Matemática no quotidiano : do cartão VISA ao Número de Identificação Bancária

(...) Existem diferentes tipos de sistemas de identificação com check digit. A escolha do algoritmo a implementar deve satisfazer dois princípios: por um lado, é importante escolher um sistema eficaz que detete o maior número possível de erros; por outro lado, a sua utilização no terreno deve ser de alguma forma acessível, particularmente para quem tem de lidar diariamente com os números produzidos por esse algoritmo. Hoje em dia a utilização de meios eletrónicos revela-se muito eficaz, quer para gerar o algarismo de controlo de novos números, como para validar números que já se encontrem em circulação. Mesmo assim, há uma série de requisitos importantes a ter em conta quando se pretende implementar um novo sistema de identificação. Desde logo, a escolha do alfabeto, ou seja, dos símbolos a utilizar. Normalmente, opta-se por recorrer apenas aos dez algarismos vulgarmente utilizados, do 0 ao 9. É o caso do exemplo que se segue. O método desenvolvido pela IBM, também conhecido por algoritmo de Luhn, aplica-se à generalidade dos cartões de crédito: VISA e VISA Electron (em que o primeiro algarismo da esquerda é um 4), MarterCard (5), American Express (3) e Discover (6), entre outros. Considere-se o número de um cartão VISA: 4188 3600 4538 6426. Como é habitual, o algarismo de controlo é o primeiro algarismo da direita, ou seja, o algarismo das unidades (6). Para verificar se este número é válido, procede-se da seguinte forma (...). Há um algoritmo mais eficaz, desenvolvido por Verhoeff em 1969, que utiliza os mesmos símbolos (os algarismos do 0 a 9). Este sistema deteta 100% dos erros singulares, 100% das transposições de algarismos adjacentes e algumas das transposições intercaladas. Paradoxalmente, é um método pouco utilizado, talvez por necessitar de uma maior bagagem matemática.(...) Na imagem, ilustra-se um exemplo de aplicação deste algoritmo para determinar o algarismo de controlo do número 201034571? (o ponto de interrogação representa o algarismo de controlo, por enquanto, desconhecido). (...) Se nos predispusermos a alargar o alfabeto de símbolos ou a considerar mais de um algarismo de controlo, podemos obter algoritmos ainda mais eficazes na deteção de erros. É o caso dos algoritmos estabelecidos pela norma ISO/IEC 7064. Por exemplo, o algoritmo MOD 11-2 é utilizado para identificar as receitas médicas em Portugal e utiliza um símbolo adicional (o X, que representa o número 10). Já o algoritmo MOD 97-10 requer a utilização de dois algarismos de controlo e é empregue na emissão do Número de Identificação Bancária (NIB). (...)

O algoritmo de Damm

(...) Recentemente, em 2004, H. Michael Damm provou na sua tese de doutoramento a existência de quase-grupos totalmente anti-simétricos para ordens diferentes de 2 e 6. A tabela da imagem define um quase-grupo totalmente anti-simétrico de ordem 10, adaptado de um exemplo apresentado por Damm na sua tese. Esta tabela é o que se designa por quadrado latino: em cada linha e em cada coluna, cada um dos símbolos utilizados devem figurar uma e uma só vez. Os quadrados latinos surgiram pelas mãos de um grande matemático, talvez o maior matemático de todos os tempos: Leonhard Euler (1707-1783). Este tipo de tabelas não é totalmente estranho ao leitor. Se olhar com atenção, encontrará apenas duas diferenças em relação aos tradicionais desafios de Sudoku: não existem as chamadas "regiões" e utiliza-se o 0, para além dos algarismos 1-9. A descoberta de Damm impulsionou o desenvolvimento de um novo algoritmo com o seu nome, que tem a vantagem de apenas utilizar os algarismos tradicionais, do 0 ao 9, e de detetar 100% dos erros singulares e 100% das transposições de algarismos adjacentes. Em relação ao algoritmo de Verhoeff, tem uma implementação mais simples e deteta 100% dos erros fonéticos (por exemplo, quando se escreve 15 em vez de 50, devido à pronúncia semelhante destes números em inglês: "fifteen" e "fifty"). Na imagem, ilustra-se um exemplo de aplicação deste algoritmo para determinar o algarismo de controlo do número 201436571? (o ponto de interrogação representa o algarismo de controlo, por enquanto, desconhecido). (...)

