Komplexa tal - vad är det?

Komplexa tal har traditionellt undervisats i de finländska gymnasierna som en valbar kurs. Denna situation har förändrats i och med de nya läroplanerna som tagits i bruk senast hösten 2005. Den nya, striktare läroplanen ger inte lika stora valmöjligheter för skolorna att bestämma undervisningsstoffet, inte ens för de valbara kurserna, och därför har många gymnasier varit tvungna att sluta undervisa om komplexa tal. För att fortsättningsvis ge en möjlighet för gymnasieelever att studera komplexa tal finns detta kompendium. Kompendiet fyller två syften. I de gymnasier där komplexa tal fortfarande finns med i läroplanen kan kompendiet användas som läromedel på ifrågavarande kurs. Kompendiet torde vara önskat eftersom det inte existerar något modernt, finlandssvenskt läromedel där de komplexa talen tas upp. Kompendiets andra, huvudsakliga syfte är att finnas till att ge en möjlighet för de elever, som inte går ett gymnasium där komplexa tal undervisas, att på egen hand lära sig grunder om komplexa tal. Kunskap om utvidgandet av talområdet från reella talen till komplexa hör till matematisk allmänbildning, och är till stor nytta om man är intresserad av att fortsätta studera matematik eller naturvetenskaper efter gymnasiet. Kompendiet kommer att läggas ut på nätet för att få det lättillgängligt. I det första kapitlet behandlas matematikens uppkomst. Det andra kapitlet är en introduktion till varför man behöver komplexa tal, där gås tal- och mängdlära igenom samtidigt som de i kompendiet använda beteckningarna introduceras. I det tredje kapitlet behandlas de komplexa talen; grundläggande räkneregler, absolutbelopp och argument, komplexa tal i polär form och lösning till högregradsekvationer är centrala begrepp. de Moivers formel är ett av de viktigare målen, även Eulers formel behandlas kort. Problematik med negativa kvadratrötter tas också upp. Det fjärde kapitlet handlar om de komplexa talens intressanta historia. I kompendiet finns rikligt med exempel och övningsuppgifter. Kapitel fem innehåller extra övningsuppgifter och i kapitel sex finns lösningarna till samtliga uppgifter. Trots att kompendiets omfång avsevärt ökas i och med dessa lösningar är det av värde att de finns med för att kompendiets huvudsakliga syfte skall uppfyllas: att eleverna på egen hand skall kunna lära sig stoffet.

Tannakian Formalism Applied to the Category of Mixed Hodge Structures

Many problems in analysis have been solved using the theory of Hodge structures. P. Deligne started to treat these structures in a categorical way. Following him, we introduce the categories of mixed real and complex Hodge structures. Category of mixed Hodge structures over the field of real or complex numbers is a rigid abelian tensor category, and in fact, a neutral Tannakian category. Therefore it is equivalent to the category of representations of an affine group scheme. The direct sums of pure Hodge structures of different weights over real or complex numbers can be realized as a representation of the torus group, whose complex points is the Cartesian product of two punctured complex planes. Mixed Hodge structures turn out to consist of information of a direct sum of pure Hodge structures of different weights and a nilpotent automorphism. Therefore mixed Hodge structures correspond to the representations of certain semidirect product of a nilpotent group and the torus group acting on it.

