Index theory for basic Dirac operators on Riemannian foliations

In this paper we prove a formula for the analytic index of a basic Dirac-type operator on a Riemannian foliation, solving a problem that has been open for many years. We also consider more general indices given by twisting the basic Dirac operator by a representation of the orthogonal group. The formula is a sum of integrals over blowups of the strata of the foliation and also involves eta invariants of associated elliptic operators. As a special case, a Gauss-Bonnet formula for the basic Euler characteristic is obtained using two independent proofs.

Computing hypergraph width measures exactly

Hypergraph width measures are a class of hypergraph invariants important in studying the complexity of constraint satisfaction problems (CSPs). We present a general exact exponential algorithm for a large variety of these measures. A connection between these and tree decompositions is established. This enables us to almost seamlessly adapt the combinatorial and algorithmic results known for tree decompositions of graphs to the case of hypergraphs and obtain fast exact algorithms. As a consequence, we provide algorithms which, given a hypergraph H on n vertices and m hyperedges, compute the generalized hypertree-width of H in time O*(2n) and compute the fractional hypertree-width of H in time O(1.734601n.m).1

Desenvolupament de codis numèrics per a la resolució de fluxos turbulents en ordinadors paral·lels emprant discretitzacions tipus symmetry-preserving

Projecte de recerca elaborat a partir d’una estada a la University of Groningen, Holanda, entre 2007 i 2009. La simulació directa de la turbulència (DNS) és una eina clau dins de la mecànica de fluids computacional. Per una banda permet conèixer millor la física de la turbulència i per l'altra els resultats obtinguts són claus per el desenvolupament dels models de turbulència. No obstant, el DNS no és una tècnica vàlida per a la gran majoria d'aplicacions industrials degut al elevats costos computacionals. Per tant, és necessari cert grau de modelització de la turbulència. En aquest context, s'han introduïts importants millores basades en la modelització del terme convectiu (no lineal) emprant symmetry-preserving regularizations. En tracta de modificar adequadament el terme convectiu a fi de reduir la producció d'escales més i més petites (vortex-stretching) tot mantenint tots els invariants de les equacions originals. Fins ara, aquest models s'han emprat amb èxit per nombres de Rayleigh (Ra) relativament elevats. En aquest punt, disposar de resultats DNS per a configuracions més complexes i nombres de Ra més elevats és clau. En aquest contexte, s'han dut a terme simulacions DNS en el supercomputador MareNostrum d'una Differentially Heated Cavity amb Ra=1e11 i Pr=0.71 durant el primer any dels dos que consta el projecte. A més a més, s'ha adaptat el codi a fi de poder simular el fluxe al voltant d'un cub sobre una pared amb Re=10000. Aquestes simulacions DNS són les més grans fetes fins ara per aquestes configuracions i la seva correcta modelització és un gran repte degut la complexitat dels fluxes. Aquestes noves simulacions DNS estan aportant nous coneixements a la física de la turbulència i aportant resultats indispensables per al progrés de les modelitzacións tipus symmetry-preserving regularization.

Impact of normalization on miRNA microarray expression profiling.

Profiling miRNA levels in cells with miRNA microarrays is becoming a widely used technique. Although normalization methods for mRNA gene expression arrays are well established, miRNA array normalization has so far not been investigated in detail. In this study we investigate the impact of normalization on data generated with the Agilent miRNA array platform. We have developed a method to select nonchanging miRNAs (invariants) and use them to compute linear regression normalization coefficients or variance stabilizing normalization (VSN) parameters. We compared the invariants normalization to normalization by scaling, quantile, and VSN with default parameters as well as to no normalization using samples with strong differential expression of miRNAs (heart-brain comparison) and samples where only a few miRNAs are affected (by p53 overexpression in squamous carcinoma cells versus control). All normalization methods performed better than no normalization. Normalization procedures based on the set of invariants and quantile were the most robust over all experimental conditions tested. Our method of invariant selection and normalization is not limited to Agilent miRNA arrays and can be applied to other data sets including those from one color miRNA microarray platforms, focused gene expression arrays, and gene expression analysis using quantitative PCR.