Organização do espaço da sala e aprendizagem da língua da Educação Pré-Escolar e no 1.º Ciclo do Ensino Básico

Mestrado (PES II) em Educação Pré-escolar e Ensino do 1.º Ciclo do Ensino Básico.

Padrão de ativação de músculos do core abdominal e tilt pélvico no teste de extensão da anca, em indivíduos com e sem dor lombo- pélvica

Introdução: Os padrões de movimento podem sofrer alterações por atraso no timing de ativação e/ou modificações na sequência de recrutamento muscular, predispondo o indivíduo a disfunções, nomeadamente a dor lombo-pélvica. Objetivo: Investigar o timing e o padrão de ativação de músculos do core abdominal, durante o movimento de extensão da anca, do membro dominante, em indivíduos com e sem dor lombo- pélvica crónica inespecífica. Pretende-se, também, pesquisar a existência do padrão de ativação considerado “normal“ e verificar a relação entre o padrão de ativação e o tilt pélvico, em ambos os indivíduos. Métodos: Estudo transversal, com 64 estudantes universitários, divididos em dois grupos: 31 sem e 33 com dor lombo-pélvica. Através de eletromiografia de superfície foi recolhida a atividade muscular dos Eretores da Espinha ipsilateral e contralateral, Glúteo Máximo e Bicípite Femoral ipsilaterais. Foi analisado o timing de ativação muscular e as respetivas ordens de ativação. Adicionalmente foi medido o tilt pélvico. Resultados: O grupo com dor lombo-pélvica apresentou um atraso significativo no timing de ativação dos músculos Glúteo Máximo ipsilateral (t=-3,171;p=0,002) e Bicípite Femoral ipsilateral (t=-2,092;p=0,041), em comparação com o grupo sem dor. Verificou-se uma associação significativa entre as 5 ordens de ativação mais frequentes e a presença de dor lombo-pélvica (xf2=11,54;p=0,015). A ordem de ativação "normal" – Glúteo Máximo ipsilateral>Bicípite Femoral ipsilateral>Eretor da Espinha contralateral>Eretor da Espinha ipsilateral – não foi utilizada. Verificou-se que o Bicípite Femoral ipsilateral foi maioritariamente o primeiro a ativar-se e o Glúteo Máximo ipsilateral o último em ambos os grupos. Verificou-se um tilt pélvico significativamente superior nos indivíduos que ativam primeiro o Bicípite Femoral ipsilateral nos grupos com (U=51;p=0,001) e sem dor (U=41p=0,001). Conclusão: Os indivíduos com dor lombo-pélvica apresentaram um atraso no timing de ativação dos músculos do core abdominal. Os resultados parecem refutar a ordem de ativação "normal" que tem sido proposta. Não foi possível apoiar nem contestar a teoria de que um atraso na ativação do Glúteo Máximo está associado com dor lombo-pélvica.

Forest resources in Graciosa Island (Azores) : biomass availability for sustainable energetic use

Dissertação de Mestrado em Ambiente, Saúde e Segurança.

O quadrado mágico de Benjamin Franklin

Benjamin Franklin (1706-1790) foi jornalista, cientista, inventor, homem de estado e diplomata. (...) Benjamin Franklin era um entusiasta de quadrados mágicos. Chegou mesmo a criar os seus próprios quadrados. O mais conhecido é o quadrado 8 por 8 apresentado na imagem. Numa carta publicada em 1769, Franklin refere: "Na minha juventude, divertia-me a construir quadrados mágicos, de modo a que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais principais fosse sempre a mesma; com o passar do tempo, conseguia criar quadrados mágicos, de tamanho razoável, tão depressa quanto conseguia escrever os números nas suas linhas e colunas; mas, por não estar totalmente satisfeito com estes quadrados, que eram demasiado fáceis, impus a mim mesmo o desafio de construir outro tipo de quadrados mágicos, que apresentassem propriedades mais ricas e que constituíssem, assim, um maior estímulo à curiosidade." Em relação ao quadrado mágico da imagem, são utilizados todos os números naturais, do 1 ao 8x8=64, uma e uma só vez. Além disso, a soma dos números de cada linha e de cada coluna é sempre igual a 260, a constante mágica. Existem muitas outras formas de obter o valor 260 (...)

