El cálculo diferencial y el problema isoperimétrico

Hemos dejado para el final aquella resolución por la que comienza la mayoría del profesorado de matemáticas: la basada en el uso del cálculo diferencial. Siempre que hemos propuesto el problema que planteábamos en la primera entrega en algún curso o seminario, la forma de abordarlo ha sido echando mano de las derivadas para la búsqueda de extremos de determinada función área. Como se habla de enmarcar un cuadro de 3 m de perímetro, siempre han comenzado pensando en formas rectangulares, por lo que el problema que se planteaban solía ser el siguiente: entre todos los rectángulos de igual perímetro P, el cuadrado de lado P/4 es el que encierra la mayor área.

Isoperímetros: el problema de la existencia de solución en el problema isoperimétrico

A lo largo de la historia han existido una serie de problemas que han intrigado, a la vez, frustrado los matemáticos de todos los tiempos. Algunos de ellos siguen sin resolverse y otros como problemas isoperimétricos del que venimos preocupándonos desde el número 33 de suma tan sencillo de enunciar y sin embargo tan difícil de demostrar, se resolvieron tras siglos de esfuerzo. Cuando decimos anterior lo hacemos teniendo muy en cuenta lo que tal afirmación significa. Es decir, resolver un problema no consiste sólo en dar una solución sino demostrar que tal solución existe. De esta cuestión nos ocupamos ahora.

Un gran matemático

El número 19 de la renovada revista SIGMA (septiembre de 2001), que anima desde Bilbao Santiago Fernández, incluye un artículo de Julián Aguirre: «Todo lo que siempre quisiste saber sobre π». Se trata de un atractivo paseo histórico por el problema de la cuadratura del círculo y los valores que las distintas civilizaciones han ido asignando a ese «número-letra», así como por los métodos empleados para obtenerlos. Por lo que al mundo árabe se refiere sólo aparecen las aproximaciones utilizadas por el inevitable al-Jwarizmi. Aprovechamos esta excusa para dedicar este artículo a un matemático que atrajo nuestro interés, en un primer momento, precisamente por su aproximación de π.

El problema isoperimétrico y el cálculo de variaciones

¿cuál es el camino más corto entre dos puntos del plano? ¿Y del espacio? ¿Y sobre una superficie cualquiera? ¿Qué forma tiene el tobogán más rápido? ¿Cuál es la curva plana que encierra mayor área entre todas las que tienen una misma longitud?

Isoperímetros:El panal de abejas y Fejes Toth

Demos un gran salto en el tiempo. En números anteriores narramos los avatares del problema isoperimétrico en Grecia y en los países islámicos medievales, respectivamente. Retomemos el enfoque dado por Pappus con el que llegó a la conclusión de que, para un área dada, el perímetro del hexágono regular es menor que el del cuadrado o el del triángulo equilátero, por lo que si el problema se plantea sobre una teselación regular del plano, un trozo finito del teselado regular hecho con hexágonos regulares es el que requiere menor perímetro. Bueno, aún no podemos detenernos porque hemos de hacer la demostración de la proposición de Pappus en 3D. El conocido MacLaurin (1698-1746), profesor de Aberdeen y Edimburgo, utilizó el método que a continuación presentamos. Lo hizo para poner de manifiesto la capacidad de la Geometría clásica como fuente de investigación en cualquier momento (conviene recordar que MacLaurin estaba centrado en analizar las posibilidades de los métodos infinitesimales que en su época emergían, lo que demostró sobradamente con su Treatise of Fluxions).

El año mundial de las matemáticas: una valoración

La comisión permanente del comité español del año mundial de las matemáticas 2000 reflexiona sobre el significado de las Matemáticas y su situación actual en España, así como sobre lo que ha supuesto la celebración de este año.

Isoperímetros: ficha didáctica en geometría. Métodos trigonométricos

En la entrega del N° 35 nos preguntábamos si la evolución histórica del problema nos podría servir de guía para planificar una actuación en clase, siguiendo el modelo Van Hiele. ¿Cómo describir este modelo en pocas líneas?

Isoperímetros en la Grecia antigua

Ser demostrado, no solamente por Aristóteles, sino por Arquímedes y Zenodoro, que entre las figuras isoperimetricas, la mayor es entre las planas el círculo, y entre los sólidos la esfera.

