On some aspects of coherent risk measures and their applications

Le sujet principal de cette thèse porte sur les mesures de risque. L'objectif général est d'investiguer certains aspects des mesures de risque dans les applications financières. Le cadre théorique de ce travail est celui des mesures cohérentes de risque telle que définie dans Artzner et al (1999). Mais ce n'est pas la seule classe de mesure du risque que nous étudions. Par exemple, nous étudions aussi quelques aspects des "statistiques naturelles de risque" (en anglais natural risk statistics) Kou et al (2006) et des mesures convexes du risque Follmer and Schied(2002). Les contributions principales de cette thèse peuvent être regroupées selon trois axes: allocation de capital, évaluation des risques et capital requis et solvabilité. Dans le chapitre 2 nous caractérisons les mesures de risque avec la propriété de Lebesgue sur l'ensemble des processus bornés càdlàg (continu à droite, limité à gauche). Cette caractérisation nous permet de présenter deux applications dans l'évaluation des risques et l'allocation de capital. Dans le chapitre 3, nous étendons la notion de statistiques naturelles de risque à l'espace des suites infinies. Cette généralisation nous permet de construire de façon cohérente des mesures de risque pour des bases de données de n'importe quelle taille. Dans le chapitre 4, nous discutons le concept de "bonnes affaires" (en anglais Good Deals), pour notamment caractériser les situations du marché où ces positions pathologiques sont présentes. Finalement, dans le chapitre 5, nous essayons de relier les trois chapitres en étendant la définition de "bonnes affaires" dans un cadre plus large qui comprendrait les mesures de risque analysées dans les chapitres 2 et 3.

Proximity-Sensitive Individual Deprivation Measures

We propose and characterize a generalization of the classical linear index of individual deprivation based on income shortfalls. Unlike the original measure, our class allows for increases in the income of a higher-income individual to have a stronger impact on a person’s deprivation the closer they occur to the income of the individual whose deprivation is being assessed. The subclass of our measures with this property is axiomatized in our second result.

A Representation of Risk Measures

We provide a representation theorem for risk measures satisfying (i) monotonicity; (ii) positive homogeneity; and (iii) translation invariance. As a simple corollary to our theorem, we obtain the usual representation of coherent risk measures (i.e., risk measures that are, in addition, sub-additive; see Artzner et al. [2]).

Size invariant measures of association: characterization and difficulties

A measure of association is row-size invariant if it is unaffected by the multiplication of all entries in a row of a cross-classification table by a same positive number. It is class-size invariant if it is unaffected by the multiplication of all entries in a class (i.e., a row or a column). We prove that every class-size invariant measure of association as-signs to each m x n cross-classification table a number which depends only on the cross-product ratios of its 2 x 2 subtables. We propose a monotonicity axiom requiring that the degree of association should increase after shifting mass from cells of a table where this mass is below its expected value to cells where it is above .provided that total mass in each class remains constant. We prove that no continuous row-size invariant measure of association is monotonic if m ≥ 4. Keywords: association, contingency tables, margin-free measures, size invariance, monotonicity, transfer principle.

On the design of customized risk measures in insurance, the problem of capital allocation and the theory of fluctuations for Lévy processes

Dans cette thèse, nous étudions quelques problèmes fondamentaux en mathématiques financières et actuarielles, ainsi que leurs applications. Cette thèse est constituée de trois contributions portant principalement sur la théorie de la mesure de risques, le problème de l’allocation du capital et la théorie des fluctuations. Dans le chapitre 2, nous construisons de nouvelles mesures de risque cohérentes et étudions l’allocation de capital dans le cadre de la théorie des risques collectifs. Pour ce faire, nous introduisons la famille des "mesures de risque entropique cumulatifs" (Cumulative Entropic Risk Measures). Le chapitre 3 étudie le problème du portefeuille optimal pour le Entropic Value at Risk dans le cas où les rendements sont modélisés par un processus de diffusion à sauts (Jump-Diffusion). Dans le chapitre 4, nous généralisons la notion de "statistiques naturelles de risque" (natural risk statistics) au cadre multivarié. Cette extension non-triviale produit des mesures de risque multivariées construites à partir des données financiéres et de données d’assurance. Le chapitre 5 introduit les concepts de "drawdown" et de la "vitesse d’épuisement" (speed of depletion) dans la théorie de la ruine. Nous étudions ces concepts pour des modeles de risque décrits par une famille de processus de Lévy spectrallement négatifs.

