Il gruppo delle trecce ed il teorema di Markov

Il lavoro concerne il gruppo delle trecce, il suo legame con i link e si concentra sui teoremi di Markov e Alexander.

Progettazione di mozzi ruota per vettura da formula SAE

Progettazione dei mozzi ruota della vettura 2012 del team UniBo Motorsport, il team di formula SAE dell'università di Bologna.

Markov Constraints for Generating Texts with Style

This thesis addresses the issue of generating texts in the style of an existing author, that also satisfy structural constraints imposed by the genre of the text. Although Markov processes are known to be suitable for representing style, they are difficult to control in order to satisfy non-local properties, such as structural constraints, that require long distance modeling. The framework of Constrained Markov Processes allows to precisely generate texts that are consistent with a corpus, while being controllable in terms of rhymes and meter. Controlled Markov processes consist in reformulating Markov processes in the context of constraint satisfaction. The thesis describes how to represent stylistic and structural properties in terms of constraints in this framework and how this approach can be used for the generation of lyrics in the style of 60 differents authors An evaluation of the desctibed method is provided by comparing it to both pure Markov and pure constraint-based approaches. Finally the thesis describes the implementation of an augmented text editor, called Perec. Perec is intended to improve creativity, by helping the user to write lyrics and poetry, exploiting the techniques presented so far.

Mathematical aspects of Feynman integrals

In the present dissertation we consider Feynman integrals in the framework of dimensional regularization. As all such integrals can be expressed in terms of scalar integrals, we focus on this latter kind of integrals in their Feynman parametric representation and study their mathematical properties, partially applying graph theory, algebraic geometry and number theory. The three main topics are the graph theoretic properties of the Symanzik polynomials, the termination of the sector decomposition algorithm of Binoth and Heinrich and the arithmetic nature of the Laurent coefficients of Feynman integrals.rnrnThe integrand of an arbitrary dimensionally regularised, scalar Feynman integral can be expressed in terms of the two well-known Symanzik polynomials. We give a detailed review on the graph theoretic properties of these polynomials. Due to the matrix-tree-theorem the first of these polynomials can be constructed from the determinant of a minor of the generic Laplacian matrix of a graph. By use of a generalization of this theorem, the all-minors-matrix-tree theorem, we derive a new relation which furthermore relates the second Symanzik polynomial to the Laplacian matrix of a graph.rnrnStarting from the Feynman parametric parameterization, the sector decomposition algorithm of Binoth and Heinrich serves for the numerical evaluation of the Laurent coefficients of an arbitrary Feynman integral in the Euclidean momentum region. This widely used algorithm contains an iterated step, consisting of an appropriate decomposition of the domain of integration and the deformation of the resulting pieces. This procedure leads to a disentanglement of the overlapping singularities of the integral. By giving a counter-example we exhibit the problem, that this iterative step of the algorithm does not terminate for every possible case. We solve this problem by presenting an appropriate extension of the algorithm, which is guaranteed to terminate. This is achieved by mapping the iterative step to an abstract combinatorial problem, known as Hironaka's polyhedra game. We present a publicly available implementation of the improved algorithm. Furthermore we explain the relationship of the sector decomposition method with the resolution of singularities of a variety, given by a sequence of blow-ups, in algebraic geometry.rnrnMotivated by the connection between Feynman integrals and topics of algebraic geometry we consider the set of periods as defined by Kontsevich and Zagier. This special set of numbers contains the set of multiple zeta values and certain values of polylogarithms, which in turn are known to be present in results for Laurent coefficients of certain dimensionally regularized Feynman integrals. By use of the extended sector decomposition algorithm we prove a theorem which implies, that the Laurent coefficients of an arbitrary Feynman integral are periods if the masses and kinematical invariants take values in the Euclidean momentum region. The statement is formulated for an even more general class of integrals, allowing for an arbitrary number of polynomials in the integrand.

Dupire's formula for exponential Lévy models

Questa tesi è incentrata sull'analisi della formula di Dupire, che permette di ottenere un'espressione della volatilità locale, nei modelli di Lévy esponenziali. Vengono studiati i modelli di mercato Merton, Kou e Variance Gamma dimostrando che quando si è off the money la volatilità locale tende ad infinito per il tempo di maturità delle opzioni che tende a zero. In particolare viene proposta una procedura di regolarizzazione tale per cui il processo di volatilità locale di Dupire ricrea i corretti prezzi delle opzioni anche quando si ha la presenza di salti. Infine tale risultato viene provato numericamente risolvendo il problema di Cauchy per i prezzi delle opzioni.

