La didáctica matemática a lo largo de los ciclos medios. II.

Reflexión sobre la didáctica de las matemáticas en la enseñanza secundaria. Se ofrecen una serie de conclusiones finales, sobre la influencia de las matemáticas en el desarrollo de ciertas facultades de pensamiento. Gracias a las matemáticas, tras los cursos del bachillerato, es decir en el ciclo metodológico final de éstas, de se habrá logrado que los alumnos sean capaces de desarrollar pensamientos deductivos o una metodología deductiva en el acercamiento al conocimiento. Por tanto se produce una transición del conocimiento intuitivo al deductivo, para lo cual es fundamental que sea el propio alumno el que descubra este tipo de método de resolución de problemas. En definitiva, el niño tiene más poder de abstracción que el que se le atribuye. La dificultad principal es traer a un plano consciente dichas abstracciones y sistematizarlas. Esta debe ser la finalidad epistemológica fundamental del ciclo de iniciación racional. Por ello es en los ciclos superiores cuando se puede iniciar el estudio del número real, la geometría analítica, el cálculo y la estadística. Se profundiza en torno al estudio de estas materias en el bachillerato, los modos de incentivar el interés de los alumnos y de lograr un conocimiento que sirva de base para el estudio futuro y para el desarrollo de habilidades intelectuales.

La enseñanza media por televisión.

Se analiza un proyecto de enseñanza oficial por medio de la televisión, llevado a cabo en Baviera, y denominado Telekolleg. Los medios de comunicación de masas parecen estar llamados a tener un papel protagonista en la educación. Así ha ocurrido con la radio, que ha permitido vencer numerosas dificultades, suplir deficiencias de material y de personal de enseñanza. El Telekolleg es una de las primeras experiencias que se ensayan para aportar soluciones cabales en materia de enseñanza directa en televisión. Se señalan algunas de las particularidades de este proyecto: se realiza en función de las necesidades de formación del país, por lo que fundamentalmente trata contenidos relativos a Compatibilidad Comercial, Gestión de Empresas, Dietética y Gestión de Explotaciones Agrícolas, por otro lado también han incluido una serie de materias generales, denominadas ÷conocimientos útiles', que son: Historia, Educación Cívica, Sociología, Algebra y Geometría, Física, Química, Biología y Geografía. En definitiva se analiza la estructura del plan de estudios del Telekolleg, y las distintas fases que ha atravesado en su realización, desde la fase inicial de comprobación y experimentación, hasta, su implementación final.

Aplicaciones de la psicología de la forma a la enseñanza de las matemáticas.

Las formas son totales, cuyo comportamiento no se determina por el de sus elementos individuales, sino por la naturaleza interior del total. Pero, la psicología de las formas ha aplicado también sus principios a la teoría del pensamiento. Todo acto de pensamiento es una asociación de ideas; pero las ideas no se constituyen de cualquier modo, sino que tienden a constituir formas, estructuras determinadas, que son las que dan sentido al contenido mental. En definitiva, toda explicación debe ir precedida de una visión de conjunto, señalando claramente que se persigue y con qué medios se cuenta para alcanzarlo. Deben agruparse todas aquellas teorías que presenten la misma forma. Utilización de instrumentos adecuados. Presentar la teoría en forma de problema, de manera que el alumno se sienta interesado en su solución. Dar al principio una visión intuitiva, siempre que sea posible, aunque luego se den las demostraciones lógicas. No dejar ninguna teoría sin demostración práctica. Preparar cada cuestión nueva con una serie de ejemplos muy simples, apoyados en leyes conocidas, y cuya solución se consiga por caminos análogos a los que han de emplearse para lo nuevo que se trata de enseñar. Por último, no pasar de un teorema a otro mientras no esté bien comprendido el primero, e insistir en aquellos que son como los puntuales de la teoría.

Los signos del zodiaco en la astronomía griega.

Resumen tomado del artículo

Pintura y espíritu.

Es en el siglo XVI a quien corresponde la plena madurez de la pintura. Es el siglo de la perspectiva aérea. Se capta el aire, la profundidad del espacio. El siglo XVI rompe con la pintura ornamental para inaugurar un arte sin dibujo, ni arquitectura, ni geometría, es decir, para alcanzar un arte humano. Sólo pasado el primer tercio del siglo de oro se logra la humanización verdadera del arte pictórico. La muerte de Cristo es en la pintura de España la agonía del color y de la luz. Y en esta gloriosa armonía la pintura encuentra la dimensión aérea que había de enlazarla con el mundo de lo sobrenatural. Este es el triunfo pictórico de España, incluso sobre pintores que, como el Greco sin haber nacido en España, vibran con un estilo español.

