On the Cesari fixed point method in a Banach space

In a paper published in 1961, L. Cesari [1] introduces a method which extends certain earlier existence theorems of Cesari and Hale ([2] to [6]) for perturbation problems to strictly nonlinear problems. Various authors ([1], [7] to [15]) have now applied this method to nonlinear ordinary and partial differential equations. The basic idea of the method is to use the contraction principle to reduce an infinite-dimensional fixed point problem to a finite-dimensional problem which may be attacked using the methods of fixed point indexes.

The following is my formulation of the Cesari fixed point method:

Let B be a Banach space and let S be a finite-dimensional linear subspace of B. Let P be a projection of B onto S and suppose Г≤B such that pГ is compact and such that for every x in PГ, P^-1x∩Г is closed. Let W be a continuous mapping from Г into B. The Cesari method gives sufficient conditions for the existence of a fixed point of W in Г.

Let I denote the identity mapping in B. Clearly y = Wy for some y in Г if and only if both of the following conditions hold:

(i) Py = PWy.

(ii) y = (P + (I - P)W)y.

Definition. The Cesari fixed paint method applies to (Г, W, P) if and only if the following three conditions are satisfied:

(1) For each x in PГ, P + (I - P)W is a contraction from P^-1x∩Г into itself. Let y(x) be that element (uniqueness follows from the contraction principle) of P^-1x∩Г which satisfies the equation y(x) = Py(x) + (I-P)Wy(x).

(2) The function y just defined is continuous from PГ into B.

(3) There are no fixed points of PWy on the boundary of PГ, so that the (finite- dimensional) fixed point index i(PWy, int PГ) is defined.

Definition. If the Cesari fixed point method applies to (Г, W, P) then define i(Г, W, P) to be the index i(PWy, int PГ).

The three theorems of this thesis can now be easily stated.

Theorem 1 (Cesari). If i(Г, W, P) is defined and i(Г, W, P) ≠0, then there is a fixed point of W in Г.

Theorem 2. Let the Cesari fixed point method apply to both (Г, W, P₁) and (Г, W, P₂). Assume that P₂P₁=P₁P₂=P₁ and assume that either of the following two conditions holds:

(1) For every b in B and every z in the range of P₂, we have that ‖b=P₂b‖ ≤ ‖b-z‖

(2)P₂Г is convex.

Then i(Г, W, P₁) = i(Г, W, P₂).

Theorem 3. If Ω is a bounded open set and W is a compact operator defined on Ω so that the (infinite-dimensional) Leray-Schauder index i_LS(W, Ω) is defined, and if the Cesari fixed point method applies to (Ω, W, P), then i(Ω, W, P) = i_LS(W, Ω).

Theorems 2 and 3 are proved using mainly a homotopy theorem and a reduction theorem for the finite-dimensional and the Leray-Schauder indexes. These and other properties of indexes will be listed before the theorem in which they are used.

Gerenciamento de resíduos químicos em ambientes hospitalares: necessidades e dificuldades - estudo de caso: Hospital Universitário Federal localizado no Estado do Rio de Janeiro.

O tema do presente estudo é o gerenciamento de resíduos químicos em ambientes hospitalares. Os resíduos químicos são gerados nas atividades auxiliares dos estabelecimentos prestadores de serviços de saúde, tais como hospitais, laboratórios, serviços de diagnóstico e tratamento, centros de saúde, clínicas, institutos de medicina legal e outros. Dentre todos, os hospitais, por suas características de atendimento, são, sem dúvida, os maiores geradores deste tipo de resíduo. Controlar e diminuir os riscos inerentes a este tipo de resíduos, além de ser uma exigência legal, passa a ser uma necessidade ambiental e um desafio a ser enfrentado pelos administradores de estabelecimentos assistenciais à saúde. O objetivo geral desta pesquisa passa então por avaliar o gerenciamento dos resíduos químicos gerados nos hospitais públicos da região metropolitana do Estado do Rio de Janeiro, abordando às necessidades e dificuldades enfrentadas por estes geradores que incluí aspectos políticos, administrativos, econômicos e em alguns casos físico-estruturais. Para atingir tal objetivo o método empregado foi dividido em duas etapas: I) Pesquisa Aplicada, onde foram visitados alguns hospitais públicos do Estado e utilizou-se um questionário para avaliar as questões relacionadas com o gerenciamento de resíduos químicos e II) Estudo de Caso, onde se considerou, através de observações e entrevistas, o gerenciamento de resíduos químicos de um hospital universitário de grande porte de maneira efetiva. Foram utilizadas como fontes secundárias informações obtidas em seminários relacionados ao tema, reportagens de jornais e entrevistas publicadas em fontes especializadas. Os resultados obtidos mostram que as dificuldades enfrentadas no gerenciamento de RSS, inclusos neste grupo os resíduos químicos, é uma realidade para a maioria dos hospitais da rede pública. Conclusão: o maior problema a ser enfrentado por estas instituições está diretamente ligado à conscientização, ou melhor, a falta de conscientização, de funcionários, médicos e gerência dos hospitais, quanto à importância da correta segregação, armazenagem e manuseio destes resíduos. Além disso, a falta de recursos financeiros e, em alguns casos, até de espaço físico também dificulta o efetivo gerenciamento deste tipo de resíduos. Problemas secundários relacionam-se com a falta de fiscalização dos órgãos sanitário-ambientais competentes e o descaso da própria população que não atenta para os problemas ambientais e de saúde e segurança, decorrentes de um incorreto gerenciamento não só dos resíduos químicos, mas de todos os resíduos de serviço de saúde. Como recomendação, pode-se dizer que se faz necessária uma maior mobilização por parte dos estabelecimentos hospitalares para a discussão e atendimento das legislações aplicáveis e também, o desenvolvimento de uma estrutura gerencial com responsabilidades definidas e ações planejadas, compatíveis com a realidade do serviço público, e que possam levar a alcançar os objetivos e metas de um gerenciamento dos resíduos de serviço de saúde.

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