Quantum Integrability in Non-Linear Sigma Models related to Gauge/String Correspondences

The Thermodynamic Bethe Ansatz analysis is carried out for the extended-CP^N class of integrable 2-dimensional Non-Linear Sigma Models related to the low energy limit of the AdS_4xCP^3 type IIA superstring theory. The principal aim of this program is to obtain further non-perturbative consistency check to the S-matrix proposed to describe the scattering processes between the fundamental excitations of the theory by analyzing the structure of the Renormalization Group flow. As a noteworthy byproduct we eventually obtain a novel class of TBA models which fits in the known classification but with several important differences. The TBA framework allows the evaluation of some exact quantities related to the conformal UV limit of the model: effective central charge, conformal dimension of the perturbing operator and field content of the underlying CFT. The knowledge of this physical quantities has led to the possibility of conjecturing a perturbed CFT realization of the integrable models in terms of coset Kac-Moody CFT. The set of numerical tools and programs developed ad hoc to solve the problem at hand is also discussed in some detail with references to the code.

Formula integrale di Poisson per le funzioni armoniche in una palla

La tesi consiste nella ricerca di un candidato ideale per la soluzione del problema di Dirichlet. Vengono affrontati gli argomenti in maniera graduale, partendo dalle funzioni armoniche e le loro relative proprietà, passando per le identità e le formule di rappresentazione di Green, per finire nell'analisi del problema sopra citato, mediante i risultati precedentemente ottenuti, per concludere trovando la formula integrale di Poisson come soluzione ma anche come formula generale per sviluppi in vari ambiti.

La formula di Eulero per i poliedri fra storia e didattica

Questa tesi riguarda la formula di Eulero per i poliedri: F - S + V = 2 dove F indica il numero di facce, S il numero di spigoli e V quello dei vertici di un poliedro. Nel primo capitolo tratteremo i risultati ottenuti da Cartesio: egli fu il primo a considerare non solo le caratteristiche geometriche ma anche metriche di un solido. Partendo dall'analogia con le figure piane, riuscì a ricavare importanti relazioni nei solidi convessi, riguardanti il numero e la misura degli angoli piani, degli angoli solidi e delle facce. Non arrivò mai alla formulazione conosciuta oggi ma ne intuì le caratteristiche topologiche, che però non dimostrò mai. Nel secondo capitolo invece ci occuperemo di ciò che scoprì Eulero. Il manoscritto contenente i risultati di Cartesio era scomparso e quindi questi non erano più conosciuti dai matematici; Eulero, in accordo con quanto avviene per i poligoni, desiderava ottenere un metodo di classificazione per i poliedri e si mise a studiare le loro proprietà. Oltre alla sua formula, in un primo articolo ricavò importanti relazioni, e in un secondo lavoro ne propose una dimostrazione. Riportiamo in breve anche un confronto tra il lavoro di Cartesio e quello di Eulero. Il terzo capitolo invece riguarda il metodo e il rigore nella formulazione di teoremi e dimostrazioni: I. Lakatos ne fa un esame critico nel libro "Dimostrazioni e Confutazioni - la logica della scoperta matematica", simulando una lezione dove a tema compaiono la Formula di Eulero e le sue dimostrazioni. Noi cercheremo di analizzare questo suo lavoro. Su questi tre autori e i loro lavori riportiamo alcune considerazioni biografiche e storiche che possono offrire interessanti spunti didattici: infatti nel quarto e ultimo capitolo ci occuperemo di alcune considerazioni didattiche a proposito della Formula. La struttura sarà quella di un'ipotetica lezione a studenti di Scuola Media Inferiore e utilizzeremo i risultati ottenuti nei precedenti capitoli e una personale esperienza di tirocinio.

Statistica degli eventi rari nei sistemi dinamici

La teoria dei sistemi dinamici studia l'evoluzione nel tempo dei sistemi fisici e di altra natura. Nonostante la difficoltà di assegnare con esattezza una condizione iniziale (fatto che determina un non-controllo della dinamica del sistema), gli strumenti della teoria ergodica e dello studio dell'evoluzione delle densità di probabilità iniziali dei punti del sistema (operatore di Perron-Frobenius), ci permettono di calcolare la probabilità che un certo evento E (che noi definiamo come evento raro) accada, in particolare la probabilità che il primo tempo in cui E si verifica sia n. Abbiamo studiato i casi in cui l'evento E sia definito da una successione di variabili aleatorie (prima nel caso i.i.d, poi nel caso di catene di Markov) e da una piccola regione dello spazio delle fasi da cui i punti del sistema possono fuoriuscire (cioè un buco). Dagli studi matematici sui sistemi aperti condotti da Keller e Liverani, si ricava una formula esplicita del tasso di fuga nella taglia del buco. Abbiamo quindi applicato questo metodo al caso in cui l'evento E sia definito dai punti dello spazio in cui certe osservabili assumono valore maggiore o uguale a un dato numero reale a, per ricavare l'andamento asintotico in n della probabilità che E non si sia verificato al tempo n, al primo ordine, per a che tende all'infinito.