Évaluation de l’effet de faux souvenirs en vieillissement normal : validation de scores composites des fonctions temporale médiane et frontale et contribution aux hypothèses théoriques

L’avancement en âge est associé à plusieurs modifications cognitives, dont un déclin des capacités à mémoriser et/ou à rappeler les événements vécus personnellement. Il amène parallèlement une augmentation des faux souvenirs, c.-à-d. le rappel d’événements qui ne se sont pas réellement déroulés. Les faux souvenirs peuvent avoir d’importantes répercussions dans la vie quotidienne des personnes âgées et il importe donc de mieux comprendre ce phénomène en vieillissement normal. Des études ont démontré l’importance de la fonction des lobes temporaux médians (FTM)/mémoire et de la fonction des lobes frontaux (FF)/fonctions exécutives dans l’effet de faux souvenirs. Ainsi, la première étude de la thèse visait à valider en français une version adaptée d’une méthode proposée par Glisky, Polster, & Routhieaux (1995), permettant de mesurer ces fonctions cognitives (Chapitre 2). L’analyse factorielle de cette étude démontre que les scores neuropsychologiques associés à la mémoire se regroupent en un facteur, le facteur FTM/mémoire, alors que ceux associés aux fonctions exécutives se regroupent en un deuxième facteur, le facteur FF/fonctions exécutives. Des analyses « bootstrap » effectuées avec 1 000 ré-échantillons démontrent la stabilité des résultats pour la majorité des scores. La deuxième étude de cette thèse visait à éclairer les mécanismes cognitifs (FTM/mémoire et FF/fonctions exécutives) ainsi que théoriques de l’effet de faux souvenirs accru en vieillissement normal (Chapitre 3). La Théorie des Traces Floues (TTF; Brainerd & Reyna, 1990) propose des explications de l’effet de faux souvenirs pour lesquelles la FTM/mémoire semble davantage importante, alors que celles proposées par la Théorie de l’Activation et du Monitorage (TAM; Roediger, Balota, & Watson, 2001) sont davantage reliées à la FF/fonctions exécutives. Les tests neuropsychologiques mesurant la FTM/mémoire ainsi que ceux mesurant la FF/fonctions exécutives ont été administrés à 52 participants âgés (moyenne de 67,81 ans). Basé sur l’étude de validation précédente, un score composite de la FTM/mémoire et un score composite de la FF/fonctions exécutives ont été calculés pour chaque participant. Ces derniers ont d’abord été séparés en deux sous-groupes, un premier au score FTM/mémoire élevé (n = 29, âge moyen de 67,45 ans) et un deuxième au score FTM/mémoire faible (n = 23, âge moyen de 68,26 ans) en s’assurant de contrôler statistiquement plusieurs variables, dont le score de la FF/fonctions exécutives. Enfin, ces participants ont été séparés en deux sous-groupes, un premier au score FF/fonctions exécutives élevé (n = 26, âge moyen 68,08 ans) et un deuxième au score FF/fonctions exécutives faible (n = 25, âge moyen de 67,36 ans), en contrôlant les variables confondantes, dont le score de la FTM/mémoire. Les proportions de vraie et de fausse mémoire (cibles et leurres associatifs) ont été mesurées à l’aide d’un paradigme Deese-Roediger et McDermott (DRM; Deese, 1959; Roediger & McDermott, 1995), avec rappel et reconnaissance jumelée à une procédure « Je me souviens / Je sais » (Tulving, 1985) chez les 52 participants âgés ainsi que chez 22 jeunes (âge moyen de 24,59 ans), apparié pour les années de scolarité. D’abord, afin de tester l’hypothèse de la TTF (Brainerd & Reyna, 1990), ces proportions ont été comparées entre les jeunes adultes et les deux sous-groupes de personnes âgées catégorisées selon le score de la FTM/mémoire. Ensuite, afin de tester l’hypothèse de la TAM (Roediger et al., 2001), ces proportions ont été comparées entre les jeunes adultes et les deux sous-groupes de personnes âgées catégorisées selon le score de la FF/fonctions exécutives. Il s’agit de la première étude qui compare directement ces hypothèses à travers de nombreuses mesures de vraie et de fausse mémoire. Les résultats démontrent que seule la FTM/mémoire modulait l’effet d’âge en vraie mémoire, et de manière quelque peu indirecte, en fausse mémoire et dans la relation entre la vraie et la fausse remémoration. Ensuite, les résultats démontrent que seule la FF/fonctions exécutives jouerait un rôle dans la fausse reconnaissance des leurres associatifs. Par ailleurs, en des effets d’âge sont présents en faux rappel et fausse remémorations de leurres associatifs, entre les jeunes adultes et les personnes âgées au fonctionnement cognitif élevé, peu importe la fonction cognitive étudiée. Ces résultats suggèrent que des facteurs autres que la FTM/mémoire et la FF/fonctions exécutives doivent être identifiés afin d’expliquer la vulnérabilité des personnes âgées aux faux souvenirs. Les résultats de cette thèse sont discutés à la lumière des hypothèses théoriques et cognitives en faux souvenirs (Chapitre 4).

