La formula di Eulero per i poliedri fra storia e didattica

Questa tesi riguarda la formula di Eulero per i poliedri: F - S + V = 2 dove F indica il numero di facce, S il numero di spigoli e V quello dei vertici di un poliedro. Nel primo capitolo tratteremo i risultati ottenuti da Cartesio: egli fu il primo a considerare non solo le caratteristiche geometriche ma anche metriche di un solido. Partendo dall'analogia con le figure piane, riuscì a ricavare importanti relazioni nei solidi convessi, riguardanti il numero e la misura degli angoli piani, degli angoli solidi e delle facce. Non arrivò mai alla formulazione conosciuta oggi ma ne intuì le caratteristiche topologiche, che però non dimostrò mai. Nel secondo capitolo invece ci occuperemo di ciò che scoprì Eulero. Il manoscritto contenente i risultati di Cartesio era scomparso e quindi questi non erano più conosciuti dai matematici; Eulero, in accordo con quanto avviene per i poligoni, desiderava ottenere un metodo di classificazione per i poliedri e si mise a studiare le loro proprietà. Oltre alla sua formula, in un primo articolo ricavò importanti relazioni, e in un secondo lavoro ne propose una dimostrazione. Riportiamo in breve anche un confronto tra il lavoro di Cartesio e quello di Eulero. Il terzo capitolo invece riguarda il metodo e il rigore nella formulazione di teoremi e dimostrazioni: I. Lakatos ne fa un esame critico nel libro "Dimostrazioni e Confutazioni - la logica della scoperta matematica", simulando una lezione dove a tema compaiono la Formula di Eulero e le sue dimostrazioni. Noi cercheremo di analizzare questo suo lavoro. Su questi tre autori e i loro lavori riportiamo alcune considerazioni biografiche e storiche che possono offrire interessanti spunti didattici: infatti nel quarto e ultimo capitolo ci occuperemo di alcune considerazioni didattiche a proposito della Formula. La struttura sarà quella di un'ipotetica lezione a studenti di Scuola Media Inferiore e utilizzeremo i risultati ottenuti nei precedenti capitoli e una personale esperienza di tirocinio.

Origini del calcolo delle probabilità e applicazioni alla valutazione del prezzo equo di un guadagno incerto

Sfruttando un approccio di tipo ordinale all'utilità è possibile semplificare notevolmente la teoria dell'asset prices. Rappresentando le distribuzioni di probabilità attraverso i suoi momenti (non soffermandoci solo ai primi due), si riesce infatti ad ottenere una miglior valutazione dei singoli assets, portando ad un effettivo miglioramento delle performance del portafoglio.

Il Compressed Sensing

Introduzione al metodo del Compressed Sensing per il campionamento di segnali sparsi.

Identificazione di un metodo statistico per la descrizione della popolazione di residui dello sparo da inneschi innovativi

La tesi, in collaborazione con il Maggiore Donghi del reparto di Balistica del RIS di Parma, individua un metodo statistico di descrizione della popolazione di particelle residue dello sparo, attraverso numerose sperimentazioni effettuate con inneschi innovativi. Lo studio propone la comparazione degli inneschi utilizzati e i successivi confronti tra i GSR rinvenuti sulle mani dello sparatore e le famiglie di inneschi utilizzati.

Algoritmi di regolarizzazione con variazione totale nella ricostruzione di immagini di tomosintesi

