Methodologies for Collision Risk Computation = Metodologías para Cálculo de Riesgo de Colisión

Esta tesis aborda metodologías para el cálculo de riesgo de colisión de satélites. La minimización del riesgo de colisión se debe abordar desde dos puntos de vista distintos. Desde el punto de vista operacional, es necesario filtrar los objetos que pueden presentar un encuentro entre todos los objetos que comparten el espacio con un satélite operacional. Puesto que las órbitas, del objeto operacional y del objeto envuelto en la colisión, no se conocen perfectamente, la geometría del encuentro y el riesgo de colisión deben ser evaluados. De acuerdo con dicha geometría o riesgo, una maniobra evasiva puede ser necesaria para evitar la colisión. Dichas maniobras implican un consumo de combustible que impacta en la capacidad de mantenimiento orbital y por tanto de la visa útil del satélite. Por tanto, el combustible necesario a lo largo de la vida útil de un satélite debe ser estimado en fase de diseño de la misión para una correcta definición de su vida útil, especialmente para satélites orbitando en regímenes orbitales muy poblados. Los dos aspectos, diseño de misión y aspectos operacionales en relación con el riesgo de colisión están abordados en esta tesis y se resumen en la Figura 3. En relación con los aspectos relacionados con el diseño de misión (parte inferior de la figura), es necesario evaluar estadísticamente las características de de la población espacial y las teorías que permiten calcular el número medio de eventos encontrados por una misión y su capacidad de reducir riesgo de colisión. Estos dos aspectos definen los procedimientos más apropiados para reducir el riesgo de colisión en fase operacional. Este aspecto es abordado, comenzando por la teoría descrita en [Sánchez-Ortiz, 2006]T.14 e implementada por el autor de esta tesis en la herramienta ARES [Sánchez-Ortiz, 2004b]T.15 proporcionada por ESA para la evaluación de estrategias de evitación de colisión. Esta teoría es extendida en esta tesis para considerar las características de los datos orbitales disponibles en las fases operacionales de un satélite (sección 4.3.3). Además, esta teoría se ha extendido para considerar riesgo máximo de colisión cuando la incertidumbre de las órbitas de objetos catalogados no es conocida (como se da el caso para los TLE), y en el caso de querer sólo considerar riesgo de colisión catastrófico (sección 4.3.2.3). Dichas mejoras se han incluido en la nueva versión de ARES [Domínguez-González and Sánchez-Ortiz, 2012b]T.12 puesta a disposición a través de [SDUP,2014]R.60. En fase operacional, los catálogos que proporcionan datos orbitales de los objetos espaciales, son procesados rutinariamente, para identificar posibles encuentros que se analizan en base a algoritmos de cálculo de riesgo de colisión para proponer maniobras de evasión. Actualmente existe una única fuente de datos públicos, el catálogo TLE (de sus siglas en inglés, Two Line Elements). Además, el Joint Space Operation Center (JSpOC) Americano proporciona mensajes con alertas de colisión (CSM) cuando el sistema de vigilancia americano identifica un posible encuentro. En función de los datos usados en fase operacional (TLE o CSM), la estrategia de evitación puede ser diferente debido a las características de dicha información. Es preciso conocer las principales características de los datos disponibles (respecto a la precisión de los datos orbitales) para estimar los posibles eventos de colisión encontrados por un satélite a lo largo de su vida útil. En caso de los TLE, cuya precisión orbital no es proporcionada, la información de precisión orbital derivada de un análisis estadístico se puede usar también en el proceso operacional así como en el diseño de la misión. En caso de utilizar CSM como base de las operaciones de evitación de colisiones, se conoce la precisión orbital de los dos objetos involucrados. Estas características se han analizado en detalle, evaluando estadísticamente las características de ambos tipos de datos. Una vez concluido dicho análisis, se ha analizado el impacto de utilizar TLE o CSM en las operaciones del satélite (sección 5.1). Este análisis se ha publicado en una revista especializada [Sánchez-Ortiz, 2015b]T.3. En dicho análisis, se proporcionan recomendaciones para distintas misiones (tamaño del satélite y régimen orbital) en relación con las estrategias de evitación de colisión para reducir el riesgo de colisión de manera significativa. Por ejemplo, en el caso de un satélite en órbita heliosíncrona en régimen orbital LEO, el valor típico del ACPL que se usa de manera extendida es 10-4. Este valor no es adecuado cuando los esquemas de evitación de colisión se realizan sobre datos TLE. En este caso, la capacidad de reducción de riesgo es prácticamente nula (debido a las grandes incertidumbres de los datos TLE) incluso para tiempos cortos de predicción. Para conseguir una reducción significativa del riesgo, sería necesario usar un ACPL en torno a 10-6 o inferior, produciendo unas 10 alarmas al año por satélite (considerando predicciones a un día) o 100 alarmas al año (con predicciones a tres días). Por tanto, la principal conclusión es la falta de idoneidad de los datos TLE para el cálculo de eventos de colisión. Al contrario, usando los datos CSM, debido a su mejor precisión orbital, se puede obtener una reducción significativa del riesgo con ACPL en torno a 10-4 (considerando 3 días de predicción). Incluso 5 días de predicción pueden ser considerados con ACPL en torno a 10-5. Incluso tiempos de predicción más largos se pueden usar (7 días) con reducción del 90% del riesgo y unas 5 alarmas al año (en caso de predicciones de 5 días, el número de maniobras se mantiene en unas 2 al año). La dinámica en GEO es diferente al caso LEO y hace que el crecimiento de las incertidumbres orbitales con el tiempo de propagación sea menor. Por el contrario, las incertidumbres derivadas de la determinación orbital son peores que en LEO por las diferencias en las capacidades de observación de uno y otro régimen orbital. Además, se debe considerar que los tiempos de predicción considerados para LEO pueden no ser apropiados para el caso de un satélite GEO (puesto que tiene un periodo orbital mayor). En este caso usando datos TLE, una reducción significativa del riesgo sólo se consigue con valores pequeños de ACPL, produciendo una alarma por año cuando los eventos de colisión se predicen a un día vista (tiempo muy corto para implementar maniobras de evitación de colisión).Valores más adecuados de ACPL se encuentran entre 5•10-8 y 10-7, muy por debajo de los valores usados en las operaciones actuales de la mayoría de las misiones GEO (de nuevo, no se recomienda en este régimen orbital basar las estrategias de evitación de colisión en TLE). Los datos CSM permiten una reducción de riesgo apropiada con ACPL entre 10-5 y 10-4 con tiempos de predicción cortos y medios (10-5 se recomienda para predicciones a 5 o 7 días). El número de maniobras realizadas sería una en 10 años de misión. Se debe notar que estos cálculos están realizados para un satélite de unos 2 metros de radio. En el futuro, otros sistemas de vigilancia espacial (como el programa SSA de la ESA), proporcionarán catálogos adicionales de objetos espaciales con el objetivo de reducir el riesgo de colisión de los satélites. Para definir dichos sistemas de vigilancia, es necesario identificar las prestaciones del catalogo en función de la reducción de riesgo que se pretende conseguir. Las características del catálogo que afectan principalmente a dicha capacidad son la cobertura (número de objetos incluidos en el catalogo, limitado principalmente por el tamaño mínimo de los objetos en función de las limitaciones de los sensores utilizados) y la precisión de los datos orbitales (derivada de las prestaciones de los sensores en relación con la precisión de las medidas y la capacidad de re-observación de los objetos). El resultado de dicho análisis (sección 5.2) se ha publicado en una revista especializada [Sánchez-Ortiz, 2015a]T.2. Este análisis no estaba inicialmente previsto durante la tesis, y permite mostrar como la teoría descrita en esta tesis, inicialmente definida para facilitar el diseño de misiones (parte superior de la figura 1) se ha extendido y se puede aplicar para otros propósitos como el dimensionado de un sistema de vigilancia espacial (parte inferior de la figura 1). La principal diferencia de los dos análisis se basa en considerar las capacidades de catalogación (precisión y tamaño de objetos observados) como una variable a modificar en el caso de un diseño de un sistema de vigilancia), siendo fijas en el caso de un diseño de misión. En el caso de las salidas generadas en el análisis, todos los aspectos calculados en un análisis estadístico de riesgo de colisión son importantes para diseño de misión (con el objetivo de calcular la estrategia de evitación y la cantidad de combustible a utilizar), mientras que en el caso de un diseño de un sistema de vigilancia, los aspectos más importantes son el número de maniobras y falsas alarmas (fiabilidad del sistema) y la capacidad de reducción de riesgo (efectividad del sistema). Adicionalmente, un sistema de vigilancia espacial debe ser caracterizado por su capacidad de evitar colisiones catastróficas (evitando así in incremento dramático de la población de basura espacial), mientras que el diseño de una misión debe considerar todo tipo de encuentros, puesto que un operador está interesado en evitar tanto las colisiones catastróficas