Teoria de Conjuntos em Isabelle

Francisco Miguel A. C. de Sousa Dionísio

Nonautonomous difference equations with applications

This work is divided in two parts. In the first part we develop the theory of discrete nonautonomous dynamical systems. In particular, we investigate skew-product dynamical system, periodicity, stability, center manifold, and bifurcation. In the second part we present some concrete models that are used in ecology/biology and economics. In addition to developing the mathematical theory of these models, we use simulations to construct graphs that illustrate and describe the dynamics of the models. One of the main contributions of this dissertation is the study of the stability of some concrete nonlinear maps using the center manifold theory. Moreover, the second contribution is the study of bifurcation, and in particular the construction of bifurcation diagrams in the parameter space of the autonomous Ricker competition model. Since the dynamics of the Ricker competition model is similar to the logistic competition model, we believe that there exists a certain class of two-dimensional maps with which we can generalize our results. Finally, using the Brouwer’s fixed point theorem and the construction of a compact invariant and convex subset of the space, we present a proof of the existence of a positive periodic solution of the nonautonomous Ricker competition model.

Padrões geométricos na azulejaria

José Francisco da Silva Costa Rodrigues e José Manuel Nunes Castanheira da Costa

Estudo de funções com o Mathematica

José Carmo

Equações algébricas

Jorge Nuno Silva

Comparação de sistemas de programação

Este trabalho compara as soluções disponibilizadas pelos sistemas Derive 5.0, Maple 6 e Mathematica 4.0 para problemas que encontramos no ensino secundário e também nos primeiros anos da universidade. Procuramos destacar os aspectos distintos entre cada um dos programas ao mesmo tempo que fazemos referência aos pontos em que tudo se passa de forma semelhante. Esta dissertação aborda o cálculo numérico, o cálculo simbólico, a programação e os gráficos. Para cada um dos assuntos é estudada a forma como se podem resolver os problemas através dos três sistemas comparando-se estas soluções. Inicialmente, é feita uma abordagem que permite ao utilizador adquirir os conhecimentos básicos acerca dos diversos programas. Tratamos de seguida de algumas questões relacionadas com o cálculo numérico e com algumas funções nomeadamente da Teoria dos Números. Referimos listas e funções e são analisadas diversas formas de manipular listas e os seus elementos bem como algumas áreas da Análise Matemática das quais destacamos as equações, a derivação e a integração compreendendo cálculo numérico e cálculo simbólico. Examinamos um vasto conjunto de operações definidas sobre matrizes (representadas como listas de listas) e polinómios que abrangem as operações mais comuns de cada um dos campos. Analisamos também a programação recursiva, a programação imperativa, a programação funcional e a programação por regras de reescrita. A abordagem aqui adoptada foi a de fornecer ao utilizador as construções chave mais importantes que cada paradigma de programação utiliza bem como as informações básicas acerca do funcionamento de cada uma delas de modo a permitir a resolução dos problemas propostos. Por último os gráficos sobre os quais incidiu a nossa análise foram os de uma e de duas variáveis representados no referencial cartesiano, gráficos estes que são os mais utilizados quer ao nível do ensino superior quer ao nível do ensino secundário. A qualidade e a facilidade de obter rapidamente as representações dão outra dimensão ao estudo dos gráficos principalmente quando estamos a falar de gráficos a três dimensões. A ideia de animação gráfica é também aqui abordada sendo evidente os benefícios da utilização da mesma nos programas em que é possível efectuá-la. Concluímos que na programação o Mathematica destaca-se em relação aos demais o mesmo se passando no Maple no respeitante à representação gráfica. O Derive permite que durante o contacto inicial seja mais fácil trabalhar e aprender a linguagem própria.

Contribuição à análise de dados categorizados

Dinis Pestana

Tópicos sobre a convergência fraca de sucessões de variáveis aleatórias

Dinis Pestana

A aprendizagem da geometria com recurso aos materiais manipuláveis no 7º ano de escolaridade