Modelo de gestão de um serviço de finanças da administração pública

Mestrado em Ciências Económicas e Empresariais (Relatório de Estágio)

Alguns desafios de Clifford Pickover : dos números vampiros aos quadrados mágicos

Clifford Alan Pickover nasceu a 15 de agosto de 1957. Este americano é um reconhecido divulgador da Ciência e da Matemática, tendo publicado até ao momento mais de quarenta livros em mais de uma dúzia de línguas. (...) O principal interesse de Pickover está em encontrar novas maneiras de expandir a criatividade, estabelecendo conexões entre áreas aparentemente díspares do esforço humano, como a Arte, a Ciência e a Matemática. (...) Em 1994, Pickover introduziu uma nova classe de números, de certa forma peculiar: os números vampiros. (...) Um número vampiro é um número natural, v, com um número par de algarismos (n), que pode ser escrito como um produto de dois números naturais, x e y, cada um com metade do número de algarismos (n/2) e de forma a que os algarismos utilizados sejam os mesmos (eventualmente escritos por ordem diferente). (...) Na fatorização de um número vampiro, apenas um dos fatores pode ser múltiplo de 10 (ou seja, apenas um dos fatores pode ter o 0 como algarismo das unidades). Assim, 1260 é um número vampiro uma vez que 1260 = 21x60, mas 126 000 já não é um número vampiro apesar de 126 000 = 210x600. Isto porque, no segundo caso, ambos os fatores são múltiplos de 10. (...) Pickover também é adepto de quadrados mágicos. (...)

Critérios de divisibilidade e truques com cartas

Martin Gardner (1914-2010) foi um excelente divulgador de Matemática Recreativa. Durante mais de 25 anos escreveu uma coluna intitulada "Jogos Matemáticos" para a Scientific American, revista americana de divulgação científica. Escreveu também com regularidade para a revista Skeptical Inquirer e foi autor de mais de 70 obras. O seu trabalho inspirou centenas de leitores a apreciar e a querer saber mais sobre o vasto mundo da Matemática. Gardner é conhecido por apresentar interessantes enigmas e desafios matemáticos. Neste texto, analisamos três problemas da sua autoria. (...) O segredo para uma rápida resposta a estes problemas reside no conhecimento dos critérios de divisibilidade do 3 e do 9. Aproveitamos, por isso, a oportunidade para rever alguns dos principais critérios de divisibilidade. Como forma de testar a informação que apresentaremos de seguida, o leitor pode socorrer-se de um número com vários algarismos que tenha à mão. Nos exemplos abaixo, utilizaremos o ISBN-13 do livro Grupos de Simetria: Identificação de Padrões no Património Cultural dos Açores, publicado recentemente pela Associação Ludus e pela Apenas Livros, da autoria conjunta de Ricardo Teixeira, Susana Costa e Vera Moniz. O número é o seguinte: 9 789 896 185 039. (...) O leitor pode mesmo aproveitar para aplicar estes critérios de divisibilidade e fazer um brilharete junto de familiares e amigos. Por exemplo, pode virar-se de costas e pedir a um amigo que construa uma sequência de 5 cartas, utilizando cartas numeradas do Ás ao 5, pela ordem que bem entender; sem ver a sequência formada, a sua "intuição de mágico" dar-lhe-à a certeza de que o número é divisível por 3!

Critérios de divisibilidade por 7 e por 11

No artigo publicado no Tribuna das Ilhas no passado dia 15 de maio, exploraram-se alguns dos critérios de divisibilidade mais conhecidos. De fora ficaram os critérios de divisibilidade por 7 e por 11, por apresentarem características próprias que justificam um novo artigo dedicado a esses critérios. (...)