como las letales. Del análisis de las prestaciones (tamaño de objetos a catalogar y precisión orbital) requeridas a un sistema de vigilancia espacial se concluye que ambos aspectos han de ser fijados de manera diferente para los distintos regímenes orbitales. En el caso de LEO se hace necesario observar objetos de hasta 5cm de radio, mientras que en GEO se rebaja este requisito hasta los 100 cm para cubrir las colisiones catastróficas. La razón principal para esta diferencia viene de las diferentes velocidades relativas entre los objetos en ambos regímenes orbitales. En relación con la precisión orbital, ésta ha de ser muy buena en LEO para poder reducir el número de falsas alarmas, mientras que en regímenes orbitales más altos se pueden considerar precisiones medias. En relación con los aspectos operaciones de la determinación de riesgo de colisión, existen varios algoritmos de cálculo de riesgo entre dos objetos espaciales. La Figura 2 proporciona un resumen de los casos en cuanto a algoritmos de cálculo de riesgo de colisión y como se abordan en esta tesis. Normalmente se consideran objetos esféricos para simplificar el cálculo de riesgo (caso A). Este caso está ampliamente abordado en la literatura y no se analiza en detalle en esta tesis. Un caso de ejemplo se proporciona en la sección 4.2. Considerar la forma real de los objetos (caso B) permite calcular el riesgo de una manera más precisa. Un nuevo algoritmo es definido en esta tesis para calcular el riesgo de colisión cuando al menos uno de los objetos se considera complejo (sección 4.4.2). Dicho algoritmo permite calcular el riesgo de colisión para objetos formados por un conjunto de cajas, y se ha presentado en varias conferencias internacionales. Para evaluar las prestaciones de dicho algoritmo, sus resultados se han comparado con un análisis de Monte Carlo que se ha definido para considerar colisiones entre cajas de manera adecuada (sección 4.1.2.3), pues la búsqueda de colisiones simples aplicables para objetos esféricos no es aplicable a este caso. Este análisis de Monte Carlo se considera la verdad a la hora de calcular los resultados del algoritmos, dicha comparativa se presenta en la sección 4.4.4. En el caso de satélites que no se pueden considerar esféricos, el uso de un modelo de la geometría del satélite permite descartar eventos que no son colisiones reales o estimar con mayor precisión el riesgo asociado a un evento. El uso de estos algoritmos con geometrías complejas es más relevante para objetos de dimensiones grandes debido a las prestaciones de precisión orbital actuales. En el futuro, si los sistemas de vigilancia mejoran y las órbitas son conocidas con mayor precisión, la importancia de considerar la geometría real de los satélites será cada vez más relevante. La sección 5.4 presenta un ejemplo para un sistema de grandes dimensiones (satélite con un tether). Adicionalmente, si los dos objetos involucrados en la colisión tienen velocidad relativa baja (y geometría simple, Caso C en la Figura 2), la mayor parte de los algoritmos no son aplicables requiriendo implementaciones dedicadas para este caso particular. En esta tesis, uno de estos algoritmos presentado en la literatura [Patera, 2001]R.26 se ha analizado para determinar su idoneidad en distintos tipos de eventos (sección 4.5). La evaluación frete a un análisis de Monte Carlo se proporciona en la sección 4.5.2. Tras este análisis, se ha considerado adecuado para abordar las colisiones de baja velocidad. En particular, se ha concluido que el uso de algoritmos dedicados para baja velocidad son necesarios en función del tamaño del volumen de colisión proyectado en el plano de encuentro (B-plane) y del tamaño de la incertidumbre asociada al vector posición entre los dos objetos. Para incertidumbres grandes, estos algoritmos se hacen más necesarios pues la duración del intervalo en que los elipsoides de error de los dos objetos pueden intersecar es mayor. Dicho algoritmo se ha probado integrando el algoritmo de colisión para objetos con geometrías complejas. El resultado de dicho análisis muestra que este algoritmo puede ser extendido fácilmente para considerar diferentes tipos de algoritmos de cálculo de riesgo de colisión (sección 4.5.3). Ambos algoritmos, junto con el método Monte Carlo para geometrías complejas, se han implementado en la herramienta operacional de la ESA CORAM, que es utilizada para evaluar el riesgo de colisión en las actividades rutinarias de los satélites operados por ESA [Sánchez-Ortiz, 2013a]T.11. Este hecho muestra el interés y relevancia de los algoritmos desarrollados para la mejora de las operaciones de los satélites. Dichos algoritmos han sido presentados en varias conferencias internacionales [Sánchez-Ortiz, 2013b]T.9, [Pulido, 2014]T.7,[Grande-Olalla, 2013]T.10, [Pulido, 2014]T.5, [Sánchez-Ortiz, 2015c]T.1. ABSTRACT This document addresses methodologies for computation of the collision risk of a satellite. Two different approaches need to be considered for collision risk minimisation. On an operational basis, it is needed to perform a sieve of possible objects approaching the satellite, among all objects sharing the space with an operational satellite. As the orbits of both, satellite and the eventual collider, are not perfectly known but only estimated, the miss-encounter geometry and the actual risk of collision shall be evaluated. In the basis of the encounter geometry or the risk, an eventual manoeuvre may be required to avoid the conjunction. Those manoeuvres will be associated to a reduction in the fuel for the mission orbit maintenance, and thus, may reduce the satellite operational lifetime. Thus, avoidance manoeuvre fuel budget shall be estimated, at mission design phase, for a better estimation of mission lifetime, especially for those satellites orbiting in very populated orbital regimes. These two aspects, mission design and operational collision risk aspects, are summarised in Figure 3, and covered along this thesis. Bottom part of the figure identifies the aspects to be consider for the mission design phase (statistical characterisation of the space object population data and theory computing the mean number of events and risk reduction capability) which will define the most appropriate collision avoidance approach at mission operational phase. This part is covered in this work by starting from the theory described in [Sánchez-Ortiz, 2006]T.14 and implemented by this author in ARES tool [Sánchez-Ortiz, 2004b]T.15 provided by ESA for evaluation of collision avoidance approaches. This methodology has been now extended to account for the particular features of the available data sets in operational environment (section 4.3.3). Additionally, the formulation has been extended to allow evaluating risk computation approached when orbital uncertainty is not available (like the TLE case) and when only catastrophic collisions are subject to study (section 4.3.2.3). These improvements to the theory have been included in the new version of ESA ARES tool [Domínguez-González and Sánchez-Ortiz, 2012b]T.12 and available through [SDUP,2014]R.60. At the operation phase, the real catalogue data will be processed on a routine basis, with adequate collision risk computation algorithms to propose conjunction avoidance manoeuvre optimised for every event. The optimisation of manoeuvres in an operational basis is not approached along this document. Currently, American Two Line Element (TLE) catalogue is the only public source of data providing orbits of objects in space to identify eventual conjunction events. Additionally, Conjunction Summary Message (CSM) is provided by Joint Space Operation Center (JSpOC) when the American system identifies a possible collision among satellites and debris. Depending on the data used for collision avoidance evaluation, the conjunction avoidance approach may be different. The main features of currently available data need to be analysed (in regards to accuracy) in order to perform estimation of eventual encounters to be found along the mission lifetime. In the case of TLE, as these data is not provided with accuracy information, operational collision avoidance may be also based on statistical accuracy information as the one used in the mission design approach. This is not the case for CSM data, which includes the state vector and orbital accuracy of the two involved objects. This aspect has been analysed in detail and is depicted in the document, evaluating in statistical way the characteristics of both data sets in regards to the main aspects related to collision avoidance. Once the analysis of data set was completed, investigations on the impact of those features in the most convenient avoidance approaches have been addressed (section 5.1). This analysis is published in a peer-reviewed journal [Sánchez-Ortiz, 2015b]T.3. The analysis provides recommendations for different mission types (satellite size and orbital regime) in regards to the most appropriate collision avoidance approach for relevant risk reduction. The risk reduction capability is very much dependent on the accuracy of the catalogue utilized to identify eventual collisions. Approaches based on CSM data are recommended against the TLE based approach. Some approaches based on the maximum risk associated to envisaged encounters are demonstrated to report a very large number of events, which makes the approach not suitable for operational activities. Accepted Collision Probability Levels are recommended for the definition of the avoidance strategies for