Los teoremas de Pitágoras y Tolomeo en el Bachillerato.

Se analizan los dos teoremas fundamentales de la geometría elemental: el teorema de Pitágoras y el teorema de Tolomeo. Ambos teoremas tienen su fundamento en el teorema de Thales aplicado a la semejanza de triángulos convenientes. Se demuestra el teorema de Tolomeo en su forma general sin utilizar el concepto de semejanza. Se exponen además, como ejercicios complementarios: la desigualdad de HLAWKA, la de HORNICH y el problema de Freudental.

Dos soluciones ingeniosas al problema de la duplicación del cubo.

Se exponen dos métodos que conducen a dar solución a la petición que el dios Apolo hizo a los atenienses: construir un altar doble de forma cúbica; teniendo en cuenta que sólo se utilizaban dos instrumentos: la regla y el compás.

Radiografía del tetraedro regular.

Debido a que dentro de los programas de Matemáticas de Bachillerato no se incluyen unidades didácticas dedicadas al estudio de la Geometría Elemental, se desarrollan aquí una serie de ideas para la didáctica de las Matemáticas destinada a los alumnos de BUP.

Temas matemáticos de ayer : la circunferencia de Feuerbach o de los nueve puntos.

Se exponen tres casos matemáticos cuyo objetivo es que no desaparezcan estos temas con el paso del tiempo y que se basan en la Geometría Elemental.

El bachiller que llega a la universidad : pequeño chequeo matemático.

Se ejemplifica el panorama de los estudiantes que llegan a su primer curso de universidad, casi todos con una pésima expresión verbal y escrita, con falta de conocimientos básicos, con constantes divagaciones y que son incapaces de concretar en sus respuestas. Se hace, pues, imprescindible una enseñanza más práctica y para lo cual se ha implementado una asignatura piloto de geometría en la universidad de Madrid, tipo laboratorio, para intentar rellenar los huecos de conocimientos básicos que tienen los alumnos de matemáticas.

Aplicación de las calculadoras programables para el estudio de la posición relativa de dos rectas en el espacio afín : introducción de los conceptos de matriz definida positiva y norma.

Fue un trabajo elegido por alumnos para el estudio de la posición relativa de dos rectas con un ordenador de bolsillo. Sabemos que si estamos en un ordenador con pantalla nos puede aparecer al introducir los datos de dos rectas, por ejemplo se cortan según un punto o bien son paralelas, etcétera, lo que es evidentes, es que esto no es posible en una calculadora, pues no hay caracteres alfabéticos. Por ello, primer paso reducir a números cada uno de los casos. El trabajo de las alumnas era más problemático porque iban a desarrollar el tema matemático, de forma que luego realizasen la programación. Para entrar en ella, era preciso realizar el esquema preprogramación, llamado organigrama. En un seminario de COU sería interesante que tras la discusión y resolución de un sistema lineal del mismo número de ecuaciones que de incógnitas, les hiciésemos ver a los alumnos que la resolución directa no es la más idónea para un ordenador. Pero al no tener ordenador podemos sustituirlo por una calculadora programada. La programación directa de dos ecuaciones y dos incógnitas y tres y tres, resulta asequible, pues los determinantes se pueden calcular directamente. Pero de cuatro en adelante dificultad y cuanto mayor sea el número de incógnitas, la dificultad mayor. De ahí, que se haya recurrido a métodos de solución interactivos.

La educación en Roma.