La tomografia computerizzata (CT) è una metodica di diagnostica per immagini che consiste in una particolare applicazione dei raggi X. Essa, grazie ad una valutazione statistico-matematica (computerizzata) dell'assorbimento di tali raggi da parte delle strutture corporee esaminate, consente di ottenere immagini di sezioni assiali del corpo umano. Nonostante le dosi di radiazioni somministrate durante un esame siano contenute, questa tecnica rimane sconsigliata per pazienti sensibili, perciò nasce il tentativo della tomosintesi: ottenere lo stesso risultato della CT diminuendo le dosi somministrate. Infatti un esame di tomosintesi richiede poche proiezioni distribuite su un range angolare di appena 40°. Se da una parte la possibilità di una ingente diminuzione di dosi e tempi di somministrazione costituisce un grosso vantaggio dal punto di vista medico-diagnostico, dal punto di vista matematico esso comporta un nuovo problema di ricostruzione di immagini: infatti non è banale ottenere risultati validi come per la CT con un numero basso di proiezioni,cosa che va a infierire sulla mal posizione del problema di ricostruzione. Un possibile approccio al problema della ricostruzione di immagini è considerarlo un problema inverso mal posto e studiare tecniche di regolarizzazione opportune. In questa tesi viene discussa la regolarizzazione tramite variazione totale: verranno presentati tre algoritmi che implementano questa tecnica in modi differenti. Tali algoritmi verranno mostrati dal punto di vista matematico, dimostrandone ben posizione e convergenza, e valutati dal punto di vista qualitativo, attraverso alcune immagini ricostruite. Lo scopo è quindi stabilire se ci sia un metodo più vantaggioso e se si possano ottenere buoni risultati in tempi brevi, condizione necessaria per una applicazione diffusa della tomosintesi a livello diagnostico. Per la ricostruzione si è fatto riferimento a problemi-test cui è stato aggiunto del rumore, così da conoscere l'immagine originale e poter vedere quanto la ricostruzione sia ad essa fedele. Il lavoro principale dunque è stata la sperimentazione degli algoritmi su problemi test e la valutazione dei risultati, in particolare per gli algoritmi SGP e di Vogel, che in letteratura sono proposti per problemi di image deblurring.

Statistica degli eventi rari nei sistemi dinamici

La teoria dei sistemi dinamici studia l'evoluzione nel tempo dei sistemi fisici e di altra natura. Nonostante la difficoltà di assegnare con esattezza una condizione iniziale (fatto che determina un non-controllo della dinamica del sistema), gli strumenti della teoria ergodica e dello studio dell'evoluzione delle densità di probabilità iniziali dei punti del sistema (operatore di Perron-Frobenius), ci permettono di calcolare la probabilità che un certo evento E (che noi definiamo come evento raro) accada, in particolare la probabilità che il primo tempo in cui E si verifica sia n. Abbiamo studiato i casi in cui l'evento E sia definito da una successione di variabili aleatorie (prima nel caso i.i.d, poi nel caso di catene di Markov) e da una piccola regione dello spazio delle fasi da cui i punti del sistema possono fuoriuscire (cioè un buco). Dagli studi matematici sui sistemi aperti condotti da Keller e Liverani, si ricava una formula esplicita del tasso di fuga nella taglia del buco. Abbiamo quindi applicato questo metodo al caso in cui l'evento E sia definito dai punti dello spazio in cui certe osservabili assumono valore maggiore o uguale a un dato numero reale a, per ricavare l'andamento asintotico in n della probabilità che E non si sia verificato al tempo n, al primo ordine, per a che tende all'infinito.

Metodi di tipo level set per la segmentazione di immagini di nevi

La tesi in oggetto propone un algoritmo che viene incontro alla necessità di segmentare in modo regolare immagini di nevi. Si è fatto uso di metodi level set region-based in una formulazione variazionale. Tale metodo ha permesso di ottenere una segmentazione precisa, adattabile a immagini di nevi con caratteristiche molto diverse ed in tempi computazionali molto bassi.

Nuovi metodi di analisi di dati epigenetici per la previsione dell'età del paziente

Analizzeremo dati di metilazione di diversi gruppi di pazienti, mettendoli in relazione con le loro età, intesa in senso anagrafico e biologico. Adatteremo metodi di regressione che sono già stati usati in altri studi, in particolare di tipo statistico, cercando di migliorarli e proveremo ad applicare a questi dati anche dei metodi nuovi, non solo di tipo statistico. La nostra analisi vuole essere innovativa soprattutto perché, oltre a guardare i dati in maniera locale attraverso lo studio della metilazione di particolari sequenze genetiche più o meno note per essere collegate all’invecchiamento, andremo a considerare i dati anche in maniera globale, analizzando le proprietà della distribuzione di tutti i valori di metilazione di un paziente attraverso la trasformata di Fourier.