different mission types. For example for the case of a LEO satellite in the Sun-synchronous regime, the typically used ACPL value of 10-4 is not a suitable value for collision avoidance schemes based on TLE data. In this case the risk reduction capacity is almost null (due to the large uncertainties associated to TLE data sets, even for short time-to-event values). For significant reduction of risk when using TLE data, ACPL on the order of 10-6 (or lower) seems to be required, producing about 10 warnings per year and mission (if one-day ahead events are considered) or 100 warnings per year (for three-days ahead estimations). Thus, the main conclusion from these results is the lack of feasibility of TLE for a proper collision avoidance approach. On the contrary, for CSM data, and due to the better accuracy of the orbital information when compared with TLE, ACPL on the order of 10-4 allows to significantly reduce the risk. This is true for events estimated up to 3 days ahead. Even 5 days ahead events can be considered, but ACPL values down to 10-5 should be considered in such case. Even larger prediction times can be considered (7 days) for risk reduction about 90%, at the cost of larger number of warnings up to 5 events per year, when 5 days prediction allows to keep the manoeuvre rate in 2 manoeuvres per year. Dynamics of the GEO orbits is different to that in LEO, impacting on a lower increase of orbits uncertainty along time. On the contrary, uncertainties at short prediction times at this orbital regime are larger than those at LEO due to the differences in observation capabilities. Additionally, it has to be accounted that short prediction times feasible at LEO may not be appropriate for a GEO mission due to the orbital period being much larger at this regime. In the case of TLE data sets, significant reduction of risk is only achieved for small ACPL values, producing about a warning event per year if warnings are raised one day in advance to the event (too short for any reaction to be considered). Suitable ACPL values would lay in between 5•10-8 and 10-7, well below the normal values used in current operations for most of the GEO missions (TLE-based strategies for collision avoidance at this regime are not recommended). On the contrary, CSM data allows a good reduction of risk with ACPL in between 10-5 and 10-4 for short and medium prediction times. 10-5 is recommended for prediction times of five or seven days. The number of events raised for a suitable warning time of seven days would be about one in a 10-year mission. It must be noted, that these results are associated to a 2 m radius spacecraft, impact of the satellite size are also analysed within the thesis. In the future, other Space Situational Awareness Systems (SSA, ESA program) may provide additional catalogues of objects in space with the aim of reducing the risk. It is needed to investigate which are the required performances of those catalogues for allowing such risk reduction. The main performance aspects are coverage (objects included in the catalogue, mainly limited by a minimum object size derived from sensor performances) and the accuracy of the orbital data to accurately evaluate the conjunctions (derived from sensor performance in regards to object observation frequency and accuracy). The results of these investigations (section 5.2) are published in a peer-reviewed journal [Sánchez-Ortiz, 2015a]T.2. This aspect was not initially foreseen as objective of the thesis, but it shows how the theory described in the thesis, initially defined for mission design in regards to avoidance manoeuvre fuel allocation (upper part of figure 1), is extended and serves for additional purposes as dimensioning a Space Surveillance and Tracking (SST) system (bottom part of figure below). The main difference between the two approaches is the consideration of the catalogue features as part of the theory which are not modified (for the satellite mission design case) instead of being an input for the analysis (in the case of the SST design). In regards to the outputs, all the features computed by the statistical conjunction analysis are of importance for mission design (with the objective of proper global avoidance strategy definition and fuel allocation), whereas for the case of SST design, the most relevant aspects are the manoeuvre and false alarm rates (defining a reliable system) and the Risk Reduction capability (driving the effectiveness of the system). In regards to the methodology for computing the risk, the SST system shall be driven by the capacity of providing the means to avoid catastrophic conjunction events (avoiding the dramatic increase of the population), whereas the satellite mission design should consider all type of encounters, as the operator is interested on avoiding both lethal and catastrophic collisions. From the analysis of the SST features (object coverage and orbital uncertainty) for a reliable system, it is concluded that those two characteristics are to be imposed differently for the different orbital regimes, as the population level is different depending on the orbit type. Coverage values range from 5 cm for very populated LEO regime up to 100 cm in the case of GEO region. The difference on this requirement derives mainly from the relative velocity of the encounters at those regimes. Regarding the orbital knowledge of the catalogues, very accurate information is required for objects in the LEO region in order to limit the number of false alarms, whereas intermediate orbital accuracy can be considered for higher orbital regimes. In regards to the operational collision avoidance approaches, several collision risk algorithms are used for evaluation of collision risk of two pair of objects. Figure 2 provides a summary of the different collision risk algorithm cases and indicates how they are covered along this document. The typical case with high relative velocity is well covered in literature for the case of spherical objects (case A), with a large number of available algorithms, that are not analysed in detailed in this work. Only a sample case is provided in section 4.2. If complex geometries are considered (Case B), a more realistic risk evaluation can be computed. New approach for the evaluation of risk in the case of complex geometries is presented in this thesis (section 4.4.2), and it has been presented in several international conferences. The developed algorithm allows evaluating the risk for complex objects formed by a set of boxes. A dedicated Monte Carlo method has also been described (section 4.1.2.3) and implemented to allow the evaluation of the actual collisions among a large number of simulation shots. This Monte Carlo runs are considered the truth for comparison of the algorithm results (section 4.4.4). For spacecrafts that cannot be considered as spheres, the consideration of the real geometry of the objects may allow to discard events which are not real conjunctions, or estimate with larger reliability the risk associated to the event. This is of particular importance for the case of large spacecrafts as the uncertainty in positions of actual catalogues does not reach small values to make a difference for the case of objects below meter size. As the tracking systems improve and the orbits of catalogued objects are known more precisely, the importance of considering actual shapes of the objects will become more relevant. The particular case of a very large system (as a tethered satellite) is analysed in section 5.4. Additionally, if the two colliding objects have low relative velocity (and simple geometries, case C in figure above), the most common collision risk algorithms fail and adequate theories need to be applied. In this document, a low relative velocity algorithm presented in the literature [Patera, 2001]R.26 is described and evaluated (section 4.5). Evaluation through comparison with Monte Carlo approach is provided in section 4.5.2. The main conclusion of this analysis is the suitability of this algorithm for the most common encounter characteristics, and thus it is selected as adequate for collision risk estimation. Its performances are evaluated in order to characterise when it can be safely used for a large variety of encounter characteristics. In particular, it is found that the need of using dedicated algorithms depend on both the size of collision volume in the B-plane and the miss-distance uncertainty. For large uncertainties, the need of such algorithms is more relevant since for small uncertainties the encounter duration where the covariance ellipsoids intersect is smaller. Additionally, its application for the case of complex satellite geometries is assessed (case D in figure above) by integrating the developed algorithm in this thesis with Patera’s formulation for low relative velocity encounters. The results of this analysis show that the algorithm can be easily extended for collision risk estimation process suitable for complex geometry objects (section 4.5.3). The two algorithms, together with the Monte Carlo method, have been implemented in the operational tool CORAM for ESA which is used for the evaluation of collision risk of ESA operated missions, [Sánchez-Ortiz, 2013a]T.11. This fact shows the interest and relevance of the developed algorithms for improvement of satellite operations. The algorithms have been presented in several international conferences, [Sánchez-Ortiz, 2013b]T.9, [Pulido, 2014]T.7,[Grande-Olalla, 2013]T.10, [Pulido, 2014]T.5, [Sánchez-Ortiz, 2015c]T.1.