Refacció d'Ontologies : creació d'un plugin per a Protégé

El projecte centra els seus esforços en la darrera activitat: el refactoring d'ontologies. En concret, les expressades en OWL, el llenguatge per a ontologies pensat pel W3C. El resultat final del projecte ha estat la implementació en Java d'un plugin per a Protégé que permet l'execució d'operacions de refactoring sobre ontologies OWL. Part principal del plugin és un framework que ofereix el marc d'execució per a les operacions implementades i permet incorporar noves operacions sense haver-lo de modificar.

DIGITAL LIBRARIES IN THE DEVELOPING COUNTRIES

Digital libraries (DL) are seen as a hope to developing countries in their struggle for accessing bibliographic resources, especially in a context where the traditional distribution mechanisms failed tragically. Several difficulties are however faced by these countries to build and use digital libraries, due mainly to its high development costs and to the poor existing ICT resources in these countries. This paper discusses the importance of digital libraries for developing countries and introduces the main challenges they face in building and using such libraries. The current alternatives and major initiatives for making digital information accessible to developing countries are also addressed.

DIGITAL LIBRARY FOR DIGITAL DIVIDE AND ENVIRONMENT OF SCARCE ACCESS TO PRINTED MATERIALS: THE CASE OF UNIVERSITY JEAN PIAGET OF CAPE VERDE

With the failure of the traditional mechanisms of distributing bibliographic materials into developing countries, digital libraries show up as a strong alternative in accomplishing such job, despite the challenges of the digital divide. This paper discusses the challenges of building a digital library (DL) in a developing country. The case of Cape Verde as a digital divide country is analyzed, in terms of current digital library usage and its potentiality for fighting the difficulties in accessing bibliographic resources in the country. The paper also introduces an undergoing project of building a digital library at the University Jean Piaget of Cape Verde.

Natural classification of knots

The principal objective of the knot theory is to provide a simple way of classifying and ordering all the knot types. Here, we propose a natural classification of knots based on their intrinsic position in the knot space that is defined by the set of knots to which a given knot can be converted by individual intersegmental passages. In addition, we characterize various knots using a set of simple quantum numbers that can be determined upon inspection of minimal crossing diagram of a knot. These numbers include: crossing number; average three-dimensional writhe; number of topological domains; and the average relaxation value

High-pressure ultrasonic study of vibrational anharmonicity in bcc Cu-Al-Be alloys

To quantify the vibrational anharmonicity of the long-wavelength acoustic modes of bcc Cu74.1Al23.1Be2.8 near its martensitic transition temperature Ms (261 K), the hydrostatic pressure derivatives (¿CIJ/¿P)P=0 of the elastic stiffness moduli have been measured. The Grüneisen parameters at 268 K (just above Ms), especially of longitudinal modes, which become smaller than those of the shear modes, are quite different from those at 295 K: the anharmonicity changes markedly in the vicinity of the transition. Similar trends are noted for Cu66.5Al12.7Zn20.8. Experimental data near Ms are used to estimate cubic invariants in the strain order parameters in a Landau formalism.

Issue of time in generally covariant theories and the Komar-Bergmann approach to observables in general relativity

Diffeomorphism-induced symmetry transformations and time evolution are distinct operations in generally covariant theories formulated in phase space. Time is not frozen. Diffeomorphism invariants are consequently not necessarily constants of the motion. Time-dependent invariants arise through the choice of an intrinsic time, or equivalently through the imposition of time-dependent gauge fixation conditions. One example of such a time-dependent gauge fixing is the Komar-Bergmann use of Weyl curvature scalars in general relativity. An analogous gauge fixing is also imposed for the relativistic free particle and the resulting complete set time-dependent invariants for this exactly solvable model are displayed. In contrast with the free particle case, we show that gauge invariants that are simultaneously constants of motion cannot exist in general relativity. They vary with intrinsic time.

Generalized adiabatic invariance

In this paper we find the quantities that are adiabatic invariants of any desired order for a general slowly time-dependent Hamiltonian. In a preceding paper, we chose a quantity that was initially an adiabatic invariant to first order, and sought the conditions to be imposed upon the Hamiltonian so that the quantum mechanical adiabatic theorem would be valid to mth order. [We found that this occurs when the first (m - 1) time derivatives of the Hamiltonian at the initial and final time instants are equal to zero.] Here we look for a quantity that is an adiabatic invariant to mth order for any Hamiltonian that changes slowly in time, and that does not fulfill any special condition (its first time derivatives are not zero initially and finally).