Statistical arbitrage on commodities

Questa tesi è incentrata sull'analisi dell'arbitraggio statistico, strategia di trading che cerca di trarre profitto dalle fluttuazioni statistiche di prezzo di uno o più asset sulla base del loro valore atteso. In generale, si creano opportunità di arbitraggio statistico quando si riescono ad individuare delle componenti sistematiche nelle dinamiche dei prezzi di alcuni asset che si muovono con regolarità persistenti e prevalenti. Perturbazioni casuali della domanda e dell’offerta nei mercati possono causare divergenze nei prezzi, dando luogo a opportunità di intermarket spread, ossia simultanei acquisto e vendita di commodities correlate tra loro. Vengono approfonditi vari test econometrici, i test unit root utilizzati per verificare se una serie storica possa essere modellizzata con un processo random walk. Infine viene costruita una strategia di trading basata sull'arbitraggio statistico e applicata numericamente alle serie storiche dal 2010 al 2014 di due titoli azionari sul petrolio: Brent e WTI.

Mean curvature flow in SE (2) and applications to visual perception

Our goal in this thesis is to provide a result of existence of the degenerate non-linear, non-divergence PDE which describes the mean curvature flow in the Lie group SE(2) equipped with a sub-Riemannian metric. The research is motivated by problems of visual completion and models of the visual cortex.

Diffusion maps in the Subriemannian motion group and perceptual grouping

Il presente lavoro è motivato dal problema della constituzione di unità percettive a livello della corteccia visiva primaria V1. Si studia dettagliatamente il modello geometrico di Citti-Sarti con particolare attenzione alla modellazione di fenomeni di associazione visiva. Viene studiato nel dettaglio un modello di connettività. Il contributo originale risiede nell'adattamento del metodo delle diffusion maps, recentemente introdotto da Coifman e Lafon, alla geometria subriemanniana della corteccia visiva. Vengono utilizzati strumenti di teoria del potenziale, teoria spettrale, analisi armonica in gruppi di Lie per l'approssimazione delle autofunzioni dell'operatore del calore sul gruppo dei moti rigidi del piano. Le autofunzioni sono utilizzate per l'estrazione di unità percettive nello stimolo visivo. Sono presentate prove sperimentali e originali delle capacità performanti del metodo.

Applicazione della logica fuzzy al docking tra dirigibili

Progetto e analisi delle performance di un controllore realizzato con la metodologia fuzzy per una manovra di docking fra due dirigibili. Propedeutica a questo, è stata la campagna, presso la galleria del vento messa a disposizione dalla Clarkson University, di raccolta di dati sperimentali, che sono stati poi utilizzati per realizzare un simulatore con cui testare il controllore. Nel primo capitolo, si è presentato la tecnologia dei dirigibili, le varie tipologie ed una descrizione dei moderni concepts. Successivamente, sono state presentate le applicazioni nelle quali i moderni dirigibili possono essere impiegati. L’ultima parte tratta di due esempi di docking fra mezzi aerei: il rifornimento in volo e i “parasite aircrafts”. Il secondo capitolo, tratta della logica utilizzata dal controllore: la logica fuzzy. Le basi della teoria insiemistica classica sono state il punto di partenza per mostrare come, introducendo le funzioni di appartenenza, sia possibile commutare tra la teoria classica e fuzzy. La seconda parte del capitolo affronta le nozioni della teoria fuzzy, esponendo la metodologia con la quale è possibile inserire un controllore di questo tipo in un sistema “tradizionale”. Il terzo capitolo presenta il modello di volo dei dirigibili. Partendo dalla legge di Newton, introdotto il concetto di inerzia e massa aggiunte, si arriva alle equazioni del moto non lineari. L’ultima parte è stata dedicata alla linearizzazione delle equazioni e alla condizione di trim. Il quarto capitolo riguarda la campagna sperimentale di test in galleria del vento, con la realizzazione dei modelli in scala e la calibrazione della bilancia; successivamente, nel capitolo si commentano i dati sperimentali raccolti. Il quinto capitolo, mostra la metodologia con cui è possibile progettare un controllore fuzzy per il controllo della manovra di docking fra dirigibili. La seconda parte mostra le performance ottenute con questo tipo di sistema.

