El principio de Fermat en óptica geométrica

El interés de este trabajo es ilustrar un tópico a través del cual se pueda establecer relación entre las matemáticas y la física en el nivel de educación media. Se consideran algunos aspectos relacionados con el Principio de Fermat que se pueden desarrollar para profundizar los conocimientos de los estudiantes en cuanto a geometría, cálculo diferencial y física, asignaturas que, por lo general, se abordan desvinculadas una de la otra.

Variables, funciones y cambios: ¿qué conocen nuestros alumnos?

El estudio de la matemática permite la modelización de situaciones que conducen a la resolución de problemas. Por esto, es primordial que los estudiantes analicen los cambios que ocurren en diferentes fenómenos biológicos, económicos y sociales. Sin embargo, durante la escuela media, no se favorece demasiado el desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional, base para la comprensión de los conceptos de la matemática de la variación y el cambio, es decir el cálculo. Por este motivo, este trabajo, enmarcado en el proyecto de investigación “Pensamiento y lenguaje variacional: bases para la construcción de conceptos del cálculo diferencial”, tiene como objetivo el análisis y valoración de los resultados obtenidos en una experiencia de aula centrada en el diseño, implementación y corrección de una guía de actividades que indaga las nociones que tienen los alumnos que ingresan al nivel universitario con respecto a variables, cambios, funciones, imagen, gráficas, expresión analítica, valor numérico y comportamiento de funciones.

La resolución de problemas en un ambiente de geometría dinámica

Se reporta aquí un minicurso en el que participaron profesores de matemática de Enseñanza Media. Trabajando en un ambiente de Geometría Dinámica se aborda la resolución de problemas que involucran distintas áreas de la matemática: geometría métrica, cálculo diferencial, geometría analítica, álgebra, y que permiten poner de manifiesto la pertinencia y relevancia –así como señalar sus peculiaridades- del ambiente dinámico en la construcción del conocimiento matemático por parte de los participantes y a su vez discutir su papel en el trabajo con estudiantes.

Una propuesta didáctica para la enseñanza del concepto de derivada

El propósito de la investigación fue determinar la diferencia en el aprendizaje significativo del concepto de derivada y reglas de derivación, en dos grupos de estudiantes de cálculo diferencial de la Universidad del Quindío, en uno utilizando la estrategia didáctica de enseñanza orientada desde conceptos previos, recorrido histórico, fases real, simbólica y conceptual y la resolución de problemas, y en el otro la estrategia didáctica tradicional, el tipo de investigación fue comparativa y correlacional. El diseño metodológico es cuasiexperimental. Se aplicó la prueba t-student para definir los resultados entre los grupos. Se llegó a la conclusión de que la estrategia didáctica propuesta en la investigación permitió que los estudiantes del grupo experimental comprendieran con mayor claridad las temáticas tratadas.

Travesía del Gangah

Después de relatar la experiencia vivida al cruzar el Ganges en un bote me planteo que curva escribe una barca al cruzar un río, en principio tiene la intención de ser una línea recta, pero la fuerza de la corriente lo impide por débil que sea. La búsqueda de una función cuenta gráfica conocida es una trayectoria constituye un excelente ejemplo de movilización matemática simple y aplicación de conceptos fundamentales del cálculo diferencial.

O estudo das funções com as F-Tools: o conceito F-Tool

O presente relatório, orientado pela Doutora Ana Conceição, foi elaborado no âmbito da Prática de Ensino Supervisionada (PES), integrada no plano de estudos do Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, da Universidade do Algarve (UAlg). Apresento uma breve caraterização das escolas, dos orientadores cooperantes e das turmas. Menciono as aulas assistidas e as aulas lecionadas com a supervisão da orientadora e relato os trabalhos desenvolvidos em cada escola. Dedico um capítulo à importância das tecnologias no processo de ensino e aprendizagem pois, na minha opinião, na formação atual de qualquer professor deve ser tido em conta o uso de tecnologias em sala de aula. Partilhando a minha orientadora da mesma opinião, colocou-me um desafio: a criação de um software educacional com recurso ao sistema de álgebra computacional Mathematica, tendo em vista a melhoria do processo de ensino e aprendizagem da Matemática (em particular, no estudo das funções reais de variável real). Aceitei de imediato e, juntamente com a Dra. Cristina Simão e o Dr. José Pereira, iniciamos um projeto inovador na área de ensino, posteriormente distinguido com o prémio Timberlake1. Neste relatório apresento o conceito F-Tool2, isto é, ferramentas de ensino visuais, dinâmicas e interativas que permitem explorar de uma forma inovadora alguns dos principais conceitos nas áreas de Pré-Cálculo e Cálculo Diferencial, nos níveis básico, secundário e universitário. O conceito F-Tool foi utilizado nas aulas que lecionei em regime de par pedagógico com a Dra. Cristina Simão. Devido à sua importância na minha PES, ficou claro que o tema do meu relatório teria de ter uma referência explícita ao estudo das funções com as F-Tool. Reflito ainda sobre os seminários que apresentei na UAlg, no âmbito da PES, e apresento uma reflexão final de toda a Prática de Ensino Supervisionada.