O presente estudo tem por objectivo compreender como é que os alunos se apropriam dos conceitos da Geometria do sétimo ano de escolaridade quando usam materiais manipuláveis. Com este propósito formularam-se as seguintes questões: (1) Quais os processos matemáticos utilizados pelos alunos ao realizarem tarefas recorrendo aos materiais manipuláveis? (2) Como é que os materiais manipuláveis promovem o desenvolvimento dos conhecimentos geométricos? (3) Qual o contributo dado pelos materiais manipuláveis no desenvolvimento de determinadas competências matemáticas nos alunos? (4) Qual é o desempenho matemático dos alunos ao trabalharem, cooperativamente, em tarefas com recurso a materiais manipuláveis? Tendo em vista os objectivos do estudo, analisou-se o trabalho de uma turma do sétimo ano de escolaridade em torno da realização de dez tarefas que compreendiam o uso de diferentes materiais manipuláveis e, dentro da turma, estudaram-se dois grupos em particular. A investigação segue uma metodologia qualitativa de natureza interpretativa. Os dados foram recolhidos pela investigadora através de registos escritos feitos a partir da observação directa realizada nas aulas, de registos escritos e audiovisuais do trabalho dos alunos, e de um questionário aplicado aos mesmos no final da experiência. A análise dos dados e a disposição das conclusões foram estabelecidas conforme o papel dos materiais manipuláveis no aperfeiçoamento de processos matemáticos, na aprendizagem de conhecimentos geométricos, no desenvolvimento de competências matemáticas e no desempenho matemático dos alunos. Das conclusões que emergem do estudo destacam-se: - A realização das tarefas por parte dos alunos, com recurso aos materiais manipuláveis, parece ter contribuído para o aperfeiçoamento de alguns processos matemáticos, o que parece evidenciar que desenvolveram a aptidão na sua apropriação e aplicabilidade. O facto de poderem tocar, mover ou manipular estes materiais, enfatizam a forma como aprendem Matemática valorizando os processos utilizados nas suas experiências de construção da aprendizagem. As tarefas cujo enunciado apelou directamente à investigação e à descoberta foram aquelas que desencadearam a utilização de um maior número de processos matemáticos. - Os vários conceitos geométricos foram apreendidos de forma significativa pelos alunos, pois a aprendizagem foi feita a partir da sua própria experiência. A utilização de materiais manipuláveis facilitou as interacções entre os alunos, originando mais momentos de partilha e discussão dos seus raciocínios e processos. - Os alunos trabalharam ao nível do desenvolvimento de competências principalmente, competência de pensamento matemático, pois contactaram e dominaram modos matemáticos de pensamento; competência de raciocínio matemático, que implica estar apto a raciocinar matematicamente; competência em instrumentos e acessórios, que implica estar apto a fazer uso e estabelecer relações com instrumentos e acessórios matemáticos; competência de comunicação que envolve estar apto a comunicar em, com e sobre a matemática e competência de cooperação. - Os dados parecem sugerir que houve uma evolução no desempenho dos alunos a vários níveis, nomeadamente: no trabalho cooperativo, no envolvimento da tarefa e nas interacções estabelecidas.

Modelação da interacção entre um plasma de arco de alta pressão e cátodos refractários

Nesta dissertação apresento um estudo detalhado de vários aspectos da interacção entre um plasma de arco de alta pressão e cátodos refractários. Um modelo da camada de plasma junto ao cátodo num plasma sujeito a uma pressão da ordem de uma ou várias atmosferas é reconsiderado com base em recentes resultados teóricos. A física da camada de plasma junto ao cátodo é analisada para valores da queda de tensão na camada de plasma junto ao cátodo até 50V, de acordo com recentes resultados experimentais que mostram que a queda de tensão na camada de plasma junto ao cátodo numa descarga de arco de alta pressão pode atingir valores tão elevados. São identificados os mecanismos que originam a não monotonia da dependência da densidade de fluxo de energia (proveniente do plasma para a superfície do cátodo) em relação à temperatura da superfície do cátodo, para um valor fixo da queda de tensão junto ao cátodo. Uma descrição fechada da interacção plasma-cátodo é obtida por meio da resolução numérica do problema não linear com condições de fronteira para a distribuição da temperatura no interior do corpo do cátodo. São apresentados resultados da modelação numérica da descarga difusa nas condições de funcionamento de uma lâmpada de descarga experimental, sendo bom o acordo entre os resultados numéricos e os dados experimentais. Manchas solitárias num cátodo plano infinito e modos difuso e mancha axialmente simétricos em cátodos finitos de descargas de arco de alta pressão são estudados num grande intervalo de corrente. São analisados aspectos gerais e apresentados resultados numéricos referentes a cátodos de tungsténio planos e de forma cilíndrica a operar num plasma de argon à pressão atmosférica para correntes de arco até 100 kA. Émostrado, em particular, que a temperatura da superfície do cátodo no interior de uma mancha solitária varia relativamente pouco, podendo ser estimada com uma precisão de cerca de 200 − 300K sem ser necesário resolver a equação da condução térmica no corpo do cátodo. O comportamento assimptótico das soluções para um cátodo finito no caso limite de altas correntes é encontrado e confirmado pelos resultados numéricos. É confirmado um padrão geral das características tensão-corrente de vários modos de transferência de corrente em cátodos finitos sugerido previamente com base numa análise de bifurcações. É estudada a transição de modos mancha num cátodo finito no limite de cátodos de grandes dimensões para o modo mancha solitária num cátodo plano infinito. É estabelecido que o modo mancha solitária representa uma forma limite do modo mancha de alta tensão num cátodo finito. É considerada a questão da distinção entre modo difuso e modo mancha num cátodo finito. É desenvolvida uma abordagem para o cálculo de pontos de bifurcação nos quais soluções mancha tridimensionais bifurcam-se a partir de soluções que descrevem o modo difuso e modos mancha axialmente simétricos. Em particular, é calculado o primeiro ponto de bifurcação posicionado na solução que descreve o modo difuso e, por conseguinte, o seu limite de estabilidade, isto é, a corrente abaixo da qual o modo difuso torna-se instável. São apresentados os resultados da modelação numérica efectuada para o caso de um cátodo de tungsténio de forma cilíndrica a operar num plasma de alta pressão. É estudado o efeito produzido no limite de estabilidade pelas variações dos parâmetros de controle (dimensões do cátodo, função de trabalho do material do cátodo, tipo e pressão do gás que produz o plasma). Foi encontrado que o comportamento do limite de estabilidade sujeito a estas variações está em conformidade com as tendências observadas experimentalmente. Foi encontrado que o limite de estabilidade é muito mais sensível às variações dos parâmetros de controle do que as características tensão-corrente do modo difuso, sendo o efeito mais forte produzido pelas variações das dimensões do cátodo e da função de trabalho do material do cátodo. Este resultado está em conformidade com o facto experimental de que a transição difuso-mancha é de difícil reprodução.