Structural analysis of a UAV wing through image processing and FEM

Analisi strutturale dell’ala di un UAV (velivolo senza pilota a bordo), sviluppata usando varie metodologie: misurazioni sperimentali statiche e dinamiche, e simulazioni numeriche con l’utilizzo di programmi agli elementi finiti. L’analisi statica è stata a sua volta portata avanti seguendo due differenti metodi: la classica e diretta determinazione degli spostamenti mediante l’utilizzo di un catetometro e un metodo visivo, basato sull’elaborazione di immagini e sviluppato appositamente a tale scopo in ambiente Matlab. Oltre a ciò è stata svolta anche una analisi FEM volta a valutare l’errore che si ottiene affrontando il problema con uno studio numerico. Su tale modello FEM è stata svolta anche una analisi di tipo dinamico con lo scopo di confrontare tali dati con i dati derivanti da un test dinamico sperimentale per ottenere informazioni utili per una seguente possibile analisi aeroelastica.

Sviluppo di un corso di ottica sulla piattaforma e-learning moodle

La tesi sviluppa un corso di ottica attraverso la piattaforma e-learning di Ateneo Moodle. L'obiettivo è la proposta di alcuni argomenti di Fisica attraverso una metodologia nuova implementata con tecnologie informatiche di recente sviluppo. La prospettiva è quella dell'adozione di questo modello per la costruzione di un corso di Fisica Generale. Le caratteristiche rilevanti di questo approccio multimediale nell'ambito degli insegnamenti scientifici sono l'interattività tra gli studenti ed il corso, non precludendo il confronto tra i partecipanti all'attività didattica e la modularità del servizio formativo. A tal fine sono state inserite nell'insegnamento diverse features Moodle per realizzare questa architettura didattica.

Black hole evaporation and stress tensor correlations

General Relativity is one of the greatest scientific achievementes of the 20th century along with quantum theory. These two theories are extremely beautiful and they are well verified by experiments, but they are apparently incompatible. Hints towards understanding these problems can be derived studying Black Holes, some the most puzzling solutions of General Relativity. The main topic of this Master Thesis is the study of Black Holes, in particular the Physics of Hawking Radiation. After a short review of General Relativity, I study in detail the Schwarzschild solution with particular emphasis on the coordinates systems used and the mathematical proof of the classical laws of Black Hole "Thermodynamics". Then I introduce the theory of Quantum Fields in Curved Spacetime, from Bogolubov transformations to the Schwinger-De Witt expansion, useful for the renormalization of the stress energy tensor. After that I introduce a 2D model of gravitational collapse to study the Hawking radiation phenomenon. Particular emphasis is given to the analysis of the quantum states, from correlations to the physical implication of this quantum effect (e.g. Information Paradox, Black Hole Thermodynamics). Then I introduce the renormalized stress energy tensor. Using the Schwinger-De Witt expansion I renormalize this object and I compute it analytically in the various quantum states of interest. Moreover, I study the correlations between these objects. They are interesting because they are linked to the Hawking radiation experimental search in acoustic Black Hole models. In particular I find that there is a characteristic peak in correlations between points inside and outside the Black Hole region, which correpsonds to entangled excitations inside and outside the Black Hole. These peaks hopefully will be measurable soon in supersonic BEC.