Nullification of small knots

in the paper we consider the nullification number of small knots with at most 9 crossings. We establish two inequalities (Corollary 2.1) relating the nullification number to other knot invariants and properties of the knot diagram. We show that these inequalities allow us to settle the nullification number for all of the 84 prime knots with at most 9 crossings.

An assurance-based model to holistically assess the information security posture

EXECUTIVE SUMMARY : Evaluating Information Security Posture within an organization is becoming a very complex task. Currently, the evaluation and assessment of Information Security are commonly performed using frameworks, methodologies and standards which often consider the various aspects of security independently. Unfortunately this is ineffective because it does not take into consideration the necessity of having a global and systemic multidimensional approach to Information Security evaluation. At the same time the overall security level is globally considered to be only as strong as its weakest link. This thesis proposes a model aiming to holistically assess all dimensions of security in order to minimize the likelihood that a given threat will exploit the weakest link. A formalized structure taking into account all security elements is presented; this is based on a methodological evaluation framework in which Information Security is evaluated from a global perspective. This dissertation is divided into three parts. Part One: Information Security Evaluation issues consists of four chapters. Chapter 1 is an introduction to the purpose of this research purpose and the Model that will be proposed. In this chapter we raise some questions with respect to "traditional evaluation methods" as well as identifying the principal elements to be addressed in this direction. Then we introduce the baseline attributes of our model and set out the expected result of evaluations according to our model. Chapter 2 is focused on the definition of Information Security to be used as a reference point for our evaluation model. The inherent concepts of the contents of a holistic and baseline Information Security Program are defined. Based on this, the most common roots-of-trust in Information Security are identified. Chapter 3 focuses on an analysis of the difference and the relationship between the concepts of Information Risk and Security Management. Comparing these two concepts allows us to identify the most relevant elements to be included within our evaluation model, while clearing situating these two notions within a defined framework is of the utmost importance for the results that will be obtained from the evaluation process. Chapter 4 sets out our evaluation model and the way it addresses issues relating to the evaluation of Information Security. Within this Chapter the underlying concepts of assurance and trust are discussed. Based on these two concepts, the structure of the model is developed in order to provide an assurance related platform as well as three evaluation attributes: "assurance structure", "quality issues", and "requirements achievement". Issues relating to each of these evaluation attributes are analysed with reference to sources such as methodologies, standards and published research papers. Then the operation of the model is discussed. Assurance levels, quality levels and maturity levels are defined in order to perform the evaluation according to the model. Part Two: Implementation of the Information Security Assurance Assessment Model (ISAAM) according to the Information Security Domains consists of four chapters. This is the section where our evaluation model is put into a welldefined context with respect to the four pre-defined Information Security dimensions: the Organizational dimension, Functional dimension, Human dimension, and Legal dimension. Each Information Security dimension is discussed in a separate chapter. For each dimension, the following two-phase evaluation path is followed. The first phase concerns the identification of the elements which will constitute the basis of the evaluation: ? Identification of the key elements within the dimension; ? Identification of the Focus Areas for each dimension, consisting of the security issues identified for each dimension; ? Identification of the Specific Factors for each dimension, consisting of the security measures or control addressing the security issues identified for each dimension. The second phase concerns the evaluation of each Information Security dimension by: ? The implementation of the evaluation model, based on the elements identified for each dimension within the first phase, by identifying the security tasks, processes, procedures, and actions that should have been performed by the organization to reach the desired level of protection; ? The maturity model for each dimension as a basis for reliance on security. For each dimension we propose a generic maturity model that could be used by every organization in order to define its own security requirements. Part three