominance is expected to be small as long as the QTL effects are not overdominant. We suggest that FIA with only additive effects should be the standard model to be used, especially since it is more computationally efficient.

Extramuralt lärande i forskarmiljö : Gymnasieforskarskola för klasser inom NV-programmen

Kan det vara så att extramuralt lärande i forskarmiljö för elever vid gymnasiets naturvetenskapliga program kan öka motivationen till vidare studier inom naturvetenskap? Extramuralt lärande innebär allt lärande som sker under aktiviteter utanför skolan. Jag har i den här studien följt och intervjuat en klass i åk 2 som tillbringat en vecka på forskarskola i Garpenberg. En av frågorna i denna studie var om arbetssättet påverkat dem, och i så fall hur, om det har lockat eller avskräckt? Resultatet visar att alla elever i den här studien tyckte att forskarveckan var rolig och intressant. Ungefär 80% hade redan innan bestämt sig för att läsa vidare, men ca 45% ansåg att deras motivation till att läsa vidare hade ökat i och med forskarskolan. Höstens resultat ligger lite över genomsnittet som visar att ca 31% av gymnasieeleverna som under de sex åren som forskarskolan funnits har upplevt en ökad studiemotivation. En internationell studie från England inom extramuralt lärande visar på att många elever tycker att skolundervisningen är tråkig, irrelevant och för gammal och att den har en design som endast tilltalat ett fåtal elever. Däremot tycker eleverna att extramuralt lärande vid s k Science centers, botaniska trädgårdar och museum m fl presenterar vetenskapen på ett intressant och inspirerande sätt. Jag försöker i den här studien att se lärandet ur ett sociokulturellt perspektiv samt dra paralleller mellan tidigare studier om Science centers och min undersökning om forskarskolan som båda erbjuder extramuralt lärande. Jag anser dock att forskarskolan gör det lite mer konkret eftersom eleverna får genomföra ett projekt som de sedan redovisar inför alla forskare och övriga elever. Upplägget för ett besök på ett museum eller vetenskapscentra ser lite annorlunda ut. De allra flesta eleverna i studien insåg nyttan med att läsa ämnen som matematik, fysik, kemi och biologi, och de tyckte att arbetsformen att kombinera fältstudier med teori och laboratorieverksamhet var mycket givande. Eleverna ansåg att de under forskarskolan fått en inblick i hur det kan vara att arbeta som forskare men det var endast en elev som kunde tänka sig det yrket i framtiden. Studiens resultat gäller endast för de elever som deltagit i enkätundersökningen och kan inte sägas vara generaliserbart för alla elever på gymnasiets NV-program.

Lärares uppfattningar om matematiska resonemang : Två lärares uppfattningar om matematiska resonemang

Lärare är personen som planerar, genomför och utvärderar undervisning. Eftersom att elevers matematiska resonemang, enligt aktuella styrdokument, ska utvecklas i undervisningen har läraren en given roll som påverkar hur eleven ges möjlighet att utveckla resonemangskompetens. Hur lärare uppfattar matematiska resonemang blir därmed en nyckelkomponent i vad som sker i undervisningen. Kan elevers förmåga att resonera påverkas om lärare uppfattar matematiska resonemang på skilda sätt? I denna studie diskuteras aktuell forskning om matematiska resonemang och dess betydelse i undervisningen. Två lärare har intervjuats och deras utsagor jämförs med den aktuella forskningen. Dessa kvalitativa intervjuer i relation till forskningen har visat sig öppna dörren för mer omfattande forskning inom detta ämnesområde då intressanta slutsatser har dragits, utan att dessa har generaliserats. I resultaten har det framkommit att elevers förmåga att resonera påverkas i en hög utsträckning av lärarens val att antingen ge elever en redan fungerande strategi eller att låta eleverna själva kämpa med en uppgift. Av intervjumaterialet med två lärare har det framkommit att frågeställningen varför saknas helt medan frågeställningen hur är vanligt förekommande. I denna studie har lärarnas utlåtanden blivit intressanta då forskning har visat att om elevers förmåga att argumentera för egna strategival ska utvecklas är frågeställningen varför avgörande. Därmed påverkar lärares uppfattningar om matematiska resonemang elevers förmåga att föra matematiska resonemang.

Feedback i matematikundervisning : En empirisk undersökning om hur sex lärare undervisande i årskurs 1-3 ger muntlig och skriftlig feedback på elevers lösningar av matematikuppgifter