Fraccionamento da cortiça e caracterização dos seus componentes: estudo de possibilidades de valorização suberina

Carlos Pascoal Neto e Alessandro Gandini

Caracterização aromática de castas produtoras de vinho Madeira: boal, malvazia, sercial e verdelho

Maria Arminda Costa Alves e José Carlos Antunes Marques

Análise de clusters aplicada ao sucesso/insucesso em matemática

De acordo com [Mirkin B., 1996], classificação é um agrupamento existente ou ideal daqueles que se parecem (ou são semelhantes) e separação dos que são dissemelhantes. Sendo o objectivo/razão da classificação: (1) formar e adquirir conhecimento, (2) analizar a estrutura do fenómeno e (3) relacionar entre si diferentes aspectos do fenómeno em questão. No estudo do sucesso/insucesso da Matemática está de algum modo subjacente nos nossos objectivos “classificar” os alunos de acordo com os factores que se pretende que sejam determinantes nos resultados a Matemática. Por outro lado, voltamos a recorrer à classificação quando pretendemos estabelecer os tipos de factores determinantes nos resultados da Matemática. Os objectivos da Análise de Clusters são: (1) analisar a estrutura dos dados; (2) verificar/relacionar os aspectos dos dados entre si; (3) ajudar na concepção da classificação. Pensámos que esta técnica da análise exploratória de dados poderia representar uma ferramenta muito potente para o estudo do sucesso/insucesso da Matemática no Ensino Básico. O trabalho desenvolvido nesta dissertação prova que a Análise de Clusters responde adequadamente às questões que se podem formular quando se tenta enquadrar socialmente e pedagogicamente o sucesso/insucesso da Matemática.

Monitorização ambiental em espaços florestais com rede de sensores sem fios

O objectivo deste projecto é desenvolver um sistema de monitorização florestal recorrendo às Redes de Sensores sem Fios. Para a monitorização florestal foi desenvolvido um protótipo cuja função é obter periodicamente os valores de temperatura, humidade, luminosidade, tensão nas baterias e a indicação do nível de sinal de rádio frequência recebido (RSSI- Received Signal Strength Indicator). O equipamento referido foi instalado num ambiente exterior, com características semelhantes à de interesse de modo a permitir avaliar os efeitos do ambiente no desempenho da rede. O funcionamento das Redes de Sensores sem Fios, baseadas no protocolo ZigBee, foi estudado e depois aplicado para transmitir os valores obtidos. Os dados referidos percorrem a rede ZigBee até alcançar a estação base, que tem como função processar, manipular, armazenar numa base de dados e disponibilizar os dados em tempo real através de uma página de Internet. Como os dados são armazenados é sempre possível efectuar uma consulta à base de dados para realização de estudos e estatísticas. Tendo em conta a capacidade limitada dos sistemas de armazenamento de energia utilizados em ambientes exteriores, foi desenvolvido um algoritmo que permite comutar os dispositivos na rede ZigBee de router para end-device e vice-versa, de modo a diminuir o consumo de energia e aumentar o tempo de vida da rede. Este algoritmo foi testado numa situação em que os nós sensores estão colocados em linha, existindo um único salto entre os mesmos.

Geometria com Sketchpad tm para o Ensino Secundário

Pedro Manuel Augusto