of this dissertation contains the Final Remarks, Supporting Resources and Annexes. With reference to the objectives of our thesis, the Final Remarks briefly analyse whether these objectives were achieved and suggest directions for future related research. Supporting resources comprise the bibliographic resources that were used to elaborate and justify our approach. Annexes include all the relevant topics identified within the literature to illustrate certain aspects of our approach. Our Information Security evaluation model is based on and integrates different Information Security best practices, standards, methodologies and research expertise which can be combined in order to define an reliable categorization of Information Security. After the definition of terms and requirements, an evaluation process should be performed in order to obtain evidence that the Information Security within the organization in question is adequately managed. We have specifically integrated into our model the most useful elements of these sources of information in order to provide a generic model able to be implemented in all kinds of organizations. The value added by our evaluation model is that it is easy to implement and operate and answers concrete needs in terms of reliance upon an efficient and dynamic evaluation tool through a coherent evaluation system. On that basis, our model could be implemented internally within organizations, allowing them to govern better their Information Security. RÉSUMÉ : Contexte général de la thèse L'évaluation de la sécurité en général, et plus particulièrement, celle de la sécurité de l'information, est devenue pour les organisations non seulement une mission cruciale à réaliser, mais aussi de plus en plus complexe. A l'heure actuelle, cette évaluation se base principalement sur des méthodologies, des bonnes pratiques, des normes ou des standards qui appréhendent séparément les différents aspects qui composent la sécurité de l'information. Nous pensons que cette manière d'évaluer la sécurité est inefficiente, car elle ne tient pas compte de l'interaction des différentes dimensions et composantes de la sécurité entre elles, bien qu'il soit admis depuis longtemps que le niveau de sécurité globale d'une organisation est toujours celui du maillon le plus faible de la chaîne sécuritaire. Nous avons identifié le besoin d'une approche globale, intégrée, systémique et multidimensionnelle de l'évaluation de la sécurité de l'information. En effet, et c'est le point de départ de notre thèse, nous démontrons que seule une prise en compte globale de la sécurité permettra de répondre aux exigences de sécurité optimale ainsi qu'aux besoins de protection spécifiques d'une organisation. Ainsi, notre thèse propose un nouveau paradigme d'évaluation de la sécurité afin de satisfaire aux besoins d'efficacité et d'efficience d'une organisation donnée. Nous proposons alors un modèle qui vise à évaluer d'une manière holistique toutes les dimensions de la sécurité, afin de minimiser la probabilité qu'une menace potentielle puisse exploiter des vulnérabilités et engendrer des dommages directs ou indirects. Ce modèle se base sur une structure formalisée qui prend en compte tous les éléments d'un système ou programme de sécurité. Ainsi, nous proposons un cadre méthodologique d'évaluation qui considère la sécurité de l'information à partir d'une perspective globale. Structure de la thèse et thèmes abordés Notre document est structuré en trois parties. La première intitulée : « La problématique de l'évaluation de la sécurité de l'information » est composée de quatre chapitres. Le chapitre 1 introduit l'objet de la recherche ainsi que les concepts de base du modèle d'évaluation proposé. La maniéré traditionnelle de l'évaluation de la sécurité fait l'objet d'une analyse critique pour identifier les éléments principaux et invariants à prendre en compte dans notre approche holistique. Les éléments de base de notre modèle d'évaluation ainsi que son fonctionnement attendu sont ensuite présentés pour pouvoir tracer les résultats attendus de ce modèle. Le chapitre 2 se focalise sur la définition de la notion de Sécurité de l'Information. Il ne s'agit pas d'une redéfinition de la notion de la sécurité, mais d'une mise en perspectives des dimensions, critères, indicateurs à utiliser comme base de référence, afin de déterminer l'objet de l'évaluation qui sera utilisé tout au long de notre travail. Les concepts inhérents de ce qui constitue le caractère holistique de la sécurité ainsi que les éléments constitutifs d'un niveau de référence de sécurité sont définis en conséquence. Ceci permet d'identifier ceux que nous avons dénommés « les racines de confiance ». Le chapitre 3 présente et analyse la différence et les relations qui existent entre les processus de la Gestion des Risques et de la Gestion de la Sécurité, afin d'identifier les éléments constitutifs du cadre de protection à inclure dans notre modèle d'évaluation. Le chapitre 4 est consacré à la présentation de notre modèle d'évaluation Information Security Assurance Assessment