Diagnostic Tests Based on Quantile Residuals for Nonlinear Time Series Models

This thesis studies quantile residuals and uses different methodologies to develop test statistics that are applicable in evaluating linear and nonlinear time series models based on continuous distributions. Models based on mixtures of distributions are of special interest because it turns out that for those models traditional residuals, often referred to as Pearson's residuals, are not appropriate. As such models have become more and more popular in practice, especially with financial time series data there is a need for reliable diagnostic tools that can be used to evaluate them. The aim of the thesis is to show how such diagnostic tools can be obtained and used in model evaluation. The quantile residuals considered here are defined in such a way that, when the model is correctly specified and its parameters are consistently estimated, they are approximately independent with standard normal distribution. All the tests derived in the thesis are pure significance type tests and are theoretically sound in that they properly take the uncertainty caused by parameter estimation into account. -- In Chapter 2 a general framework based on the likelihood function and smooth functions of univariate quantile residuals is derived that can be used to obtain misspecification tests for various purposes. Three easy-to-use tests aimed at detecting non-normality, autocorrelation, and conditional heteroscedasticity in quantile residuals are formulated. It also turns out that these tests can be interpreted as Lagrange Multiplier or score tests so that they are asymptotically optimal against local alternatives. Chapter 3 extends the concept of quantile residuals to multivariate models. The framework of Chapter 2 is generalized and tests aimed at detecting non-normality, serial correlation, and conditional heteroscedasticity in multivariate quantile residuals are derived based on it. Score test interpretations are obtained for the serial correlation and conditional heteroscedasticity tests and in a rather restricted special case for the normality test. In Chapter 4 the tests are constructed using the empirical distribution function of quantile residuals. So-called Khmaladze s martingale transformation is applied in order to eliminate the uncertainty caused by parameter estimation. Various test statistics are considered so that critical bounds for histogram type plots as well as Quantile-Quantile and Probability-Probability type plots of quantile residuals are obtained. Chapters 2, 3, and 4 contain simulations and empirical examples which illustrate the finite sample size and power properties of the derived tests and also how the tests and related graphical tools based on residuals are applied in practice.

Generalised regression estimation for domain class frequencies

This study examines the properties of Generalised Regression (GREG) estimators for domain class frequencies and proportions. The family of GREG estimators forms the class of design-based model-assisted estimators. All GREG estimators utilise auxiliary information via modelling. The classic GREG estimator with a linear fixed effects assisting model (GREG-lin) is one example. But when estimating class frequencies, the study variable is binary or polytomous. Therefore logistic-type assisting models (e.g. logistic or probit model) should be preferred over the linear one. However, other GREG estimators than GREG-lin are rarely used, and knowledge about their properties is limited. This study examines the properties of L-GREG estimators, which are GREG estimators with fixed-effects logistic-type models. Three research questions are addressed. First, I study whether and when L-GREG estimators are more accurate than GREG-lin. Theoretical results and Monte Carlo experiments which cover both equal and unequal probability sampling designs and a wide variety of model formulations show that in standard situations, the difference between L-GREG and GREG-lin is small. But in the case of a strong assisting model, two interesting situations arise: if the domain sample size is reasonably large, L-GREG is more accurate than GREG-lin, and if the domain sample size is very small, estimation of assisting model parameters may be inaccurate, resulting in bias for L-GREG. Second, I study variance estimation for the L-GREG estimators. The standard variance estimator (S) for all GREG estimators resembles the Sen-Yates-Grundy variance estimator, but it is a double sum of prediction errors, not of the observed values of the study variable. Monte Carlo experiments show that S underestimates the variance of L-GREG especially if the domain sample size is minor, or if the assisting model is strong. Third, since the standard variance estimator S often fails for the L-GREG estimators, I propose a new augmented variance estimator (A). The difference between S and the new estimator A is that the latter takes into account the difference between the sample fit model and the census fit model. In Monte Carlo experiments, the new estimator A outperformed the standard estimator S in terms of bias, root mean square error and coverage rate. Thus the new estimator provides a good alternative to the standard estimator.

Conformal Field Theory Methods for Variants of Schramm-Loewner Evolutions

This thesis consists of an introduction, four research articles and an appendix. The thesis studies relations between two different approaches to continuum limit of models of two dimensional statistical mechanics at criticality. The approach of conformal field theory (CFT) could be thought of as the algebraic classification of some basic objects in these models. It has been succesfully used by physicists since 1980's. The other approach, Schramm-Loewner evolutions (SLEs), is a recently introduced set of mathematical methods to study random curves or interfaces occurring in the continuum limit of the models. The first and second included articles argue on basis of statistical mechanics what would be a plausible relation between SLEs and conformal field theory. The first article studies multiple SLEs, several random curves simultaneously in a domain. The proposed definition is compatible with a natural commutation requirement suggested by Dubédat. The curves of multiple SLE may form different topological configurations, ``pure geometries''. We conjecture a relation between the topological configurations and CFT concepts of conformal blocks and operator product expansions. Example applications of multiple SLEs include crossing probabilities for percolation and Ising model. The second article studies SLE variants that represent models with boundary conditions implemented by primary fields. The most well known of these, SLE(kappa, rho), is shown to be simple in terms of the Coulomb gas formalism of CFT. In the third article the space of local martingales for variants of SLE is shown to carry a representation of Virasoro algebra. Finding this structure is guided by the relation of SLEs and CFTs in general, but the result is established in a straightforward fashion. This article, too, emphasizes multiple SLEs and proposes a possible way of treating pure geometries in terms of Coulomb gas. The fourth article states results of applications of the Virasoro structure to the open questions of SLE reversibility and duality. Proofs of the stated results are provided in the appendix. The objective is an indirect computation of certain polynomial expected values. Provided that these expected values exist, in generic cases they are shown to possess the desired properties, thus giving support for both reversibility and duality.