Constraints on neutrino mass fraction using Redshift Space Distortions

Redshift Space Distortions (RSD) are an apparent anisotropy in the distribution of galaxies due to their peculiar motion. These features are imprinted in the correlation function of galaxies, which describes how these structures distribute around each other. RSD can be represented by a distortions parameter $\beta$, which is strictly related to the growth of cosmic structures. For this reason, measurements of RSD can be exploited to give constraints on the cosmological parameters, such us for example the neutrino mass. Neutrinos are neutral subatomic particles that come with three flavours, the electron, the muon and the tau neutrino. Their mass differences can be measured in the oscillation experiments. Information on the absolute scale of neutrino mass can come from cosmology, since neutrinos leave a characteristic imprint on the large scale structure of the universe. The aim of this thesis is to provide constraints on the accuracy with which neutrino mass can be estimated when expoiting measurements of RSD. In particular we want to describe how the error on the neutrino mass estimate depends on three fundamental parameters of a galaxy redshift survey: the density of the catalogue, the bias of the sample considered and the volume observed. In doing this we make use of the BASICC Simulation from which we extract a series of dark matter halo catalogues, characterized by different value of bias, density and volume. This mock data are analysed via a Markov Chain Monte Carlo procedure, in order to estimate the neutrino mass fraction, using the software package CosmoMC, which has been conveniently modified. In this way we are able to extract a fitting formula describing our measurements, which can be used to forecast the precision reachable in future surveys like Euclid, using this kind of observations.

Ergodicity and regularity of invariant measure for branching Markov processes with immigration

In this thesis we consider systems of finitely many particles moving on paths given by a strong Markov process and undergoing branching and reproduction at random times. The branching rate of a particle, its number of offspring and their spatial distribution are allowed to depend on the particle's position and possibly on the configuration of coexisting particles. In addition there is immigration of new particles, with the rate of immigration and the distribution of immigrants possibly depending on the configuration of pre-existing particles as well. In the first two chapters of this work, we concentrate on the case that the joint motion of particles is governed by a diffusion with interacting components. The resulting process of particle configurations was studied by E. Löcherbach (2002, 2004) and is known as a branching diffusion with immigration (BDI). Chapter 1 contains a detailed introduction of the basic model assumptions, in particular an assumption of ergodicity which guarantees that the BDI process is positive Harris recurrent with finite invariant measure on the configuration space. This object and a closely related quantity, namely the invariant occupation measure on the single-particle space, are investigated in Chapter 2 where we study the problem of the existence of Lebesgue-densities with nice regularity properties. For example, it turns out that the existence of a continuous density for the invariant measure depends on the mechanism by which newborn particles are distributed in space, namely whether branching particles reproduce at their death position or their offspring are distributed according to an absolutely continuous transition kernel. In Chapter 3, we assume that the quantities defining the model depend only on the spatial position but not on the configuration of coexisting particles. In this framework (which was considered by Höpfner and Löcherbach (2005) in the special case that branching particles reproduce at their death position), the particle motions are independent, and we can allow for more general Markov processes instead of diffusions. The resulting configuration process is a branching Markov process in the sense introduced by Ikeda, Nagasawa and Watanabe (1968), complemented by an immigration mechanism. Generalizing results obtained by Höpfner and Löcherbach (2005), we give sufficient conditions for ergodicity in the sense of positive recurrence of the configuration process and finiteness of the invariant occupation measure in the case of general particle motions and offspring distributions.

Algoritmi e ricorsività: macchine di Turing e algoritmi di Markov

In questa questa tesi vengono presentate alcune delle più importanti definizioni di funzione computabile mediante un algoritmo: una prima descrizione è quella data tramite le funzioni ricorsive, un secondo approccio è dato in termini di macchine di Turing, infine, vengono considerati gli algoritmi di Markov. Si dimostra che tutte queste definizioni sono equivalenti. Completa la tesi un breve cenno al lambda-K-calcolo.