Model (ISAAM) et la manière dont il répond aux exigences de l'évaluation telle que nous les avons préalablement présentées. Dans ce chapitre les concepts sous-jacents relatifs aux notions d'assurance et de confiance sont analysés. En se basant sur ces deux concepts, la structure du modèle d'évaluation est développée pour obtenir une plateforme qui offre un certain niveau de garantie en s'appuyant sur trois attributs d'évaluation, à savoir : « la structure de confiance », « la qualité du processus », et « la réalisation des exigences et des objectifs ». Les problématiques liées à chacun de ces attributs d'évaluation sont analysées en se basant sur l'état de l'art de la recherche et de la littérature, sur les différentes méthodes existantes ainsi que sur les normes et les standards les plus courants dans le domaine de la sécurité. Sur cette base, trois différents niveaux d'évaluation sont construits, à savoir : le niveau d'assurance, le niveau de qualité et le niveau de maturité qui constituent la base de l'évaluation de l'état global de la sécurité d'une organisation. La deuxième partie: « L'application du Modèle d'évaluation de l'assurance de la sécurité de l'information par domaine de sécurité » est elle aussi composée de quatre chapitres. Le modèle d'évaluation déjà construit et analysé est, dans cette partie, mis dans un contexte spécifique selon les quatre dimensions prédéfinies de sécurité qui sont: la dimension Organisationnelle, la dimension Fonctionnelle, la dimension Humaine, et la dimension Légale. Chacune de ces dimensions et son évaluation spécifique fait l'objet d'un chapitre distinct. Pour chacune des dimensions, une évaluation en deux phases est construite comme suit. La première phase concerne l'identification des éléments qui constituent la base de l'évaluation: ? Identification des éléments clés de l'évaluation ; ? Identification des « Focus Area » pour chaque dimension qui représentent les problématiques se trouvant dans la dimension ; ? Identification des « Specific Factors » pour chaque Focus Area qui représentent les mesures de sécurité et de contrôle qui contribuent à résoudre ou à diminuer les impacts des risques. La deuxième phase concerne l'évaluation de chaque dimension précédemment présentées. Elle est constituée d'une part, de l'implémentation du modèle général d'évaluation à la dimension concernée en : ? Se basant sur les éléments spécifiés lors de la première phase ; ? Identifiant les taches sécuritaires spécifiques, les processus, les procédures qui auraient dû être effectués pour atteindre le niveau de protection souhaité. D'autre part, l'évaluation de chaque dimension est complétée par la proposition d'un modèle de maturité spécifique à chaque dimension, qui est à considérer comme une base de référence pour le niveau global de sécurité. Pour chaque dimension nous proposons un modèle de maturité générique qui peut être utilisé par chaque organisation, afin de spécifier ses propres exigences en matière de sécurité. Cela constitue une innovation dans le domaine de l'évaluation, que nous justifions pour chaque dimension et dont nous mettons systématiquement en avant la plus value apportée. La troisième partie de notre document est relative à la validation globale de notre proposition et contient en guise de conclusion, une mise en perspective critique de notre travail et des remarques finales. Cette dernière partie est complétée par une bibliographie et des annexes. Notre modèle d'évaluation de la sécurité intègre et se base sur de nombreuses sources d'expertise, telles que les bonnes pratiques, les normes, les standards, les méthodes et l'expertise de la recherche scientifique du domaine. Notre proposition constructive répond à un véritable problème non encore résolu, auquel doivent faire face toutes les organisations, indépendamment de la taille et du profil. Cela permettrait à ces dernières de spécifier leurs exigences particulières en matière du niveau de sécurité à satisfaire, d'instancier un processus d'évaluation spécifique à leurs besoins afin qu'elles puissent s'assurer que leur sécurité de l'information soit gérée d'une manière appropriée, offrant ainsi un certain niveau de confiance dans le degré de protection fourni. Nous avons intégré dans notre modèle le meilleur du savoir faire, de l'expérience et de l'expertise disponible actuellement au niveau international, dans le but de fournir un modèle d'évaluation simple, générique et applicable à un grand nombre d'organisations publiques ou privées. La valeur ajoutée de notre modèle d'évaluation réside précisément dans le fait qu'il est suffisamment générique et facile à implémenter tout en apportant des réponses sur les besoins concrets des organisations. Ainsi notre proposition constitue un outil d'évaluation fiable, efficient et dynamique découlant d'une approche d'évaluation cohérente. De ce fait, notre système d'évaluation peut être implémenté à l'interne par l'entreprise elle-même, sans recourir à des ressources supplémentaires et lui donne également ainsi la possibilité de mieux gouverner sa sécurité de l'information.