Compreensão de conceitos matemáticos avançados: a matemática no início do superior

Tese de doutoramento em Ciências da Educação: especialidade de Teoria Curricular e Ensino das Ciências

Modelo para que las empresas vivan más tiempo

Los elevados índices de mortalidad empresarial que se registran en Colombia, especialmente en las pequeñas y medianas empresas (Pymes), señalan de acuerdo con estudios realizados por Global Entrepreneurship Monitor GEM, Colombia, que el país aparece en el segundo puesto a nivel mundial en la creación de empresas. Además, señala que para el año 2.006 la tasa de creación de empresas es de 22.5%, la tasa de cierre de 16.4% y la de permanencia de 6.1%, así en el séptimo año la tasa de estabilidad es de 5%, situación que constituye una clara evidencia de las limitadas posibilidades que este tipo de organizaciones tienen para llegar a estados de longevidad que les permitan consolidarse en un mercado. Preocupado por esta situación, el Grupo de Investigación sobre Perdurabilidad Empresarial de la Facultad de Administración de la Universidad del Rosario, ha logrado identificar algunas de las condiciones más importantes para la perdurabilidad de las Pymes en el contexto nacional, y a partir de allí ha creado un instrumento que contribuye a la reducción de las tasas de mortalidad empresarial. Desde tal perspectiva, la calidad de la administración debe tener en cuenta, como elemento fundamental, el direccionamiento estratégico y el gobierno, en razón a que una gerencia centrada en el mejoramiento -entendido como productividad u optimización de los recursos- no es suficiente. En una sociedad de organizaciones, el desafío de la administración consiste en desarrollar empresas privadas con ánimo de lucro que se comporten como sistemas biológicos eficientes, con perfil ecosistémico. Con esto, el grupo de investigadores sostiene que las empresas forman parte del mundo de la vida que, por lo tanto, deben ser estudiadas con una orientación fundamentada en la dinámica de sistemas, las ciencias de la complejidad y la teoría del caos. Poco a poco, el paradigma vigente, aferrado a la realidad empresarial en el mundo entero, ha venido dando paso a otras formas de pensamiento que redundarán en nuevas concepciones, en otros marcos conceptuales y teóricos, y en singulares herramientas que permitirán comprender la empresa de otra manera. Con ello, se espera tomar decisiones más acertadas, crecer sanamente e incrementar la longevidad de las organizaciones empresariales. Parece inevitable que el paradigma vigente (centrado en la linealidad, la determinística, la certeza, la precisión mecánica y matemática, la predicción y el desconocimiento de la ambigüedad y la incertidumbre total rumbo a lo desconocido) se apresta a ser reemplazado por otras formas de ver el mundo que se apalancan en la física cuántica, la termodinámica del no equilibrio, la biología, la matemática cualitativa, la topología, las lógicas no clásicas, la geometría fractal, la dinámica de sistemas y las ciencias de la complejidad. Todas estas visiones están destinadas a comprender fenómenos incrustados en el mundo de la vida, los cuales evolucionan, coevolucionan, cooperan, migran, nacen, crecen, enferman y mueren, características indiscutibles de las empresas de hoy y de siempre. Dentro de este nuevo espíritu científico, más vinculado al mundo de la vida, la administración, como disciplina universal que existe para convertir la complejidad y la especialización en resultados, se aleja de la visión cartesiana del mundo, reemplaza la visión newtoniana plasmada en el cálculo diferencial e intenta reemplazar buena parte de los axiomas euclídeos. El Estudio para las Condiciones de Perdurabilidad (ECP), propone 47 juicios o ítems que son calificados de acuerdo a la experiencia y a la formación de un grupo de expertos que fueron encuestados. Las calificaciones de sus respuestas se compararon para determinar las condiciones para la perdurabilidad. Tales ítems o juicios, propuestos en su totalidad, buscan identificar el pensamiento que se expresó en la percepción de los directivos encuestados hacia los diferentes aspectos que manejan en sus actividades. Con esta información los investigadores identificaron los elementos que crean condiciones para la perdurabilidad. Con el fin de validar el instrumento en su diseño formal, en su contenido, las escalas utilizadas y, fundamentalmente, explorar el pensamiento directivo desde los 47 ítems mencionados, los investigadores aplicaron una prueba piloto a personas de nivel directivo con vinculación académica o de consultoría a la Facultad de Administración en la Universidad del Rosario. Con este primer acercamiento pudieron validar la pertinencia, concordancia y coherencia del instrumento de medición, así como la claridad y entendimiento para quienes lo contestaron. El análisis de la información obtenida en su primera fase se desarrolló por medio de las técnicas estadísticas multivariadas, que tienen la característica de reducir los 47 juicios a un plano de menor dimensión que ilustra más fácilmente el comportamiento total de la perdurabilidad.