Progettazione del sistema di controllo di una vettura di formula sae

Il seguente lavoro di tesi è finalizzato alla realizzazione dell’elettronica di controllo per una vettura prototipo, Nel Capitolo 1 della tesi viene descritto più nel dettaglio il progetto Formula SAE, introducendo gli aspetti peculiari della competizione; successivamente segue una breve descrizione del team UniBo Motorsport. Il Capitolo 2 descrive l’elettronica implementata nella stagione 2013 evidenziandone i punti di forza e le debolezze al fine di poter trarre delle conclusioni per comprendere la direzione intrapresa con questo lavoro di tesi. Nel Capitolo 3 viene presentata la soluzione proposta,motivandone le scelte e la necessità di suddividere il lavoro in più unità distinte, mantenendo le peculiarità tecniche del già eccellente lavoro effettuato nel corso degli anni da chi mi ha preceduto ed aggiungendo quelle funzionalità che permettono di mantenere la soluzione in una posizione dominante nel panorama della Formula Student. La progettazione dell’hardware che compone la soluzione proposta è descritta nel Capitolo 4, introducendo dapprima la metodologia adottata per la progettazione partendo dalle specifiche fino ad arrivare al prodotto finito ed in seguito ne viene descritta l’applicazione ad ogni unità oggetto del lavoro. Sono state progettate da zero tre unità: una centralina di controllo motore (ECU), una di controllo veicolo (VCU) ed un controller lambda per la gestione di sonde UEGO. Un aiuto fondamentale nella progettazione di queste tre unità è stato dato da Alma Automotive, azienda che fin dal principio ha supportato, anche economicamente, le varie evoluzioni dell’hardware e del software della vettura. Infine viene descritto nel capitolo 5 il software che verrà eseguito sulle unità di controllo, ponendo particolare risalto al lavoro di adattamento che si è reso necessario per riutilizzare il software in uso negli anni precedenti.

Taylor formula for Kolmogorov equations

After briefly discuss the natural homogeneous Lie group structure induced by Kolmogorov equations in chapter one, we define an intrinsic version of Taylor polynomials and Holder spaces in chapter two. We also compare our definition with others yet known in literature. In chapter three we prove an analogue of Taylor formula, that is an estimate of the remainder in terms of the homogeneous metric.

Picard-Fuchs equations of dimensionally regulated Feynman integrals

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit besch¨aftige ich mich mit Differentialgleichungen von Feynman– Integralen. Ein Feynman–Integral h¨angt von einem Dimensionsparameter D ab und kann f¨ur ganzzahlige Dimension als projektives Integral dargestellt werden. Dies ist die sogenannte Feynman–Parameter Darstellung. In Abh¨angigkeit der Dimension kann ein solches Integral divergieren. Als Funktion in D erh¨alt man eine meromorphe Funktion auf ganz C. Ein divergentes Integral kann also durch eine Laurent–Reihe ersetzt werden und dessen Koeffizienten r¨ucken in das Zentrum des Interesses. Diese Vorgehensweise wird als dimensionale Regularisierung bezeichnet. Alle Terme einer solchen Laurent–Reihe eines Feynman–Integrals sind Perioden im Sinne von Kontsevich und Zagier. Ich beschreibe eine neue Methode zur Berechnung von Differentialgleichungen von Feynman– Integralen. ¨ Ublicherweise verwendet man hierzu die sogenannten ”integration by parts” (IBP)– Identit¨aten. Die neue Methode verwendet die Theorie der Picard–Fuchs–Differentialgleichungen. Im Falle projektiver oder quasi–projektiver Variet¨aten basiert die Berechnung einer solchen Differentialgleichung auf der sogenannten Griffiths–Dwork–Reduktion. Zun¨achst beschreibe ich die Methode f¨ur feste, ganzzahlige Dimension. Nach geeigneter Verschiebung der Dimension erh¨alt man direkt eine Periode und somit eine Picard–Fuchs–Differentialgleichung. Diese ist inhomogen, da das Integrationsgebiet einen Rand besitzt und daher nur einen relativen Zykel darstellt. Mit Hilfe von dimensionalen Rekurrenzrelationen, die auf Tarasov zur¨uckgehen, kann in einem zweiten Schritt die L¨osung in der urspr¨unglichen Dimension bestimmt werden. Ich beschreibe außerdem eine Methode, die auf der Griffiths–Dwork–Reduktion basiert, um die Differentialgleichung direkt f¨ur beliebige Dimension zu berechnen. Diese Methode ist allgemein g¨ultig und erspart Dimensionswechsel. Ein Erfolg der Methode h¨angt von der M¨oglichkeit ab, große Systeme von linearen Gleichungen zu l¨osen. Ich gebe Beispiele von Integralen von Graphen mit zwei und drei Schleifen. Tarasov gibt eine Basis von Integralen an, die Graphen mit zwei Schleifen und zwei externen Kanten bestimmen. Ich bestimme Differentialgleichungen der Integrale dieser Basis. Als wichtigstes Beispiel berechne ich die Differentialgleichung des sogenannten Sunrise–Graphen mit zwei Schleifen im allgemeinen Fall beliebiger Massen. Diese ist f¨ur spezielle Werte von D eine inhomogene Picard–Fuchs–Gleichung einer Familie elliptischer Kurven. Der Sunrise–Graph ist besonders interessant, weil eine analytische L¨osung erst mit dieser Methode gefunden werden konnte, und weil dies der einfachste Graph ist, dessen Master–Integrale nicht durch Polylogarithmen gegeben sind. Ich gebe außerdem ein Beispiel eines Graphen mit drei Schleifen. Hier taucht die Picard–Fuchs–Gleichung einer Familie von K3–Fl¨achen auf.