Integral cohomology of finite postnikov towers

Depuis le séminaire H. Cartan de 1954-55, il est bien connu que l'on peut trouver des éléments de torsion arbitrairement grande dans l'homologie entière des espaces d'Eilenberg-MacLane K(G,n) où G est un groupe abélien non trivial et n>1. L'objectif majeur de ce travail est d'étendre ce résultat à des H-espaces possédant plus d'un groupe d'homotopie non trivial. Dans le but de contrôler précisément le résultat de H. Cartan, on commence par étudier la dualité entre l'homologie et la cohomologie des espaces d'Eilenberg-MacLane 2-locaux de type fini. On parvient ainsi à raffiner quelques résultats qui découlent des calculs de H. Cartan. Le résultat principal de ce travail peut être formulé comme suit. Soit X un H-espace ne possédant que deux groupes d'homotopie non triviaux, tous deux finis et de 2-torsion. Alors X n'admet pas d'exposant pour son groupe gradué d'homologie entière réduite. On construit une large classe d'espaces pour laquelle ce résultat n'est qu'une conséquence d'une caractéristique topologique, à savoir l'existence d'un rétract faible X K(G,n) pour un certain groupe abélien G et n>1. On généralise également notre résultat principal à des espaces plus compliqués en utilisant la suite spectrale d'Eilenberg-Moore ainsi que des méthodes analytiques faisant apparaître les nombres de Betti et leur comportement asymptotique. Finalement, on conjecture que les espaces qui ne possédent qu'un nombre fini de groupes d'homotopie non triviaux n'admettent pas d'exposant homologique. Ce travail contient par ailleurs la présentation de la « machine d'Eilenberg-MacLane », un programme C++ conçu pour calculer explicitement les groupes d'homologie entière des espaces d'Eilenberg-MacLane. <br/><br/>By the work of H. Cartan, it is well known that one can find elements of arbitrarilly high torsion in the integral (co)homology groups of an Eilenberg-MacLane space K(G,n), where G is a non-trivial abelian group and n>1. The main goal of this work is to extend this result to H-spaces having more than one non-trivial homotopy groups. In order to have an accurate hold on H. Cartan's result, we start by studying the duality between homology and cohomology of 2-local Eilenberg-MacLane spaces of finite type. This leads us to some improvements of H. Cartan's methods in this particular case. Our main result can be stated as follows. Let X be an H-space with two non-vanishing finite 2-torsion homotopy groups. Then X does not admit any exponent for its reduced integral graded (co)homology group. We construct a wide class of examples for which this result is a simple consequence of a topological feature, namely the existence of a weak retract X K(G,n) for some abelian group G and n>1. We also generalize our main result to more complicated stable two stage Postnikov systems, using the Eilenberg-Moore spectral sequence and analytic methods involving Betti numbers and their asymptotic behaviour. Finally, we investigate some guesses on the non-existence of homology exponents for finite Postnikov towers. We conjecture that Postnikov pieces do not admit any (co)homology exponent. This work also includes the presentation of the "Eilenberg-MacLane machine", a C++ program designed to compute explicitely all integral homology groups of Eilenberg-MacLane spaces. <br/><br/>Il est toujours difficile pour un mathématicien de parler de son travail. La difficulté réside dans le fait que les objets qu'il étudie sont abstraits. On rencontre assez rarement un espace vectoriel, une catégorie abélienne ou une transformée de Laplace au coin de la rue ! Cependant, même si les objets mathématiques sont difficiles à cerner pour un non-mathématicien, les méthodes pour les étudier sont essentiellement les mêmes que celles utilisées dans les autres disciplines scientifiques. On décortique les objets complexes en composantes plus simples à étudier. On dresse la liste des propriétés des objets mathématiques, puis on les classe en formant des familles d'objets partageant un caractère commun. On cherche des façons