Direct and Inverse Scattering for Beltrami Fields

We consider an obstacle scattering problem for linear Beltrami fields. A vector field is a linear Beltrami field if the curl of the field is a constant times itself. We study the obstacles that are of Neumann type, that is, the normal component of the total field vanishes on the boundary of the obstacle. We prove the unique solvability for the corresponding exterior boundary value problem, in other words, the direct obstacle scattering model. For the inverse obstacle scattering problem, we deduce the formulas that are needed to apply the singular sources method. The numerical examples are computed for the direct scattering problem and for the inverse scattering problem.

Methodological perspectives for register-based health system performance assessment : Developing a hip fracture monitoring system in Finland

The resources of health systems are limited. There is a need for information concerning the performance of the health system for the purposes of decision-making. This study is about utilization of administrative registers in the context of health system performance evaluation. In order to address this issue, a multidisciplinary methodological framework for register-based data analysis is defined. Because the fixed structure of register-based data indirectly determines constraints on the theoretical constructs, it is essential to elaborate the whole analytic process with respect to the data. The fundamental methodological concepts and theories are synthesized into a data sensitive approach which helps to understand and overcome the problems that are likely to be encountered during a register-based data analyzing process. A pragmatically useful health system performance monitoring should produce valid information about the volume of the problems, about the use of services and about the effectiveness of provided services. A conceptual model for hip fracture performance assessment is constructed and the validity of Finnish registers as a data source for the purposes of performance assessment of hip fracture treatment is confirmed. Solutions to several pragmatic problems related to the development of a register-based hip fracture incidence surveillance system are proposed. The monitoring of effectiveness of treatment is shown to be possible in terms of care episodes. Finally, an example on the justification of a more detailed performance indicator to be used in the profiling of providers is given. In conclusion, it is possible to produce useful and valid information on health system performance by using Finnish register-based data. However, that seems to be far more complicated than is typically assumed. The perspectives given in this study introduce a necessary basis for further work and help in the routine implementation of a hip fracture monitoring system in Finland.

Moralpanik eller förnuftslogik - i Jokela-fallets diskursiva efterdyningar

I denna pro gradu avhandling undersöker jag Jokela-fallets diskursiva efterdyningar utgående från ett moralpanikperspektiv. Syftet är att se huruvida reaktionerna på och förklaringarna till skolmassakern i Jokela kan anses präglas av moralpanik, samt vilka andra förklaringsmodeller som präglade den omfattande Jokela-debatten. Avhandling grundar sig på en kvalitativ diskursanalys av förklaringsmodellerna så som de presenterades i opinionstexter och insändare i Helsingin Sanomat hösten 2007. Jag analyserar hur den medierade Jokela-debatten utvecklades och formade perceptionerna om skolskjutningar, ungdomar och det finländska samhällstillståndet i stort. Jokela-fallet väckte starka reaktioner och rädsla. Man försökte förstå och förklara orsakerna till skottdramat. Flera olika förklaringsmodeller presenterades i medierna; en oro över ungdomens mentala hälsa och mobbning, webbens och populärkulturens farliga inflytande, det hårdnade samhällsklimatet och en försvagad välfärd, också den bristfälliga vapenlagstiftningen kritiserades. Den gemensamma nämnaren var att Jokela-fallet uppfattades som en indikator på hela samhällets tillstånd där en gemensam värdegrund och moral håller på att erodera. Mitt teoretiska perspektiv grundar sig främst på moralpanikteorier av Stanley Cohen och Chas Critcher som jag kopplar ihop med Ulrich Becks teori om risksamhället och Emile Durkheims anomiteori. Det här speglar jag mot bland annat Hille Koskelas forskning om rädslans kultur och trygghetssamhället, samt jämför med amerikansk forskning om skolskjutningar. Jokela-debatten formades främst av två dominerande diskurser: a) en rationaliseringsdiskurs som kännetecknas av att man försöker förklara Jokela-fallet genom förnuftsmässiga och logiska resonemang genom att peka på olika samhällsaspekter, b) en risk- och kontrolldiskurs som kännetecknas av moralpaniktendenser främst i form av oro över ungdomar, internet och försvagade samhällsnormer, samt krav på ökad social kontroll och reglering för att säkra trygghet och ordning i samhället. Jokela-fallet var inte ett klassiskt moralpanikfall, men fyllde många av kriterierna för moralpanik. Jokela-debatten uttryckte en rädslans kultur som genomsyrar dagens risksamhälle och som legitimerar ökad riskhantering och social kontroll, som försvar mot de hot och problem som samhället kollektivt upplever. Det ställdes krav på mera social kontroll och reglering på grund av upplevda hot mot samhällets normer och en försvagad moral, vilket är ett uttryck för moralpanik. Jokela-fallets diskursiva efterdyningar visar att tryggheten har blivit ett moraliskt imperativ. Trygghet har blivit något vi förutsätts eftersträva och som vi är färdiga att betala ett allt högre pris för, både mätt i pengar och i frihet.