Aproximación a una metodología para la identificación de componentes que crean condiciones para la perdurabilidad en empresas colombianas

En una sociedad de organizaciones, característica central de la contemporaneidad, el desafío de la Administración consiste en diseñar y poner en práctica organizaciones de tipo III1 para que se comporten como sistemas biológicos efi cientes con perfi l ecosistémico. Con lo anterior, reconocemos que las empresas forman parte de la vida, que deben ser estudiadas con una orientación fundamentada en la dinámica de sistemas, las ciencias de la complejidad y la teoría del caos. El paradigma vigente, aferrado a la realidad empresarial en el mundo entero, poco a poco da paso a otras formas de pensamiento que redundarán en nuevas concepciones, en otros marcos conceptuales y teóricos y en herramientas singulares que permitirán comprender la empresa de otra manera, y con ello tomar decisiones más acertadas, crecer de forma sana e incrementar su longevidad con calidad de vida. El paradigma vigente, centrado en la linealidad, la determinística, la certeza, la precisión mecánica y matemática, la predicción y el desconocimiento de la ambigüedad y la incertidumbre total rumbo a lo desconocido, se apresta a ser reemplazado por otras formas de ver el mundo que se apalancan en la física cuántica, la termodinámica del no equilibrio, la biología, la matemática cualitativa, la topología, las lógicas no clásicas, la geometría fractal, la dinámica de sistemas y las ciencias de la complejidad, todas ellas destinadas a comprender fenómenos incrustados en la vida cotidiana, que evolucionan, coevolucionan, cooperan, migran, nacen, crecen, enferman y mueren, características indiscutibles de las empresas de hoy y de siempre. Manifestamos, entonces, que con un nuevo espíritu científi co más vinculado con la vida, la Administración, como disciplina universal que existe para convertir la complejidad y la especialización en resultados, que se caracteriza por convocar múltiples disciplinas con las cuales construye sus conceptos, contesta sus preguntas y aborda sus dudas, se aleja de la visión cartesiana del mundo, reemplaza la visión newtoniana plasmada en el cálculo diferencial e intenta reemplazar buena parte de los axiomas euclídeos. Con lo anterior como precepto, los grupos de investigación de la Facultad de Administración de la Universidad del Rosario iniciaron este camino hace dos años; esperamos, en breve, aportar a la clase empresarial colombiana una nueva concepción de la empresa soportada en la subjetividad, la interpretación, la creatividad, y una forma de pensamiento basada más en las relaciones que en las formas, mucho más en lo cualitativo que en lo cuantitativo, tanto más en los patrones y menos en la sustancia. Este documento es resultado del trabajo del Grupo de Investigación sobre Perdurabilidad Empresarial de la Facultad de Administración de Empresas de la Universidad del Rosario, que durante el año 2006 orientó esfuerzos de investigación fundamentados en la comprensión del tema, que puede considerarse novedoso en el ámbito de la investigación en la Administración. Este documento tiene el aporte de profesores del grupo de estudio establecido para este propósito. Los integrantes son: Carlos Eduardo Méndez Álvarez, Liliana Mendoza Saboya, Fernando Restrepo Puerta, Hugo Alberto Rivera Rodríguez y Rodrigo Vélez Bedoya.

Enseñanza genética y global del análisis matemático en el Bachillerato.