El problema isoperimétrico en la arquitectura, literatura, música…, en la naturaleza

Siempre me ha interesado la historia de las matemáticas cuando la resolución de problemas ha sido su columna vertebral. Ahora que estamos en el 2000, tenemos muy presente aquella famosa lista de 23 problemas dados por Hilbert hace 100 años.

What serious game studios want from ICT research: identifying developers’ needs

Although many scholars recognise the great potential of games for teaching and learning, the EU-based industry for such “serious” games” is highly fragmented and its growth figures remain well behind those of the leisure game market. Serious gaming has been designated as a priority area by the European Commission in its Horizon 2020 Framework Programme for Research and Innovation. The RAGE project, which is funded as part of the Horizon 2020 Programme, is a technology-driven research and innovation project that will make available a series of self-contained gaming software modules that support game studios in the development of serious games. As game studios are a critical factor in the uptake of serious games, the RAGE projects will base its work on their views and needs as to achieve maximum impact. This paper presents the results of a survey among European game studios about their development related needs and expectations. The survey is aimed at identifying a baseline reference for successfully supporting game studios with advanced ICTs for serious games.

Las familias "Baeomycetaceae" e I"Icmadophilaceae" en la Península Ibérica

Se aportan datos morfológicos, químicos y de distribución de seis especies de las familias Baeomycetaceae (Baeomyces) e Icmadophilaceae (Dibaeis, Icmadophila, Thamnolia) presentes en la Península Ibérica. Se publican numerosas nuevas citas de Baeomyces rufus y de Dibaeis baeomyces, que constituyen las especies más frecuentes y abundantes en la península.

Floristic notes of Sierra del Rincón Biosphere Reserve (Spain, Madrid province)

New records of vascular plants from Sierra del Rincón Biosphere Reserve and surroundings (Spain, Madrid province) are provided. It is noteworthy the presence of atlantic flora in this continental area and the different shrubby communities in different sectors with different litology: in areas with gneiss they are dominated by leguminous genisteae; where it is schistous, shale or quartzite they are heathlands.

Contribution to the knowlegde of Galician xenoflora (NW Iberian Peninsula, Spain).

Information on 12 exotic plants of diverse interest for the Galician flora are presented. All of them were collected in Ribeira council (SW of the A Coruña province). The total includes 8 novelties at a regional level (Aeonium haworthii, Aloe mitriformis, Brugmansia × candida, Nephrolepis cordifolia, Osteospermum ecklonis, Pelargonium capitatum, Sedum mexicanum, Sparaxis tricolor), and 2 provincial novelties. In addition, information on two taxa hardly mentioned in the literature on Galician vascular flora is also included. All the cited specimens are deposited at the SANT Herbarium.

Diversity of functional groups in the vegetation sandy seashore of the Grande, Anclitas and Caguamas Cays (Jardines de la Reina Archipelago, Cuba)

Sandy shores are known to be extreme ecosystems where the vegetation has evolved many morphological and physiological adaptations for its survival. With the aim of identify possible relationships between the vegetation´s functional diversity with abiotic factors and its corresponding quantification, we collected data on the abundance and richness of the sandy coast vegetation complex in Grande, Anclitas and Caguamas keys. Its flora is largely characterized by the dominance of hemicryptophytes and chamaephytes plants with nanophyllous leaves and displaying dispersal syndromes such as zoochory and anemochory. However, the functional groups´ richness, in the present study, varies from one key to another. Functional diversity is similar between the wet and dry seasons, and its spatial variation is influenced by the interplay of the set of abiotic factors herein studied.

Botany origin and protein content of homemade honeys from Galicia hives (NW Spain)

The botanic origin and the protein content of 15 honeys from small bee farms exploitations of Galicia, for family consume, were studied; the aim is to check if the protein wealth and the pollen wealth are dependent parameters. Seven honeys resulted to be Rhamnus frangula unifloral (pollen patterns with low diversity), two Castanea sativa Miller unifloral, other one heather unifloral, and five was multifloral honeys of various pollen patterns (four Castanea predominant and one Rhamnus frangula predominant). Their pollen wealth was low; eight honeys classified in the Maurizio Class I, 3 in Class II, 2 in Class III, and one in Maurizio Class IV. There has been a wide variability in its protein content (0.09- 4.83 mg prot./g honey). The relative amount of pollen from different taxa has a direct or inverse proportionality to wealth protein.