Proofs, Paradoxes, and Probabilities : The Logical Turn of Philosophy in Finland

This monograph describes the emergence of independent research on logic in Finland. The emphasis is placed on three well-known students of Eino Kaila: Georg Henrik von Wright (1916-2003), Erik Stenius (1911-1990), and Oiva Ketonen (1913-2000), and their research between the early 1930s and the early 1950s. The early academic work of these scholars laid the foundations for today's strong tradition in logic in Finland and also became internationally recognized. However, due attention has not been given to these works later, nor have they been comprehensively presented together. Each chapter of the book focuses on the life and work of one of Kaila's aforementioned students, with a fourth chapter discussing works on logic by authors who would later become known within other disciplines. Through an extensive use of correspondence and other archived material, some insight has been gained into the persons behind the academic personae. Unique and unpublished biographical material has been available for this task. The chapter on Oiva Ketonen focuses primarily on his work on what is today known as proof theory, especially on his proof theoretical system with invertible rules that permits a terminating root-first proof search. The independency of the parallel postulate is proved as an example of the strength of root-first proof search. Ketonen was to our knowledge Gerhard Gentzen's (the 'father' of proof theory) only student. Correspondence and a hitherto unavailable autobiographic manuscript, in addition to an unpublished article on the relationship between logic and epistemology, is presented. The chapter on Erik Stenius discusses his work on paradoxes and set theory, more specifically on how a rigid theory of definitions is employed to avoid these paradoxes. A presentation by Paul Bernays on Stenius' attempt at a proof of the consistency of arithmetic is reconstructed based on Bernays' lecture notes. Stenius correspondence with Paul Bernays, Evert Beth, and Georg Kreisel is discussed. The chapter on Georg Henrik von Wright presents his early work on probability and epistemology, along with his later work on modal logic that made him internationally famous. Correspondence from various archives (especially with Kaila and Charlie Dunbar Broad) further discusses his academic achievements and his experiences during the challenging circumstances of the 1940s.