I studien undersöks hur lärare ger elever muntlig och skriftlig feedback på uppgiftsnivå i matematikundervisningen. För att undersöka detta har observationer och intervjuer av kvalitativ karaktär utförts med sex lärare som undervisar i årskurs 1-3. Insamlade och avbildade dokument i form av elevers räkneböcker har också varit en del av datainsamlingsmetoden. För att på bästa sätt undersöka och besvara studiens frågeställning har grundad teori valts ut och använts som forskningsansats. Utifrån insamlad data och med substantiv och teoretisk kodning som verktyg har en teoretisk modell utvecklats. Modellen visar att muntlig och skriftlig feedback som ges från lärare till elev på uppgiftsnivå kan vara antingen direkt eller indirekt. Beroende på om feedbacken är muntlig eller skriftlig, direkt eller indirekt, kan den också vara bekräftande, uppmuntrande, upprepande, informerande, stöttande eller uppmanande. Detta resultat redovisas med hjälp av en så kallad "fyrfältare". Värt att notera är också att resultatet i studien visar att muntlig feedback ges i betydligt högre grad än skriftlig feedback. Ett par slutsatser som dras utifrån studiens resultat är att verkligheten skiljer sig från hur tidigare forskning förespråkar att feedback bör komma till uttryck i klassrummet och att elevernas ålder samt lärarnas tid spelar en avgörande roll för vilken sorts feedback som ges. En annan viktig slutsats som också dras utifrån studiens redovisade resultat är att vissa kategorier av feedback är mer effektiva för elevers lärande i matematik än andra.

Problemlösning och kommunikation : En undersökande studie kring hur lärare använder kommunikation för att utveckla elevers kunskaper i problemlösning

I denna studie undersöks det hur lärare använder kommunikation för att utveckla elevers matematiska förmågor i problemlösning samt om det finns något samband mellan kommunikation och problemlösning. Detta undersöktes genom observationer och intervjuer av fem grundskollärare i årskurserna 1-4. Resultatet visar att lärare anser att kommunikationen är nödvändig för att elever ska ges möjligheten att utveckla förståelse för matematisk problemlösning. Specifikt genom att alla elever behöver ges tid för sig själv, att reflektera kring problemets innehåll för att sedan kunna föra ett matematiskt resonemang tillsammans med andra. Detta sätt är något som alla lärare använder i arbetet med problemlösning. Att reflektera själv innan argumentation i grupp tas vid är viktigt för att ge eleverna möjlighet att förstå problemet och för att själva komma fram till en rimlig lösning med hjälp av en eller flera lämpliga strategier. Men även för att utveckla sina matematiska förmågor i problemlösning. Resultatet visar också att kommunikation kan ske på olika sätt med hjälp av abstrakta och konkreta verktyg vilket även forskning hävdar. Studiens slutsats visar att lärare och forskning anser att kommunikation är nödvändig för elevers utveckling i matematisk problemlösning och att elever bör ges möjligheten att argumentera, reflektera, resonera och analysera kring valda strategier på olika sätt för att utvecklas till effektiva problemlösare.

”Man får bara skriva = om det väger jämnt” : En studie om vilken begreppsuppfattning avseende likhetstecknet som elever ger uttryck för efter avslutat mellanstadium

Studien undersöker vilken begreppsuppfattning avseende likhetstecknet som elever ger uttryck för efter avslutat mellanstadium, det vill säga i början av årskurs 7. Utgångspunkt tas i forskning som visat att en relationell förståelse för likhetstecknet är kritisk för elevers möjligheter att bli framgångsrika inom algebra. Studien omfattar 159 elever i årskurs 7 som deltagit genom att fylla i en skriftlig enkät bestående av uppgifter som utformats för att undersöka hur elever definierar och tolkar likhetstecknet. Resultatet visar att det finns en diskrepans mellan hur elever definierar likhetstecknet och vilken begreppsuppfattning de ger uttryck för i sina tolkningar av matematiska uppgifter. När eleverna själva ska prestera en definition ger en majoritet av dem spontant uttryck för en operationell begreppsuppfattning. I det matematiska arbetet med uppgifter som involverar ekvivalenta uttryck framkommer dock en mer nyanserad bild. I dessa anger en majoritet av eleverna rätt svar och använder lösningsstrategier som ger uttryck för både grundläggande och mer sofistikerad jämförande relationell begreppsuppfattning. Elevers acceptans av definitioner som uttrycker likhetstecknets innebörd substitution har också undersökts och resultatet bekräftar vad som framkommit i tidigare forskning. Betydelsen substitution accepteras i högre grad av elever med relationell begreppsuppfattning om likhetstecknet och i lägre grad av elever som gett uttryck för en operationell sådan.  