différentes, mais équivalentes, de formuler un problème. Etc. Mon travail concerne le domaine mathématique de la topologie algébrique. Le but ultime de cette discipline est de parvenir à classifier tous les espaces topologiques en faisant usage de l'algèbre. Cette activité est comparable à celle d'un ornithologue (topologue) qui étudierait les oiseaux (les espaces topologiques) par exemple à l'aide de jumelles (l'algèbre). S'il voit un oiseau de petite taille, arboricole, chanteur et bâtisseur de nids, pourvu de pattes à quatre doigts, dont trois en avant et un, muni d'une forte griffe, en arrière, alors il en déduira à coup sûr que c'est un passereau. Il lui restera encore à déterminer si c'est un moineau, un merle ou un rossignol. Considérons ci-dessous quelques exemples d'espaces topologiques: a) un cube creux, b) une sphère et c) un tore creux (c.-à-d. une chambre à air). a) b) c) Si toute personne normalement constituée perçoit ici trois figures différentes, le topologue, lui, n'en voit que deux ! De son point de vue, le cube et la sphère ne sont pas différents puisque ils sont homéomorphes: on peut transformer l'un en l'autre de façon continue (il suffirait de souffler dans le cube pour obtenir la sphère). Par contre, la sphère et le tore ne sont pas homéomorphes: triturez la sphère de toutes les façons (sans la déchirer), jamais vous n'obtiendrez le tore. Il existe un infinité d'espaces topologiques et, contrairement à ce que l'on serait naïvement tenté de croire, déterminer si deux d'entre eux sont homéomorphes est très difficile en général. Pour essayer de résoudre ce problème, les topologues ont eu l'idée de faire intervenir l'algèbre dans leurs raisonnements. Ce fut la naissance de la théorie de l'homotopie. Il s'agit, suivant une recette bien particulière, d'associer à tout espace topologique une infinité de ce que les algébristes appellent des groupes. Les groupes ainsi obtenus sont appelés groupes d'homotopie de l'espace topologique. Les mathématiciens ont commencé par montrer que deux espaces topologiques qui sont homéomorphes (par exemple le cube et la sphère) ont les même groupes d'homotopie. On parle alors d'invariants (les groupes d'homotopie sont bien invariants relativement à des espaces topologiques qui sont homéomorphes). Par conséquent, deux espaces topologiques qui n'ont pas les mêmes groupes d'homotopie ne peuvent en aucun cas être homéomorphes. C'est là un excellent moyen de classer les espaces topologiques (pensez à l'ornithologue qui observe les pattes des oiseaux pour déterminer s'il a affaire à un passereau ou non). Mon travail porte sur les espaces topologiques qui n'ont qu'un nombre fini de groupes d'homotopie non nuls. De tels espaces sont appelés des tours de Postnikov finies. On y étudie leurs groupes de cohomologie entière, une autre famille d'invariants, à l'instar des groupes d'homotopie. On mesure d'une certaine manière la taille d'un groupe de cohomologie à l'aide de la notion d'exposant; ainsi, un groupe de cohomologie possédant un exposant est relativement petit. L'un des résultats principaux de ce travail porte sur une étude de la taille des groupes de cohomologie des tours de Postnikov finies. Il s'agit du théorème suivant: un H-espace topologique 1-connexe 2-local et de type fini qui ne possède qu'un ou deux groupes d'homotopie non nuls n'a pas d'exposant pour son groupe gradué de cohomologie entière réduite. S'il fallait interpréter qualitativement ce résultat, on pourrait dire que plus un espace est petit du point de vue de la cohomologie (c.-à-d. s'il possède un exposant cohomologique), plus il est intéressant du point de vue de l'homotopie (c.-à-d. il aura plus de deux groupes d'homotopie non nuls). Il ressort de mon travail que de tels espaces sont très intéressants dans le sens où ils peuvent avoir une infinité de groupes d'homotopie non nuls. Jean-Pierre Serre, médaillé Fields en 1954, a montré que toutes les sphères de dimension >1 ont une infinité de groupes d'homotopie non nuls. Des espaces avec un exposant cohomologique aux sphères, il n'y a qu'un pas à franchir...