Beslutsstödsmodell vid anskaffning av IT-stöd inom FMV

Dagens ökade krav på effektivisering och kostnadsmedvetenhet skapar behov av att enklare och mer affärsmässigt kunna anskaffa IT-stöd. Fler och fler företag på marknaden erbjuder sina kunder att köpa IT-stöd paketerat som tjänster levererade via Internet. FMV:s inriktning och strategi är att i allt större utsträckning köpa IT-stöd som tjänster då målet är att minska IT-kostnaderna. Problemet inom FMV är att arbetssättet och styrmodellerna inte anpassats till anskaffning av tjänster vilket resulterar i svårigheter att styra och följa upp avtal samt problem att dimensionera och planera IT-projekten. Arbetet inleddes med en förstudie för att kartlägga hur IT-enheten arbetar. För att tydliggöra problembilden och identifiera förändringsbehoven genomfördes en förändringsanalys som beskriver dagens svårigheter kopplat till visioner och mål. Utifrån framkomna mål och de visioner som legat till grund för inriktningarna för att minska IT-kostnaderna gjordes en analys av förändringsbehoven. Analysen påvisade att den inledande planeringen av IT-projekt är nyckeln för ett lyckat införande. För att åstadkomma en bra grund för projekten i planeringsfasen har en beslutsstödsmodell tagits fram. Modellen är baserad på faktorer som identifierats som kritiska i valet av anskaffningsstrategi och som i stor grad styr om ett IT-stöd kan anskaffas som tjänst. Kopplat till modellen finns påståenden kring anskaffning av tjänst och anskaffning i egen regi. Syftet är att skapa ett gemensamt resonemang så att projektledarna i olika IT-projekt utgår ifrån samma frågeställningar i planeringsprocessen. Som sista steg i planeringen skall en omvärldsanalys genomföras för att säkerställa att IT-stödet finns att tillgå som tjänst.

Lärares syn på elevers grupparbete som en del i skolutveckling

Syftet med detta examensarbete är att belysa på vilket eller vilka sätt lärare i gymnasieskolan förknippar elevers grupparbete med skolutveckling. Vilka pedagogiska tankar ligger bakom lärares användande av grupparbete som arbetsmetod, hur ser de på att träna elever i grupparbete och hur ser de på förhållandet mellan grupparbete och skolutveckling? Undersökningen är av kvalitativ karaktär där metoden för insamling av data består av enskilda intervjuer med sju gymnasielärare som arbetar på både yrkesinriktade och studieförberedande program. Resultatet visar att lärarna som arbetar på rent yrkesinriktade program framförallt ser elevers grupparbete som en förberedelse för deras framtida yrkesliv, medan lärare på studieförberedande program tenderar att tala mer om vilken nytta grupparbete har för eleverna i skolsituationen. Vid en analys av hur lärarna ser på att träna elever i grupparbete ser man att vissa av lärarna är mer konkreta i sitt resonemang kring om och hur de arbetar med att träna eleverna i grupparbete, medan vissa är mer abstrakta i sitt resonemang. Resultatet visar slutligen att lärarna har relativt olika syn på vad skolutveckling är samt att det är inte någon självklarhet att de direkt kopplar ihop elevers grupparbete med skolutveckling.

Problemlösning i matematiken : Vad har 21 lärare för syn på problemlösning inom matematiken?

Syftet med studien var att undersöka hur ett antal grundskolelärare beskriver sin egen undervisning i matematik och hur de arbetar med problemlösning i matematik. Forskningsfrågan som jag formulerade för att nå mitt syfte var: Vad har lärarna för erfarenheter och inställning till matematik och vilket tillvägagångssätt använder de för att nå eleverna med problemlösning? För att få svar på min forskningsfråga valde jag en hermeneutisk metod då jag arbetade med enkäter och intervjuer. Datainsamlingsmetoden var dels 21 enkätsvar och dels 5 intervjuer med verksamma matematiklärare. I studien skildras hur mina informanter beskriver sin undervisning i matematik och hur de arbetar med problemlösning. Läromedlet styr ofta undervisningen men alla arbetar bredvid läromedlet på olika sätt, bland annat genom problemlösning. Kommunikation mellan lärare och elever samt mellan elever och elever är något som genomsyrar hela denna studie. Ett resultat av studien är att elever via matematiska problem lär sig för livet. I vardagen löser både elever och vuxna människor vardagliga problem och matematiska problem ger eleven metoder för att finna lösning på ett problem även om det inte har med matematik att göra. Många av informanterna hänvisade också till läroplanen och kursplanen där det faktiskt står att elever skall lösa problem för att fungera som individer i det samhälle vi lever i. Mina informanters syn på problemlösning stämmer väl överens med vad som står i gällande styrdokument. Enligt informanterna är det är väldigt flexibelt hur man kan undervisa i problemlösning även om tillvägagångssätten ofta liknar varandra. Allt från att arbeta enskilt till klassvis förekom och infallsvinklarna för att finna problemlösning var många. Läromedel, internetsidor och arbetsmaterial från många olika håll användes för att arbeta med problemlösning.