Design and development of compact optical systems = Diseño y desarrollo de sistemas ópticos compactos

Esta tesis considera dos tipos de aplicaciones del diseño óptico: óptica formadora de imagen por un lado, y óptica anidólica (nonimaging) o no formadora de imagen, por otro. Las ópticas formadoras de imagen tienen como objetivo la obtención de imágenes de puntos del objeto en el plano de la imagen. Por su parte, la óptica anidólica, surgida del desarrollo de aplicaciones de concentración e iluminación, se centra en la transferencia de energía en forma de luz de forma eficiente. En general, son preferibles los diseños ópticos que den como resultado sistemas compactos, para ambos tipos de ópticas (formadora de imagen y anidólica). En el caso de los sistemas anidólicos, una óptica compacta permite tener costes de producción reducidos. Hay dos razones: (1) una óptica compacta presenta volúmenes reducidos, lo que significa que se necesita menos material para la producción en masa; (2) una óptica compacta es pequeña y ligera, lo que ahorra costes en el transporte. Para los sistemas ópticos de formación de imagen, además de las ventajas anteriores, una óptica compacta aumenta la portabilidad de los dispositivos, que es una gran ventaja en tecnologías de visualización portátiles, tales como cascos de realidad virtual (HMD del inglés Head Mounted Display). Esta tesis se centra por tanto en nuevos enfoques de diseño de sistemas ópticos compactos para aplicaciones tanto de formación de imagen, como anidólicas. Los colimadores son uno de los diseños clásicos dentro la óptica anidólica, y se pueden utilizar en aplicaciones fotovoltaicas y de iluminación. Hay varios enfoques a la hora de diseñar estos colimadores. Los diseños convencionales tienen una relación de aspecto mayor que 0.5. Con el fin de reducir la altura del colimador manteniendo el área de iluminación, esta tesis presenta un diseño de un colimador multicanal. En óptica formadora de imagen, las superficies asféricas y las superficies sin simetría de revolución (o freeform) son de gran utilidad de cara al control de las aberraciones de la imagen y para reducir el número y tamaño de los elementos ópticos. Debido al rápido desarrollo de sistemas de computación digital, los trazados de rayos se pueden realizar de forma rápida y sencilla para evaluar el rendimiento del sistema óptico analizado. Esto ha llevado a los diseños ópticos modernos a ser generados mediante el uso de diferentes técnicas de optimización multi-paramétricas. Estas técnicas requieren un buen diseño inicial como punto de partida para el diseño final, que será obtenido tras un proceso de optimización. Este proceso precisa un método de diseño directo para superficies asféricas y freeform que den como resultado un diseño cercano al óptimo. Un método de diseño basado en ecuaciones diferenciales se presenta en esta tesis para obtener un diseño óptico formado por una superficie freeform y dos superficies asféricas. Esta tesis consta de cinco capítulos. En Capítulo 1, se presentan los conceptos básicos de la óptica formadora de imagen y de la óptica anidólica, y se introducen las técnicas clásicas del diseño de las mismas. El Capítulo 2 describe el diseño de un colimador ultra-compacto. La relación de aspecto ultra-baja de este colimador se logra mediante el uso de una estructura multicanal. Se presentará su procedimiento de diseño, así como un prototipo fabricado y la caracterización del mismo. El Capítulo 3 describe los conceptos principales de la optimización de los sistemas ópticos: función de mérito y método de mínimos cuadrados amortiguados. La importancia de un buen punto de partida se demuestra mediante la presentación de un mismo ejemplo visto a través de diferentes enfoques de diseño. El método de las ecuaciones diferenciales se presenta como una herramienta ideal para obtener un buen punto de partida para la solución final. Además, diferentes técnicas de interpolación y representación de superficies asféricas y freeform se presentan para el procedimiento de optimización. El Capítulo 4 describe la aplicación del método de las ecuaciones diferenciales para un diseño de un sistema óptico de una sola superficie freeform. Algunos conceptos básicos de geometría diferencial son presentados para una mejor comprensión de la derivación de las ecuaciones diferenciales parciales. También se presenta un procedimiento de solución numérica. La condición inicial está elegida como un grado de libertad adicional para controlar la superficie donde se forma la imagen. Basado en este enfoque, un diseño anastigmático se puede obtener fácilmente y se utiliza como punto de partida para un ejemplo de diseño de un HMD con una única superficie reflectante. Después de la optimización, dicho diseño muestra mejor rendimiento. El Capítulo 5 describe el método de las ecuaciones diferenciales ampliado para diseños de dos superficies asféricas. Para diseños ópticos de una superficie, ni la superficie de imagen ni la correspondencia entre puntos del objeto y la imagen pueden ser prescritas. Con esta superficie adicional, la superficie de la imagen se puede prescribir. Esto conduce a un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias implícitas. La solución numérica se puede obtener a través de cualquier software de cálculo numérico. Dicho procedimiento también se explica en este capítulo. Este método de diseño da como resultado una lente anastigmática, que se comparará con una lente aplanática. El diseño anastigmático converge mucho más rápido en la optimización y la solución final muestra un mejor rendimiento. ABSTRACT We will consider optical design from two points of view: imaging optics and nonimaging optics. Imaging optics focuses on the imaging of the points of the object. Nonimaging optics arose from the development of concentrators and illuminators, focuses on the transfer of light energy, and has wide applications in illumination and concentration photovoltaics. In general, compact optical systems are necessary for both imaging and nonimaging designs. For nonimaging optical systems, compact optics use to be important for reducing cost. The reasons are twofold: (1) compact optics is small in volume, which means less material is needed for mass-production; (2) compact optics is small in size and light in weight, which saves cost in transportation. For imaging optical systems, in addition to the above advantages, compact optics increases portability of devices as well, which contributes a lot to wearable display technologies such as Head Mounted Displays (HMD). This thesis presents novel design approaches of compact optical systems for both imaging and nonimaging applications. Collimator is a typical application of nonimaging optics in illumination, and can be used in concentration photovoltaics as well due to the reciprocity of light. There are several approaches for collimator designs. In general, all of these approaches have an aperture diameter to collimator height not greater than 2. In order to reduce the height of the collimator while maintaining the illumination area, a multichannel design is presented in this thesis. In imaging optics, aspheric and freeform surfaces are useful in controlling image aberrations and reducing the number and size of optical elements. Due to the rapid development of digital computing systems, ray tracing can be easily performed to evaluate the performance of optical system. This has led to the modern optical designs created by using different multi-parametric optimization techniques. These techniques require a good initial design to be a starting point so that the final design after optimization procedure can reach the optimum solution. This requires a direct design method for aspheric and freeform surface close to the optimum. A differential equation based design method is presented in this thesis to obtain single freeform and double aspheric surfaces. The thesis comprises of five chapters. In Chapter 1, basic concepts of imaging and nonimaging optics are presented and typical design techniques are introduced. Readers can obtain an understanding for the following chapters. Chapter 2 describes the design of ultra-compact collimator. The ultra-low aspect ratio of this collimator is achieved by using a multichannel structure. Its design procedure is presented together with a prototype and its evaluation. The ultra-compactness of the device has been approved. Chapter 3 describes the main concepts of optimizing optical systems: merit function and Damped Least-Squares method. The importance of a good starting point is demonstrated by presenting an example through different design approaches. The differential equation method is introduced as an ideal tool to obtain a good starting point for the final solution. Additionally, different interpolation and representation techniques for aspheric and freeform surface are presented for optimization procedure. Chapter 4 describes the application of differential equation method in the design of single freeform surface optical system. Basic concepts of differential geometry are presented for understanding the derivation of partial differential equations. A numerical solution procedure is also presented. The initial condition is chosen as an additional freedom to control the image surface. Based on this approach, anastigmatic designs can be readily obtained and is used as starting point for a single reflective surface HMD design example. After optimization, the evaluation shows better MTF. Chapter 5 describes the differential equation method extended to double aspheric surface designs. For single optical surface designs, neither image surface nor the mapping from object to image can be prescribed. With one more surface added, the image surface can be prescribed. This leads to a set of three implicit ordinary differential equations. Numerical solution can be obtained by MATLAB and its procedure is also explained. An anastigmatic lens is derived from this design method and compared with an aplanatic lens. The anastigmatic design converges much faster in optimization and the final solution shows better performance.