Se pretende partir de la Geometría experimental para llegar al Cálculo diferencial, introduciendo los conceptos de función, gráfica, formulación, etc. El primer objetivo que se desea cubrir es el de acercar el análisis matemático que se da en segundo de BUP a la experiencia concreta de los alumnos. El segundo objetivo, propio de tercero de BUP, será centrar la metodología en los conceptos y no en su formalización. Aplicado a 228 alumnos de segundo y tercero de BUP pertenecientes a los Institutos Pérez Galdós, Isabel de España y José Arencibia Gil, en Gran Canaria. El proyecto contiene los capítulos de análisis matemático que existen dentro de los contenidos de BUP. Las estadísticas de los resultados obtenidos por nuestros alumnos no difieren cualitativamente de los resultados obtenidos por los alumnos no sometidos a la experiencia. Se concluye que los actuales currículos de segundo y tercero de BUP deberían ser modificados, si lo que se pretende es que los alumnos lleguen a entender intuitivamente los conceptos de límite en segundo de BUP y de derivadas en tercero.

Ensayo y experimentación de contenidos en Matemáticas, en la ESO y Bachiller.

Este proyecto pretende desarrollar y concretizar el material curricular referido a los contenidos del bloque IV del área de Matemáticas de la ESO (Educacion Secundaria Obligatoria): interpretación, representación y tratamiento de la información; y el análisis de gráficas del III bloque del área de Matemáticas del Bachillerato: interpretación, representación y análisis de la información. El proyecto requiere un mínimo de dos años para su elaboración y puesta en práctica. Participan un total de 6 institutos: Tomás Morales, Schamann, La Isleta, Casas Nuevas de Gran Canaria, César Manrique, y el de Formación Profesional Zonzamas de Lanzarote. Aplicado a los niveles de 1., 2., 3. de BUP y 1. de FP I. Objetivos: entre otros muchos, se citan los siguientes: - Descubrir la utilidad de las Matemáticas en la realidad en que está inmerso el alumno. -Analizar la información recogida en los diferentes medios de comunicación y desarrollar una actitud crítica ante ella. -Utilizar diferentes tipos de lenguaje: gráfico, algebraico, numérico... -Desarrollar capacidades básicas: abstracción, generalización... -Aprender las Matemáticas como proceso: clasificar, ordenar... -Desarrollar hábitos de trabajo: sistemático, en grupo, independiente... La metodología empleada es activa. Se trabajaron cuatro bloques: funciones, modelos, cálculo diferencial e IPC, aunque este último se dejó para un futuro. Conscientes de que asumir estos objetivos es más un proceso que algo inmediato, se valora muy positiva la experiencia.

Una visión distinta de un problema clásico.

Resumen del autor

Cambios en el contrato didáctico : el paso de estudiar matemáticas en secundaria a estudiar matemáticas en la universidad.

Resumen del autor

¿Qué hacen y qué entienden los estudiantes y profesores de Física cuando usan expresiones diferenciales?

Resumen basado en el de la publicación. Anexos al final

Sistemas simbólicos de representación en la enseñanza del análisis matemático : perspectiva histórica acerca de los puntos críticos.

Identificar y caracterizar los diferentes sistemas simbólicos de representación en el campo del Análisis Matemático. Desarrollar un modelo de análisis de libros de texto que sirva para caracterizar el tipo de representaciones que utilizan. Describir cada uno de los libros analizados en función de los sistemas simbólicos de representación utilizados. Libros históricos de texto dedicados al Cálculo Diferencial. Libros de texto de la Educación Secundaria en España. Planteamiento general de la investigación. Definición del problema. Heurística. Análisis de la documentación. Explicación y síntesis histórica. Análisis de textos antiguos de matemáticas. Investigación cualitativa. Investigación histórica. Razonamiento hipotético-deductivo. Los materiales didácticos que se pueden utilizar con las nuevas tecnologías buscan recuperar el carácter dinámico que es la esencia del Cálculo Diferencial. La utilización que hacen los libros de texto de los diferentes sistemas simbólicos de representación permiten caracterizar diferentes periodos en la enseñanza del Análisis Matemático. Las orientaciones establecids en los programas oficiales no son siempre las que establecen el modelo de enseñanza. El trabajo ha permitido entresacar algunas de las características de la enseñanza de los puntos críticos en la educación secundaria, establecer sus limitaciones y avanzar posibles alternativas en cuanto a la planificación de su enseñanza. Contribución a la caracterización, delimitación, análisis y clarificación de una parte del campo conceptual del Pensamiento Matemático Avanzado y, en particular, lo referente a los puntos críticos.