La educación en Roma, como en cualquier sistema educativo, estuvo condicionada por una serie de factores económicos, políticos e ideológicos, experimentando cambios a través de las épocas. Al principio, estuvo dominada por una aristocracia rentista. Así, la educación fue un código de vida nobiliaria en el respeto a la tradición, primero respecto a los gens y después a la familia y en tercer lugar, el respeto a los ritos tradicionales. En el siglo III antes de Cristo la educación sufre un cambio. Tras conquistar Grecia la cultura romana comienza a helenizarse. El ideal que se va imponiendo es el orador. Surgido en la democracia ateniense, dotaba al que se dedicara a estos estudios de amplios conocimientos: matemáticas, geografía, geometría, astronomía, música, arte, lengua, mitología, literatura, derecho e historia. Se trataba de que el orador tuviera recursos para hablar de cualquier tema propuesto, y al mismo tiempo hablar bien. Desde el siglo II antes de Cristo la aristocracia romana dio a sus hijos una educación griega, a través de la enseñanza privada con clases a domicilio de numerosos esclavos griegos, que eran muy cotizados en el mundo y muy rentables. También aparecieron escuelas públicas, pero no estatales, una especie de academias donde los libertos trabajaban por cuenta propia. Poco a poco empiezan a abrirse escuelas en lengua latina, paralelas a las griegas. Escuelas primarias, secundarias y superiores. En las primeras se enseña a leer, a escribir y el cálculo; en las segundas, una cultura general y en las terceras, la técnica de la retórica. Pero hasta la época de Augusto la enseñanza en latín difícilmente puede competir con la griega. Así, al superponerse los dos tipos de enseñanza la educación romana se extiende a las provincias, creándose una red de escuelas a lo largo del Mediterráneo. Finalmente la autoridad se acaba extendiendo a los métodos como a las materias. A fines del siglo II de nuestra era preocupación por los métodos pedagógicos. El griego retrocede ante el avance de la lengua de la romanización. Las escuelas públicas jamás fueron inspeccionadas por el Estado y siempre favorecidas por los emperadores. La cultura pagana del bajo imperio acaba convirtiéndose en una preparación de escribas y funcionarios, ya que la burocracia se ha desarrollado considerablemente.

Introducción geométrica de los números reales.

Hemos postulado que existe un conjunto R, a cuyos elementos llamamos números reales, con unas operaciones internas a las que llamamos suma y producto y con una relación de orden, en las que R constituye un cuerpo conmutativo, totalmente ordenado arquimediano y completo; dentro de los reales tenemos a los números Racionales(Q) e Irracionales enteros, dentro de los racionales tenemos los enteros (Z) y los fraccionarios, los primeros son el subconjunto de números enteros formado por la unión del conjunto N, constituido por los números naturales enteros positivos y negativos y los fraccionarios.

Tratamiento matricial de la optica geométrica : I determinación de los elementos básicos de la teoría.

La teoría matricial de la óptica puede aplicarse para obtener y analizar las imágenes producidas por sistemas ópticos centrados (SOC) desde un punto de vista geométrico, asociado. Una matriz al sistema óptico, que llamamos matriz característica, de 2X2 y cuyos elementos dependen de las características geométricas como de las ópticas de los medios separados por superficies-frontera o superficies de discontinuidad que se consideran ideales delgadas. Así, la matriz caracteriza todo elemento perteneciente al espacio-objeto en un elemento del espacio-imagen, siendo dicha transformación biunívoca al tener en cuenta el principio de retorno de luz. Para obtener la matriz característica tendremos que representar en forma matricial ciertas leyes de la luz (propagación rectilínea y la refracción de la luz) Dichas matrices se llamarán matriz de traslación y matriz de refracción.

Conceptos básicos sobre Topologías Moleculares.

La distribución espacial de los átomos en una molécula está restringida a unos pocos modelos muy simples. El punto de partida para las estructuras moleculares es la teoría sencilla de Lewis del enlace covalente. Su teoría es de distribución de pares de electrones, ya que a partir de esta distribución se puede explicar la geometría de gran número de moléculas covalentes. Reglas que permiten determinar la distribución de los pares de electrones en gran número de moléculas covalentes. Primera regla: nos permite determinar el número total de pares compartidos de una molécula o número total de enlaces; Segunda Regla: nos permite determinar la existencia de enlaces múltiples en las moléculas, dobles y triples. Los enlaces múltiples surgen para subsanar la deficiencia de dos electrones y uno triple la de cuatro electrones para que todos los enlaces de la molécula fuesen simples (nen) De la diferencia de este número y el número de electrones de valencia (nev) obtenemos la deficiencia electrónica, si existe y de ella el número de enlaces múltiples de la molécula. Deficiencia electrónica es igual a nen-nev. Si esta diferencia es igual a 0, todos los enlaces serán sencillos, si es igual a 4 la diferncia podrá ser subsanada por dos enlaces dobles o uno triple, si es igual a 6, podría ser suplida por tres enlaces dobles o por un enlace doble y uno triple; Tercera Regla: permite determinar el esqueleto de la molécula; Cuarta Regla: una vez calculados el número de pares de enlaces y determinado el esqueleto de la molécula esta regla es una simple aplicación de la regla del gas inerte o del octeto; Quinta Regla: si el número de electrones necesarios es menor que el número de electrones de valencia la molécula no cumple la regla del octeto y el exceso de pares debe disponerse en el átomo central; Sexta Regla: permite la selección de la estructura o estructuras más correctas.