A framework for mixed-criticality partitioned real-time embedded systems

Los sistemas empotrados son cada día más comunes y complejos, de modo que encontrar procesos seguros, eficaces y baratos de desarrollo software dirigidos específicamente a esta clase de sistemas es más necesario que nunca. A diferencia de lo que ocurría hasta hace poco, en la actualidad los avances tecnológicos en el campo de los microprocesadores de los últimos tiempos permiten el desarrollo de equipos con prestaciones más que suficientes para ejecutar varios sistemas software en una única máquina. Además, hay sistemas empotrados con requisitos de seguridad (safety) de cuyo correcto funcionamiento depende la vida de muchas personas y/o grandes inversiones económicas. Estos sistemas software se diseñan e implementan de acuerdo con unos estándares de desarrollo software muy estrictos y exigentes. En algunos casos puede ser necesaria también la certificación del software. Para estos casos, los sistemas con criticidades mixtas pueden ser una alternativa muy valiosa. En esta clase de sistemas, aplicaciones con diferentes niveles de criticidad se ejecutan en el mismo computador. Sin embargo, a menudo es necesario certificar el sistema entero con el nivel de criticidad de la aplicación más crítica, lo que hace que los costes se disparen. La virtualización se ha postulado como una tecnología muy interesante para contener esos costes. Esta tecnología permite que un conjunto de máquinas virtuales o particiones ejecuten las aplicaciones con unos niveles de aislamiento tanto temporal como espacial muy altos. Esto, a su vez, permite que cada partición pueda ser certificada independientemente. Para el desarrollo de sistemas particionados con criticidades mixtas se necesita actualizar los modelos de desarrollo software tradicionales, pues estos no cubren ni las nuevas actividades ni los nuevos roles que se requieren en el desarrollo de estos sistemas. Por ejemplo, el integrador del sistema debe definir las particiones o el desarrollador de aplicaciones debe tener en cuenta las características de la partición donde su aplicación va a ejecutar. Tradicionalmente, en el desarrollo de sistemas empotrados, el modelo en V ha tenido una especial relevancia. Por ello, este modelo ha sido adaptado para tener en cuenta escenarios tales como el desarrollo en paralelo de aplicaciones o la incorporación de una nueva partición a un sistema ya existente. El objetivo de esta tesis doctoral es mejorar la tecnología actual de desarrollo de sistemas particionados con criticidades mixtas. Para ello, se ha diseñado e implementado un entorno dirigido específicamente a facilitar y mejorar los procesos de desarrollo de esta clase de sistemas. En concreto, se ha creado un algoritmo que genera el particionado del sistema automáticamente. En el entorno de desarrollo propuesto, se han integrado todas las actividades necesarias para desarrollo de un sistema particionado, incluidos los nuevos roles y actividades mencionados anteriormente. Además, el diseño del entorno de desarrollo se ha basado en la ingeniería guiada por modelos (Model-Driven Engineering), la cual promueve el uso de los modelos como elementos fundamentales en el proceso de desarrollo. Así pues, se proporcionan las herramientas necesarias para modelar y particionar el sistema, así como para validar los resultados y generar los artefactos necesarios para el compilado, construcción y despliegue del mismo. Además, en el diseño del entorno de desarrollo, la extensión e integración del mismo con herramientas de validación ha sido un factor clave. En concreto, se pueden incorporar al entorno de desarrollo nuevos requisitos no-funcionales, la generación de nuevos artefactos tales como documentación o diferentes lenguajes de programación, etc. Una parte clave del entorno de desarrollo es el algoritmo de particionado. Este algoritmo se ha diseñado para ser independiente de los requisitos de las aplicaciones así como para permitir al integrador del sistema implementar nuevos requisitos del sistema. Para lograr esta independencia, se han definido las restricciones al particionado. El algoritmo garantiza que dichas restricciones se cumplirán en el sistema particionado que resulte de su ejecución. Las restricciones al particionado se han diseñado con una capacidad expresiva suficiente para que, con un pequeño grupo de ellas, se puedan expresar la mayor parte de los requisitos no-funcionales más comunes. Las restricciones pueden ser definidas manualmente por el integrador del sistema o bien pueden ser generadas automáticamente por una herramienta a partir de los requisitos funcionales y no-funcionales de una aplicación. El algoritmo de particionado toma como entradas los modelos y las restricciones al particionado del sistema. Tras la ejecución y como resultado, se genera un modelo de despliegue en el que se definen las particiones que son necesarias para el particionado del sistema. A su vez, cada partición define qué aplicaciones deben ejecutar en ella así como los recursos que necesita la partición para ejecutar correctamente. El problema del particionado y las restricciones al particionado se modelan matemáticamente a través de grafos coloreados. En dichos grafos, un coloreado propio de los vértices representa un particionado del sistema correcto. El algoritmo se ha diseñado también para que, si es necesario, sea posible obtener particionados alternativos al inicialmente propuesto. El entorno de desarrollo, incluyendo el algoritmo de particionado, se ha probado con éxito en dos casos de uso industriales: el satélite UPMSat-2 y un demostrador del sistema de control de una turbina eólica. Además, el algoritmo se ha validado mediante la ejecución de numerosos escenarios sintéticos, incluyendo algunos muy complejos, de más de 500 aplicaciones. ABSTRACT The importance of embedded software is growing as it is required for a large number of systems. Devising cheap, efficient and reliable development processes for embedded systems is thus a notable challenge nowadays. Computer processing power is continuously increasing, and as a result, it is currently possible to integrate complex systems in a single processor, which was not feasible a few years ago.Embedded systems may have safety critical requirements. Its failure may result in personal or substantial economical loss. The development of these systems requires stringent development processes that are usually defined by suitable standards. In some cases their certification is also necessary. This scenario fosters the use of mixed-criticality systems in which applications of different criticality levels must coexist in a single system. In these cases, it is usually necessary to certify the whole system, including non-critical applications, which is costly. Virtualization emerges as an enabling technology used for dealing with this problem. The system is structured as a set of partitions, or virtual machines, that can be executed with temporal and spatial isolation. In this way, applications can be developed and certified independently. The development of MCPS (Mixed-Criticality Partitioned Systems) requires additional roles and activities that traditional systems do not require. The system integrator has to define system partitions. Application development has to consider the characteristics of the partition to which it is allocated. In addition, traditional software process models have to be adapted to this scenario. The V-model is commonly used in embedded systems development. It can be adapted to the development of MCPS by enabling the parallel development of applications or adding an additional partition to an existing system. The objective of this PhD is to improve the available technology for MCPS development by providing a framework tailored to the development of this type of system and by defining a flexible and efficient algorithm for automatically generating system partitionings. The goal of the framework is to integrate all the activities required for developing MCPS and to support the different roles involved in this process. The framework is based on MDE (Model-Driven Engineering), which emphasizes the use of models in the development process. The framework provides basic means for modeling the system, generating system partitions, validating the system and generating final artifacts. The framework has been designed to facilitate its extension and the integration of external validation tools. In particular, it can be extended by adding support for additional non-functional requirements and support for final artifacts, such as new programming languages or additional documentation. The framework includes a novel partitioning algorithm. It has been designed to be independent of the types of applications requirements and also to enable the system integrator to tailor the partitioning to the specific requirements of a system. This independence is achieved by defining partitioning constraints that must be met by the resulting partitioning. They have sufficient expressive capacity to state the most common constraints and can be defined manually by the system integrator or generated automatically based on functional and non-functional requirements of the applications. The partitioning algorithm uses system models and partitioning constraints as its inputs. It generates a deployment model that is composed by a set of partitions. Each partition is in turn composed of a set of allocated applications and assigned resources. The partitioning problem, including applications and constraints, is modeled as a colored graph. A valid partitioning is a proper vertex coloring. A specially designed algorithm generates this coloring and is able to provide alternative partitions if required. The framework, including the partitioning algorithm, has been successfully used in the development of two industrial use cases: the UPMSat-2 satellite and the control system of a wind-power turbine. The partitioning algorithm has been successfully validated by using a large number of synthetic loads, including complex scenarios with more that 500 applications.