Dokumentationens dilemman : Förskollärare samtalar om pedagogisk dokumentation

Abstract  Pedagogical documentation is a certain procedure for documenting that, in recent years, has been embraced in several Swedish preschools. Teachers document children’s actions and conversations usually by photos or video recordings. This documentation is to be used for a pedagogical purpose. However, studies and governmental inspections have shown that pedagogical documentation gives rise to many questions among preschool teachers. The purpose of this study is to gain insight into what is being expressed when preschool teachers discuss pedagogical documentation, focusing on themes of content and on the participants’ expressions of their points of view. The data is comprised of transcriptions from audio recordings of discussions conducted in a research circle. The participants are eight preschool teachers that met over the course of one year. Each meeting focused on the documentation provided by a different participant. In that way the contents of the discussions were framed by the teachers own questions and narratives. Theoretically, the study departs from Social Constructionism and Discursive Psychology. The preschool teachers’ utterances have been analyzed using concepts of interpretative repertoires and ideological dilemmas. The results show the main themes to be: Knowledge content in a preschool setting, children’s learning, the teacher’s role and implementation of pedagogical documentation. The participants’ joint position is that the knowledge content at the preschool level is defined by the curriculum for the preschool. Concerning children’s learning and the teacher’s role, two main standpoints are disclosed. Ideologically those standpoints derive from two opposing theories of education. Based on how the standpoints have been expressed I have called them ”predetermined learning” versus ”non-predetermined learning”. One main distinction between the standpoints is that predetermined learning emphasizes the results of learning, while non-predetermined learning emphasizes the processes of learning. The participants’ utterances show that teachers tend to subscribe to the idea that there is only one acceptable way of working with pedagogical documentation. This sometimes creates performance anxiety and feelings of not succeeding and has led to arguments advocating an alternate approach; pedagogical documentation can be done in many ways. The ideological dilemmas within the discourse can be perceived as resources by which the participants argue about knowledge, learning, teaching and about the implementation of pedagogical documentation.

Återkopplingens betydelse i matematikundervisningen : En kvalitativ intervjustudie med fem matematiklärare i år F-5

Syftet med den här studien är att undersöka hur lärare ger återkoppling på matematiklektionerna samt vilket undervisningssätt de anser leder till återkoppling. Vidare syftar studien till att undersöka vilket lärande lärarna anser att återkoppling i matematikundervisningen leder till. Undersökningen utfördes med en kvalitativ metod som bestod av fem halvstrukturerade intervjuer. Intervjuerna analyserades sedan med hjälp av Björklund Boistrups (2010) fyra diskurser om återkopplingssituationer samt hennes teorier om hur återkoppling kan ges i undervisningen. Det framkommer i studiens resultat att lärarna anser undervisning som leder till återkoppling är problemlösningsuppgifter med öppna utsagor och dessa ansågs kunna leda till att eleverna samtalade, argumenterade och redogjorde för frågeställningar och slutsatser. Det är som det framgår i resultatet dock inte alltid undervisningen ser ut som lärarna önskar.

Vad kan vanligt förekommande matematikläxor ge elever och deras kunskapsutveckling? : En litteraturstudie om hur matematikläxor kan påverka elevers utvecklande av matematiska kunskaper med inriktning mot kunskapsmålen i årskurs 1-3

I den här studien har syftet varit att undersöka hur matematikläxor påverkar elevernas kunskapsutveckling. Det finns många olika perspektiv att belysa detta på, i det här fallet har fokus legat på lärarens undervisning i årskurs 1-3, där matematikläxor utgör en del av undervisningen som ska ge eleverna förutsättningar och möjligheter att nå kunskapsmålen. Studien har utgått från följande frågeställning: Vad kan vanligt förekommande matematikläxor ge elever och deras kunskapsutveckling? I arbetet med att undersöka denna frågeställning har en systematisk litteraturstudie genomförts och vetenskapliga artiklar har sökts fram via databaserna ERIC (Ebsco) och LIBRIS. Vetenskapliga artiklar har utifrån beskrivna kriterier valts ut, granskats och bidragit med kunskaper. Resultatet visar att förekomsten av matematikläxor bygger på traditioner och uppfattningar, att en hög läxfrekvens inte automatiskt utvecklar kunskaper hos eleverna, att elevernas förkunskaper och intellektuella förmågor har betydelse och att det är något som lärare måste ta hänsyn till, att olika typer av förståelse kan utvecklas via läxorna och att matematikläxor som genomförs under lektionstid med stöttning av lärare ökar chansen för fler elever att tillgodogöra sig kunskaperna.

Fortbildning för lärare i matematisk problemlösning : En litteraturstudie om hur fortbildning kan förändra lärares undervisning i matematisk problemlösning.

Granskningar av skolans matematikundervisning liksom erfarenheter från min verksamhetsförlagda utbildning visar att undervisningen i matematik i stora drag kännetecknas av enskild räkning i en lärobok. Föregående visar sig trots att matematisk problemlösning har en central roll i skolans läroplan. En viktig faktor för att eleverna ska ha möjlighet att utveckla goda ämneskunskaper är den enskilde lärarens förmåga att undervisa samt lärarens kunskaper i ämnet. Syftet med denna studie är att undersöka om deltagande i fortbildning förändrar hur lärare arbetar med matematisk problemlösning tillsammans med sina elever. Den metod som har använts till studien är en systematisk litteraturstudie vilket innebär att sökningar efter vetenskaplig litteratur har gjorts i olika databaser. Det resultat som framkommit visar att oberoende av hur fortbildningen har organiserats sker en förändring i undervisningen hos de lärare som deltagit i fortbildning. Resultatet visar att majoriteten av de lärare som deltagit i fortbildning förändrar sin undervisning i matematisk problemlösning inom fyra större områden. Dessa områden är lärarnas val av problem, hur problemet introduceras för eleverna, vilket typ av kommunikation och interaktion som finns i klassrummet samt hur presentationen av olika lösningsförslag går till. Beroende på hur fortbildningen har organiserats sker denna förändring i olika stor utsträckning.