Run-Time Dynamically-Adaptable FPGA-Based Architecture for High-Performance Autonomous Distributed Systems

Esta tesis doctoral se enmarca dentro del campo de los sistemas embebidos reconfigurables, redes de sensores inalámbricas para aplicaciones de altas prestaciones, y computación distribuida. El documento se centra en el estudio de alternativas de procesamiento para sistemas embebidos autónomos distribuidos de altas prestaciones (por sus siglas en inglés, High-Performance Autonomous Distributed Systems (HPADS)), así como su evolución hacia el procesamiento de alta resolución. El estudio se ha llevado a cabo tanto a nivel de plataforma como a nivel de las arquitecturas de procesamiento dentro de la plataforma con el objetivo de optimizar aspectos tan relevantes como la eficiencia energética, la capacidad de cómputo y la tolerancia a fallos del sistema. Los HPADS son sistemas realimentados, normalmente formados por elementos distribuidos conectados o no en red, con cierta capacidad de adaptación, y con inteligencia suficiente para llevar a cabo labores de prognosis y/o autoevaluación. Esta clase de sistemas suele formar parte de sistemas más complejos llamados sistemas ciber-físicos (por sus siglas en inglés, Cyber-Physical Systems (CPSs)). Los CPSs cubren un espectro enorme de aplicaciones, yendo desde aplicaciones médicas, fabricación, o aplicaciones aeroespaciales, entre otras muchas. Para el diseño de este tipo de sistemas, aspectos tales como la confiabilidad, la definición de modelos de computación, o el uso de metodologías y/o herramientas que faciliten el incremento de la escalabilidad y de la gestión de la complejidad, son fundamentales. La primera parte de esta tesis doctoral se centra en el estudio de aquellas plataformas existentes en el estado del arte que por sus características pueden ser aplicables en el campo de los CPSs, así como en la propuesta de un nuevo diseño de plataforma de altas prestaciones que se ajuste mejor a los nuevos y más exigentes requisitos de las nuevas aplicaciones. Esta primera parte incluye descripción, implementación y validación de la plataforma propuesta, así como conclusiones sobre su usabilidad y sus limitaciones. Los principales objetivos para el diseño de la plataforma propuesta se enumeran a continuación: • Estudiar la viabilidad del uso de una FPGA basada en RAM como principal procesador de la plataforma en cuanto a consumo energético y capacidad de cómputo. • Propuesta de técnicas de gestión del consumo de energía en cada etapa del perfil de trabajo de la plataforma. •Propuestas para la inclusión de reconfiguración dinámica y parcial de la FPGA (por sus siglas en inglés, Dynamic Partial Reconfiguration (DPR)) de forma que sea posible cambiar ciertas partes del sistema en tiempo de ejecución y sin necesidad de interrumpir al resto de las partes. Evaluar su aplicabilidad en el caso de HPADS. Las nuevas aplicaciones y nuevos escenarios a los que se enfrentan los CPSs, imponen nuevos requisitos en cuanto al ancho de banda necesario para el procesamiento de los datos, así como en la adquisición y comunicación de los mismos, además de un claro incremento en la complejidad de los algoritmos empleados. Para poder cumplir con estos nuevos requisitos, las plataformas están migrando desde sistemas tradicionales uni-procesador de 8 bits, a sistemas híbridos hardware-software que incluyen varios procesadores, o varios procesadores y lógica programable. Entre estas nuevas arquitecturas, las FPGAs y los sistemas en chip (por sus siglas en inglés, System on Chip (SoC)) que incluyen procesadores embebidos y lógica programable, proporcionan soluciones con muy buenos resultados en cuanto a consumo energético, precio, capacidad de cómputo y flexibilidad. Estos buenos resultados son aún mejores cuando las aplicaciones tienen altos requisitos de cómputo y cuando las condiciones de trabajo son muy susceptibles de cambiar en tiempo real. La plataforma propuesta en esta tesis doctoral se ha denominado HiReCookie. La arquitectura incluye una FPGA basada en RAM como único procesador, así como un diseño compatible con la plataforma para redes de sensores inalámbricas desarrollada en el Centro de Electrónica Industrial de la Universidad Politécnica de Madrid (CEI-UPM) conocida como Cookies. Esta FPGA, modelo Spartan-6 LX150, era, en el momento de inicio de este trabajo, la mejor opción en cuanto a consumo y cantidad de recursos integrados, cuando además, permite el uso de reconfiguración dinámica y parcial. Es importante resaltar que aunque los valores de consumo son los mínimos para esta familia de componentes, la potencia instantánea consumida sigue siendo muy alta para aquellos sistemas que han de trabajar distribuidos, de forma autónoma, y en la mayoría de los casos alimentados por baterías. Por esta razón, es necesario incluir en el diseño estrategias de ahorro energético para incrementar la usabilidad y el tiempo de vida de la plataforma. La primera estrategia implementada consiste en dividir la plataforma en distintas islas de alimentación de forma que sólo aquellos elementos que sean estrictamente necesarios permanecerán alimentados, cuando el resto puede estar completamente apagado. De esta forma es posible combinar distintos modos de operación y así optimizar enormemente el consumo de energía. El hecho de apagar la FPGA para ahora energía durante los periodos de inactividad, supone la pérdida de la configuración, puesto que la memoria de configuración es una memoria volátil. Para reducir el impacto en el consumo y en el tiempo que supone la reconfiguración total de la plataforma una vez encendida, en este trabajo, se incluye una técnica para la compresión del archivo de configuración de la FPGA, de forma que se consiga una reducción del tiempo de configuración y por ende de la energía consumida. Aunque varios de los requisitos de diseño pueden satisfacerse con el diseño de la plataforma HiReCookie, es necesario seguir optimizando diversos parámetros tales como el consumo energético, la tolerancia a fallos y la capacidad de procesamiento. Esto sólo es posible explotando todas las posibilidades ofrecidas por la arquitectura de procesamiento en la FPGA. Por lo tanto, la segunda parte de esta tesis doctoral está centrada en el diseño de una arquitectura reconfigurable denominada ARTICo3 (Arquitectura Reconfigurable para el Tratamiento Inteligente de Cómputo, Confiabilidad y Consumo de energía) para la mejora de estos parámetros por medio de un uso dinámico de recursos. ARTICo3 es una arquitectura de procesamiento para FPGAs basadas en RAM, con comunicación tipo bus, preparada para dar soporte para la gestión dinámica de los recursos internos de la FPGA en tiempo de ejecución gracias a la inclusión de reconfiguración dinámica y parcial. Gracias a esta capacidad de reconfiguración parcial, es posible adaptar los niveles de capacidad de procesamiento, energía consumida o tolerancia a fallos para responder a las demandas de la aplicación, entorno, o métricas internas del dispositivo mediante la adaptación del número de recursos asignados para cada tarea. Durante esta segunda parte de la tesis se detallan el diseño de la arquitectura, su implementación en la plataforma HiReCookie, así como en otra familia de FPGAs, y su validación por medio de diferentes pruebas y demostraciones. Los principales objetivos que se plantean la arquitectura son los siguientes: • Proponer una metodología basada en un enfoque multi-hilo, como las propuestas por CUDA (por sus siglas en inglés, Compute Unified Device Architecture) u Open CL, en la cual distintos kernels, o unidades de ejecución, se ejecuten en un numero variable de aceleradores hardware sin necesidad de cambios en el código de aplicación. • Proponer un diseño y proporcionar una arquitectura en la que las condiciones de trabajo cambien de forma dinámica dependiendo bien de parámetros externos o bien de parámetros que indiquen el estado de la plataforma. Estos cambios en el punto de trabajo de la arquitectura serán posibles gracias a la reconfiguración dinámica y parcial de aceleradores hardware en tiempo real. • Explotar las posibilidades de procesamiento concurrente, incluso en una arquitectura basada en bus, por medio de la optimización de las transacciones en ráfaga de datos hacia los aceleradores. •Aprovechar las ventajas ofrecidas por la aceleración lograda por módulos puramente hardware para conseguir una mejor eficiencia energética. • Ser capaces de cambiar los niveles de redundancia de hardware de forma dinámica según las necesidades del sistema en tiempo real y sin cambios para el código de aplicación. • Proponer una capa de abstracción entre el código de aplicación y el uso dinámico de los recursos de la FPGA. El diseño en FPGAs permite la utilización de módulos hardware específicamente creados para una aplicación concreta. De esta forma es posible obtener rendimientos mucho mayores que en el caso de las arquitecturas de propósito general. Además, algunas FPGAs permiten la reconfiguración dinámica y parcial de ciertas partes de su lógica en tiempo de ejecución, lo cual dota al diseño de una gran flexibilidad. Los fabricantes de FPGAs ofrecen arquitecturas predefinidas con la posibilidad de añadir bloques prediseñados y poder formar sistemas en chip de una forma más o menos directa. Sin embargo, la forma en la que estos módulos hardware están organizados dentro de la arquitectura interna ya sea estática o dinámicamente, o la forma en la que la información se intercambia entre ellos, influye enormemente en la capacidad de cómputo y eficiencia energética del sistema. De la misma forma, la capacidad de cargar módulos hardware bajo demanda, permite añadir bloques redundantes que permitan aumentar el nivel de tolerancia a fallos de los sistemas. Sin embargo, la complejidad ligada al diseño de bloques hardware dedicados no debe ser subestimada. Es necesario tener en cuenta que el diseño de un bloque hardware no es sólo su propio diseño, sino también el diseño de sus interfaces, y en algunos casos de los drivers software para su manejo. Además, al añadir más bloques, el espacio de diseño se hace más complejo, y su programación más difícil. Aunque la mayoría de los fabricantes ofrecen interfaces predefinidas, IPs (por sus siglas en inglés, Intelectual Property) comerciales y plantillas para ayudar al diseño de los sistemas, para ser capaces de explotar las posibilidades reales del sistema, es necesario construir arquitecturas sobre las ya establecidas para facilitar el uso del paralelismo, la redundancia, y proporcionar un entorno que soporte la gestión dinámica de los recursos. Para proporcionar este tipo de soporte, ARTICo3 trabaja con un espacio de soluciones formado por tres ejes fundamentales: computación, consumo energético y confiabilidad. De esta forma, cada punto de trabajo se obtiene como una solución de compromiso entre estos tres parámetros. Mediante el uso de la reconfiguración dinámica y parcial y una mejora en la transmisión de los datos entre la memoria principal y los aceleradores, es posible dedicar un número variable de recursos en el tiempo para cada tarea, lo que hace que los recursos internos de la FPGA sean virtualmente ilimitados. Este variación en el tiempo del número de recursos por tarea se puede usar bien para incrementar el nivel de paralelismo, y por ende de aceleración, o bien para aumentar la redundancia, y por lo tanto el nivel de tolerancia a fallos. Al mismo tiempo, usar un numero óptimo de recursos para una tarea mejora el consumo energético ya que bien es posible disminuir la potencia instantánea consumida, o bien el tiempo de procesamiento. Con el objetivo de mantener los niveles de complejidad dentro de unos límites lógicos, es importante que los cambios realizados en el hardware sean totalmente transparentes para el código de aplicación. A este respecto, se incluyen distintos niveles de transparencia: • Transparencia a la escalabilidad: los recursos usados por una misma tarea pueden ser modificados sin que el código de aplicación sufra ningún cambio. • Transparencia al rendimiento: el sistema aumentara su rendimiento cuando la carga de trabajo aumente, sin cambios en el código de aplicación. • Transparencia a la replicación: es posible usar múltiples instancias de un mismo módulo bien para añadir redundancia o bien para incrementar la capacidad de procesamiento. Todo ello sin que el código de aplicación cambie. • Transparencia a la posición: la posición física de los módulos hardware es arbitraria para su direccionamiento desde el código de aplicación. • Transparencia a los fallos: si existe un fallo en un módulo hardware, gracias a la redundancia, el código de aplicación tomará directamente el resultado correcto. • Transparencia a la concurrencia: el hecho de que una tarea sea realizada por más o menos bloques es transparente para el código que la invoca. Por lo tanto, esta tesis doctoral contribuye en dos líneas diferentes. En primer lugar, con el diseño de la plataforma HiReCookie y en segundo lugar con el diseño de la arquitectura ARTICo3. Las principales contribuciones de esta tesis se resumen a continuación. • Arquitectura de la HiReCookie incluyendo: o Compatibilidad con la plataforma Cookies para incrementar las capacidades de esta. o División de la arquitectura en distintas islas de alimentación. o Implementación de los diversos modos de bajo consumo y políticas de despertado del nodo. o Creación de un archivo de configuración de la FPGA comprimido para reducir el tiempo y el consumo de la configuración inicial. • Diseño de la arquitectura reconfigurable para FPGAs basadas en RAM ARTICo3: o Modelo de computación y modos de ejecución inspirados en el modelo de CUDA pero basados en hardware reconfigurable con un número variable de bloques de hilos por cada unidad de ejecución. o Estructura para optimizar las transacciones de datos en ráfaga proporcionando datos en cascada o en paralelo a los distinto módulos incluyendo un proceso de votado por mayoría y operaciones de reducción. o Capa de abstracción entre el procesador principal que incluye el código de aplicación y los recursos asignados para las diferentes tareas. o Arquitectura de los módulos hardware reconfigurables para mantener la escalabilidad añadiendo una la interfaz para las nuevas funcionalidades con un simple acceso a una memoria RAM interna. o Caracterización online de las tareas para proporcionar información a un módulo de gestión de recursos para mejorar la operación en términos de energía y procesamiento cuando además se opera entre distintos nieles de tolerancia a fallos. El documento está dividido en dos partes principales formando un total de cinco capítulos. En primer lugar, después de motivar la necesidad de nuevas plataformas para cubrir las nuevas aplicaciones, se detalla el diseño de la plataforma HiReCookie, sus partes, las posibilidades para bajar el consumo energético y se muestran casos de uso de la plataforma así como pruebas de validación del diseño. La segunda parte del documento describe la arquitectura reconfigurable, su implementación en varias FPGAs, y pruebas de validación en términos de capacidad de procesamiento y consumo energético, incluyendo cómo estos aspectos se ven afectados por el nivel de tolerancia a fallos elegido. Los capítulos a lo largo del documento son los siguientes: El capítulo 1 analiza los principales objetivos, motivación y aspectos teóricos necesarios para seguir el resto del documento. El capítulo 2 está centrado en el diseño de la plataforma HiReCookie y sus posibilidades para disminuir el consumo de energía. El capítulo 3 describe la arquitectura reconfigurable ARTICo3. El capítulo 4 se centra en las pruebas de validación de la arquitectura usando la plataforma HiReCookie para la mayoría de los tests. Un ejemplo de aplicación es mostrado para analizar el funcionamiento de la arquitectura. El capítulo 5 concluye esta tesis doctoral comentando las conclusiones obtenidas, las contribuciones originales del trabajo y resultados y líneas futuras. ABSTRACT This PhD Thesis is framed within the field of dynamically reconfigurable embedded systems, advanced sensor networks and distributed computing. The document is centred on the study of processing solutions for high-performance autonomous distributed systems (HPADS) as well as their evolution towards High performance Computing (HPC) systems. The approach of the study is focused on both platform and processor levels to optimise critical aspects such as computing performance, energy efficiency and fault tolerance. HPADS are considered feedback systems, normally networked and/or distributed, with real-time adaptive and predictive functionality. These systems, as part of more complex systems known as Cyber-Physical Systems (CPSs), can be applied in a wide range of fields such as military, health care, manufacturing, aerospace, etc. For the design of HPADS, high levels of dependability, the definition of suitable models of computation, and the use of methodologies and tools to support scalability and complexity management, are required. The first part of the document studies the different possibilities at platform design level in the state of the art, together with description, development and validation tests of the platform proposed in this work to cope with the previously mentioned requirements. The main objectives targeted by this platform design are the following: • Study the feasibility of using SRAM-based FPGAs as the main processor of the platform in terms of energy consumption and performance for high demanding applications. • Analyse and propose energy management techniques to reduce energy consumption in every stage of the working profile of the platform. • Provide a solution with dynamic partial and wireless remote HW reconfiguration (DPR) to be able to change certain parts of the FPGA design at run time and on demand without interrupting the rest of the system. • Demonstrate the applicability of the platform in different test-bench applications. In order to select the best approach for the platform design in terms of processing alternatives, a study of the evolution of the state-of-the-art platforms is required to analyse how different architectures cope with new more demanding applications and scenarios: security, mixed-critical systems for aerospace, multimedia applications, or military environments, among others. In all these scenarios, important changes in the required processing bandwidth or the complexity of the algorithms used are provoking the migration of the platforms from single microprocessor architectures to multiprocessing and heterogeneous solutions with more instant power consumption but higher energy efficiency. Within these solutions, FPGAs and Systems on Chip including FPGA fabric and dedicated hard processors, offer a good trade of among flexibility, processing performance, energy consumption and price, when they are used in demanding applications where working conditions are very likely to vary over time and high complex algorithms are required. The platform architecture proposed in this PhD Thesis is called HiReCookie. It includes an SRAM-based FPGA as the main and only processing unit. The FPGA selected, the Xilinx Spartan-6 LX150, was at the beginning of this work the best choice in terms of amount of resources and power. Although, the power levels are the lowest of these kind of devices, they can be still very high for distributed systems that normally work powered by batteries. For that reason, it is necessary to include different energy saving possibilities to increase the usability of the platform. In order to reduce energy consumption, the platform architecture is divided into different power islands so that only those parts of the systems that are strictly needed are powered on, while the rest of the islands can be completely switched off. This allows a combination of different low power modes to decrease energy. In addition, one of the most important handicaps of SRAM-based FPGAs is that they are not alive at power up. Therefore, recovering the system from a switch-off state requires to reload the FPGA configuration from a non-volatile memory device. For that reason, this PhD Thesis also proposes a methodology to compress the FPGA configuration file in order to reduce time and energy during the initial configuration process. Although some of the requirements for the design of HPADS are already covered by the design of the HiReCookie platform, it is necessary to continue improving energy efficiency, computing performance and fault tolerance. This is only possible by exploiting all the opportunities provided by the processing architectures configured inside the FPGA. Therefore, the second part of the thesis details the design of the so called ARTICo3 FPGA architecture to enhance the already intrinsic capabilities of the FPGA. ARTICo3 is a DPR-capable bus-based virtual architecture for multiple HW acceleration in SRAM-based FPGAs. The architecture provides support for dynamic resource management in real time. In this way, by using DPR, it will be possible to change the levels of computing performance, energy consumption and fault tolerance on demand by increasing or decreasing the amount of resources used by the different tasks. Apart from the detailed design of the architecture and its implementation in different FPGA devices, different validation tests and comparisons are also shown. The main objectives targeted by this FPGA architecture are listed as follows: • Provide a method based on a multithread approach such as those offered by CUDA (Compute Unified Device Architecture) or OpenCL kernel executions, where kernels are executed in a variable number of HW accelerators without requiring application code changes. • Provide an architecture to dynamically adapt working points according to either self-measured or external parameters in terms of energy consumption, fault tolerance and computing performance. Taking advantage of DPR capabilities, the architecture must provide support for a dynamic use of resources in real time. • Exploit concurrent processing capabilities in a standard bus-based system by optimizing data transactions to and from HW accelerators. • Measure the advantage of HW acceleration as a technique to boost performance to improve processing times and save energy by reducing active times for distributed embedded systems. • Dynamically change the levels of HW redundancy to adapt fault tolerance in real time. • Provide HW abstraction from SW application design. FPGAs give the possibility of designing specific HW blocks for every required task to optimise performance while some of them include the possibility of including DPR. Apart from the possibilities provided by manufacturers, the way these HW modules are organised, addressed and multiplexed in area and time can improve computing performance and energy consumption. At the same time, fault tolerance and security techniques can also be dynamically included using DPR. However, the inherent complexity of designing new HW modules for every application is not negligible. It does not only consist of the HW description, but also the design of drivers and interfaces with the rest of the system, while the design space is widened and more complex to define and program. Even though the tools provided by the majority of manufacturers already include predefined bus interfaces, commercial IPs, and templates to ease application prototyping, it is necessary to improve these capabilities. By adding new architectures on top of them, it is possible to take advantage of parallelization and HW redundancy while providing a framework to ease the use of dynamic resource management. ARTICo3 works within a solution space where working points change at run time in a 3D space defined by three different axes: Computation, Consumption, and Fault Tolerance. Therefore, every working point is found as a trade-off solution among these three axes. By means of DPR, different accelerators can be multiplexed so that the amount of available resources for any application is virtually unlimited. Taking advantage of DPR capabilities and a novel way of transmitting data to the reconfigurable HW accelerators, it is possible to dedicate a dynamically-changing number of resources for a given task in order to either boost computing speed or adding HW redundancy and a voting process to increase fault-tolerance levels. At the same time, using an optimised amount of resources for a given task reduces energy consumption by reducing instant power or computing time. In order to keep level complexity under certain limits, it is important that HW changes are transparent for the application code. Therefore, different levels of transparency are targeted by the system: • Scalability transparency: a task must be able to expand its resources without changing the system structure or application algorithms. • Performance transparency: the system must reconfigure itself as load changes. • Replication transparency: multiple instances of the same task are loaded to increase reliability and performance. • Location transparency: resources are accessed with no knowledge of their location by the application code. • Failure transparency: task must be completed despite a failure in some components. • Concurrency transparency: different tasks will work in a concurrent way transparent to the application code. Therefore, as it can be seen, the Thesis is contributing in two different ways. First with the design of the HiReCookie platform and, second with the design of the ARTICo3 architecture. The main contributions of this PhD Thesis are then listed below: • Architecture of the HiReCookie platform including: o Compatibility of the processing layer for high performance applications with the Cookies Wireless Sensor Network platform for fast prototyping and implementation. o A division of the architecture in power islands. o All the different low-power modes. o The creation of the partial-initial bitstream together with the wake-up policies of the node. • The design of the reconfigurable architecture for SRAM FPGAs: ARTICo3: o A model of computation and execution modes inspired in CUDA but based on reconfigurable HW with a dynamic number of thread blocks per kernel. o A structure to optimise burst data transactions providing coalesced or parallel data to HW accelerators, parallel voting process and reduction operation. o The abstraction provided to the host processor with respect to the operation of the kernels in terms of the number of replicas, modes of operation, location in the reconfigurable area and addressing. o The architecture of the modules representing the thread blocks to make the system scalable by adding functional units only adding an access to a BRAM port. o The online characterization of the kernels to provide information to a scheduler or resource manager in terms of energy consumption and processing time when changing among different fault-tolerance levels, as well as if a kernel is expected to work in the memory-bounded or computing-bounded areas. The document of the Thesis is divided into two main parts with a total of five chapters. First, after motivating the need for new platforms to cover new more demanding applications, the design of the HiReCookie platform, its parts and several partial tests are detailed. The design of the platform alone does not cover all the needs of these applications. Therefore, the second part describes the architecture inside the FPGA, called ARTICo3, proposed in this PhD Thesis. The architecture and its implementation are tested in terms of energy consumption and computing performance showing different possibilities to improve fault tolerance and how this impact in energy and time of processing. Chapter 1 shows the main goals of this PhD Thesis and the technology background required to follow the rest of the document. Chapter 2 shows all the details about the design of the FPGA-based platform HiReCookie. Chapter 3 describes the ARTICo3 architecture. Chapter 4 is focused on the validation tests of the ARTICo3 architecture. An application for proof of concept is explained where typical kernels related to image processing and encryption algorithms are used. Further experimental analyses are performed using these kernels. Chapter 5 concludes the document analysing conclusions, comments about the contributions of the work, and some possible future lines for the work.

Finite Element Model of the Innovation Diffusion: An Application to Photovoltaic Systems

This paper presents a Finite Element Model, which has been used for forecasting the diffusion of innovations in time and space. Unlike conventional models used in diffusion literature, the model considers the spatial heterogeneity. The implementation steps of the model are explained by applying it to the case of diffusion of photovoltaic systems in a local region in southern Germany. The applied model is based on a parabolic partial differential equation that describes the diffusion ratio of photovoltaic systems in a given region over time. The results of the application show that the Finite Element Model constitutes a powerful tool to better understand the diffusion of an innovation as a simultaneous space-time process. For future research, model limitations and possible extensions are also discussed.

Implementing fully homomorphic encryption schemes in FPGA-based systems

LLas nuevas tecnologías orientadas a la nube, el internet de las cosas o las tendencias "as a service" se basan en el almacenamiento y procesamiento de datos en servidores remotos. Para garantizar la seguridad en la comunicación de dichos datos al servidor remoto, y en el manejo de los mismos en dicho servidor, se hace uso de diferentes esquemas criptográficos. Tradicionalmente, dichos sistemas criptográficos se centran en encriptar los datos mientras no sea necesario procesarlos (es decir, durante la comunicación y almacenamiento de los mismos). Sin embargo, una vez es necesario procesar dichos datos encriptados (en el servidor remoto), es necesario desencriptarlos, momento en el cual un intruso en dicho servidor podría a acceder a datos sensibles de usuarios del mismo. Es más, este enfoque tradicional necesita que el servidor sea capaz de desencriptar dichos datos, teniendo que confiar en la integridad de dicho servidor de no comprometer los datos. Como posible solución a estos problemas, surgen los esquemas de encriptación homomórficos completos. Un esquema homomórfico completo no requiere desencriptar los datos para operar con ellos, sino que es capaz de realizar las operaciones sobre los datos encriptados, manteniendo un homomorfismo entre el mensaje cifrado y el mensaje plano. De esta manera, cualquier intruso en el sistema no podría robar más que textos cifrados, siendo imposible un robo de los datos sensibles sin un robo de las claves de cifrado. Sin embargo, los esquemas de encriptación homomórfica son, actualmente, drás-ticamente lentos comparados con otros esquemas de encriptación clásicos. Una op¬eración en el anillo del texto plano puede conllevar numerosas operaciones en el anillo del texto encriptado. Por esta razón, están surgiendo distintos planteamientos sobre como acelerar estos esquemas para un uso práctico. Una de las propuestas para acelerar los esquemas homomórficos consiste en el uso de High-Performance Computing (HPC) usando FPGAs (Field Programmable Gate Arrays). Una FPGA es un dispositivo semiconductor que contiene bloques de lógica cuya interconexión y funcionalidad puede ser reprogramada. Al compilar para FPGAs, se genera un circuito hardware específico para el algorithmo proporcionado, en lugar de hacer uso de instrucciones en una máquina universal, lo que supone una gran ventaja con respecto a CPUs. Las FPGAs tienen, por tanto, claras difrencias con respecto a CPUs: -Arquitectura en pipeline: permite la obtención de outputs sucesivos en tiempo constante -Posibilidad de tener multiples pipes para computación concurrente/paralela. Así, en este proyecto: -Se realizan diferentes implementaciones de esquemas homomórficos en sistemas basados en FPGAs. -Se analizan y estudian las ventajas y desventajas de los esquemas criptográficos en sistemas basados en FPGAs, comparando con proyectos relacionados. -Se comparan las implementaciones con trabajos relacionados New cloud-based technologies, the internet of things or "as a service" trends are based in data storage and processing in a remote server. In order to guarantee a secure communication and handling of data, cryptographic schemes are used. Tradi¬tionally, these cryptographic schemes focus on guaranteeing the security of data while storing and transferring it, not while operating with it. Therefore, once the server has to operate with that encrypted data, it first decrypts it, exposing unencrypted data to intruders in the server. Moreover, the whole traditional scheme is based on the assumption the server is reliable, giving it enough credentials to decipher data to process it. As a possible solution for this issues, fully homomorphic encryption(FHE) schemes is introduced. A fully homomorphic scheme does not require data decryption to operate, but rather operates over the cyphertext ring, keeping an homomorphism between the cyphertext ring and the plaintext ring. As a result, an outsider could only obtain encrypted data, making it impossible to retrieve the actual sensitive data without its associated cypher keys. However, using homomorphic encryption(HE) schemes impacts performance dras-tically, slowing it down. One operation in the plaintext space can lead to several operations in the cyphertext space. Because of this, different approaches address the problem of speeding up these schemes in order to become practical. One of these approaches consists in the use of High-Performance Computing (HPC) using FPGAs (Field Programmable Gate Array). An FPGA is an integrated circuit designed to be configured by a customer or a designer after manufacturing - hence "field-programmable". Compiling into FPGA means generating a circuit (hardware) specific for that algorithm, instead of having an universal machine and generating a set of machine instructions. FPGAs have, thus, clear differences compared to CPUs: - Pipeline architecture, which allows obtaining successive outputs in constant time. -Possibility of having multiple pipes for concurrent/parallel computation. Thereby, In this project: -We present different implementations of FHE schemes in FPGA-based systems. -We analyse and study advantages and drawbacks of the implemented FHE schemes, compared to related work.

Kinematic geometry of mass-triangles and reduction of Schrödinger’s equation of three-body systems to partial differential equations solely defined on triangular parameters

Schrödinger’s equation of a three-body system is a linear partial differential equation (PDE) defined on the 9-dimensional configuration space, ℝ9, naturally equipped with Jacobi’s kinematic metric and with translational and rotational symmetries. The natural invariance of Schrödinger’s equation with respect to the translational symmetry enables us to reduce the configuration space to that of a 6-dimensional one, while that of the rotational symmetry provides the quantum mechanical version of angular momentum conservation. However, the problem of maximizing the use of rotational invariance so as to enable us to reduce Schrödinger’s equation to corresponding PDEs solely defined on triangular parameters—i.e., at the level of ℝ6/SO(3)—has never been adequately treated. This article describes the results on the orbital geometry and the harmonic analysis of (SO(3),ℝ6) which enable us to obtain such a reduction of Schrödinger’s equation of three-body systems to PDEs solely defined on triangular parameters.

Biological stress systems, adverse life events and the onset of chronic multisite musculoskeletal pain : a 6-year cohort study

Published by the BMJ Publishing Group Limited. For permission to use (where not already granted under a licence) please go to http://group.bmj.com/group/rights-licensing/permissions.

Extension of the thermodynamics of small systems to open metastable states: An example

By using a simplified model of small open liquid-like clusters with surface effects, in the gas phase, it is shown how the statistical thermodynamics of small systems can be extended to include metastable supersaturated gaseous states not too far from the gas–liquid equilibrium transition point. To accomplish this, one has to distinguish between mathematical divergence and physical convergence of the open-system partition function.

On the controllability of distributed systems

To “control” a system is to make it behave (hopefully) according to our “wishes,” in a way compatible with safety and ethics, at the least possible cost. The systems considered here are distributed—i.e., governed (modeled) by partial differential equations (PDEs) of evolution. Our “wish” is to drive the system in a given time, by an adequate choice of the controls, from a given initial state to a final given state, which is the target. If this can be achieved (respectively, if we can reach any “neighborhood” of the target) the system, with the controls at our disposal, is exactly (respectively, approximately) controllable. A very general (and fuzzy) idea is that the more a system is “unstable” (chaotic, turbulent) the “simplest,” or the “cheapest,” it is to achieve exact or approximate controllability. When the PDEs are the Navier–Stokes equations, it leads to conjectures, which are presented and explained. Recent results, reported in this expository paper, essentially prove the conjectures in two space dimensions. In three space dimensions, a large number of new questions arise, some new results support (without proving) the conjectures, such as generic controllability and cases of decrease of cost of control when the instability increases. Short comments are made on models arising in climatology, thermoelasticity, non-Newtonian fluids, and molecular chemistry. The Introduction of the paper and the first part of all sections are not technical. Many open questions are mentioned in the text.

Ecological intensification of cereal production systems: Yield potential, soil quality, and precision agriculture

Wheat (Triticum aestivum L.), rice (Oryza sativa L.), and maize (Zea mays L.) provide about two-thirds of all energy in human diets, and four major cropping systems in which these cereals are grown represent the foundation of human food supply. Yield per unit time and land has increased markedly during the past 30 years in these systems, a result of intensified crop management involving improved germplasm, greater inputs of fertilizer, production of two or more crops per year on the same piece of land, and irrigation. Meeting future food demand while minimizing expansion of cultivated area primarily will depend on continued intensification of these same four systems. The manner in which further intensification is achieved, however, will differ markedly from the past because the exploitable gap between average farm yields and genetic yield potential is closing. At present, the rate of increase in yield potential is much less than the expected increase in demand. Hence, average farm yields must reach 70–80% of the yield potential ceiling within 30 years in each of these major cereal systems. Achieving consistent production at these high levels without causing environmental damage requires improvements in soil quality and precise management of all production factors in time and space. The scope of the scientific challenge related to these objectives is discussed. It is concluded that major scientific breakthroughs must occur in basic plant physiology, ecophysiology, agroecology, and soil science to achieve the ecological intensification that is needed to meet the expected increase in food demand.

Feasibility of Soil Vapor Extraction Systems in Low Permeability Soils

Soil vapor extraction (SVE)systems can be used to remediate enviornmental sites that have been contaminated with petroleum products. However, SVE systems rely on pore space in soils to draw the vapors through the soil, creating a vacuum. Therefore, SVE systems are not as effective when used in low permeability soils. This study aims to determine whether SVE systems can be used on low permeability soils in conjunction with companion technologies. The results indicate that SVE systems can be utilized in low permeability soils if used in conjunction with companion technologies that increase soil permeability and cantaminant volatilization. The promising companion technology is six-phase soil heating, based on contamination removal rate and cost estimates.

Enhancing QA systems with complex temporal question processing capabilities

This paper presents a multilayered architecture that enhances the capabilities of current QA systems and allows different types of complex questions or queries to be processed. The answers to these questions need to be gathered from factual information scattered throughout different documents. Specifically, we designed a specialized layer to process the different types of temporal questions. Complex temporal questions are first decomposed into simple questions, according to the temporal relations expressed in the original question. In the same way, the answers to the resulting simple questions are recomposed, fulfilling the temporal restrictions of the original complex question. A novel aspect of this approach resides in the decomposition which uses a minimal quantity of resources, with the final aim of obtaining a portable platform that is easily extensible to other languages. In this paper we also present a methodology for evaluation of the decomposition of the questions as well as the ability of the implemented temporal layer to perform at a multilingual level. The temporal layer was first performed for English, then evaluated and compared with: a) a general purpose QA system (F-measure 65.47% for QA plus English temporal layer vs. 38.01% for the general QA system), and b) a well-known QA system. Much better results were obtained for temporal questions with the multilayered system. This system was therefore extended to Spanish and very good results were again obtained in the evaluation (F-measure 40.36% for QA plus Spanish temporal layer vs. 22.94% for the general QA system).

Quantitative stability of linear infinite inequality systems under block perturbations with applications to convex systems

The original motivation for this paper was to provide an efficient quantitative analysis of convex infinite (or semi-infinite) inequality systems whose decision variables run over general infinite-dimensional (resp. finite-dimensional) Banach spaces and that are indexed by an arbitrary fixed set J. Parameter perturbations on the right-hand side of the inequalities are required to be merely bounded, and thus the natural parameter space is l ∞(J). Our basic strategy consists of linearizing the parameterized convex system via splitting convex inequalities into linear ones by using the Fenchel–Legendre conjugate. This approach yields that arbitrary bounded right-hand side perturbations of the convex system turn on constant-by-blocks perturbations in the linearized system. Based on advanced variational analysis, we derive a precise formula for computing the exact Lipschitzian bound of the feasible solution map of block-perturbed linear systems, which involves only the system’s data, and then show that this exact bound agrees with the coderivative norm of the aforementioned mapping. In this way we extend to the convex setting the results of Cánovas et al. (SIAM J. Optim. 20, 1504–1526, 2009) developed for arbitrary perturbations with no block structure in the linear framework under the boundedness assumption on the system’s coefficients. The latter boundedness assumption is removed in this paper when the decision space is reflexive. The last section provides the aimed application to the convex case.