On Truncated Versions of Certain Measures of Inequality and Stability

The present study focuses attention on defining certain measures of income inequality for the truncated distributions and characterization of probability distributions using the functional form of these measures, extension of some measures of inequality and stability to higher dimensions, characterization of bivariate models using the above concepts and estimation of some measures of inequality using the Bayesian techniques. The thesis defines certain measures of income inequality for the truncated distributions and studies the effect of truncation upon these measures. An important measure used in Reliability theory, to measure the stability of the component is the residual entropy function. This concept can advantageously used as a measure of inequality of truncated distributions. The geometric mean comes up as handy tool in the measurement of income inequality. The geometric vitality function being the geometric mean of the truncated random variable can be advantageously utilized to measure inequality of the truncated distributions. The study includes problem of estimation of the Lorenz curve, Gini-index and variance of logarithms for the Pareto distribution using Bayesian techniques.

Studies on Fuzzy Graphs

In this thesis an attempt to develop the properties of basic concepts in fuzzy graphs such as fuzzy bridges, fuzzy cutnodes, fuzzy trees and blocks in fuzzy graphs have been made. The notion of complement of a fuzzy graph is modified and some of its properties are studied. Since the notion of complement has just been initiated, several properties of G and G available for crisp graphs can be studied for fuzzy graphs also. Mainly focused on fuzzy trees defined by Rosenfeld in [10] , several other types of fuzzy trees are defined depending on the acyclicity level of a fuzzy graph. It is observed that there are selfcentered fuzzy trees. Some operations on fuzzy graphs and prove that complement of the union two fuzzy graphs is the join of their complements and complement of the join of two fuzzy graphs is union of their complements. The study of fuzzy graphs made in this thesis is far from being complete. The wide ranging applications of graph theory and the interdisciplinary nature of fuzzy set theory, if properly blended together could pave a way for a substantial growth of fuzzy graph theory.

Fuzzy Absolutes and Related Topics

The study on the fuzzy absolutes and related topics. The different kinds of extensions especially compactification formed a major area of study in topology. Perfect continuous mappings always preserve certain topological properties. The concept of Fuzzy sets introduced by the American Cyberneticist L. A Zadeh started a revolution in every branch of knowledge and in particular in every branch of mathematics. Fuzziness is a kind of uncertainty and uncertainty of a symbol lies in the lack of well-defined boundaries of the set of objects to which this symbol belongs. Introduce an s-continuous mapping from a topological space to a fuzzy topological space and prove that the image of an H-closed space under an s-continuous mapping is f-H closed. Here also proved that the arbitrary product fi and sum of  fi of the s-continuous maps fi are also s-continuous. The original motivation behind the study of absolutes was the problem of characterizing the projective objects in the category of compact spaces and continuous functions.

Some Generalizations of Fuzzy Metrizability

The main purpose of the study is to extent concept of the class of spaces called ‘generalized metric spaces’ to fuzzy context and investigates its properties. Any class of spaces defined by a property possessed by all metric spaces could technically be called as a class of ‘generalized metric spaces’. But the term is meant for classes, which are ‘close’ to metrizable spaces in some under certain kinds of mappings. The theory of generalized metric spaces is closely related to ‘metrization theory’. The class of spaces likes Morita’s M- spaces, Borges’s w-spaces, Arhangelskii’s p-spaces, Okuyama’s  spaces have major roles in the theory of generalized metric spaces. The thesis introduces fuzzy metrizable spaces, fuzzy submetrizable spaces and proves some characterizations of fuzzy submetrizable spaces, and also the fuzzy generalized metric spaces like fuzzy w-spaces, fuzzy Moore spaces, fuzzy M-spaces, fuzzy k-spaces, fuzzy -spaces study of their properties, prove some equivalent conditions for fuzzy p-spaces. The concept of a network is one of the most useful tools in the theory of generalized metric spaces. The -spaces is a class of generalized metric spaces having a network.

Fuzzy Topological Games and Related Topics

The main purpose of study is to extend the concept of the topological game G(K, X) and some other kinds of games into fuzzy topological games and to obtain some results regarding them. Owing to the fact that topological games have plenty of applications in covering properties, it made an attempt to explore some inter relations of games and covering properties in fuzzy topological spaces. Even though the main focus is on fuzzy para-meta compact spaces and closure preserving shading families, some brief sketches regarding fuzzy P-spaces and Shading Dimension is also provided. In a topological game players choose some objects related to the topological structure of a space such as points, closed subsets, open covers etc. More over the condition on a play to be winning for a player may also include topological notions such as closure, convergence, etc. It turns out that topological games are related to the Baire property, Baire spaces, Completeness properties, Convergence properties, Separation properties, Covering and Base properties, Continuous images, Suslin sets, Singular spaces etc.

A Study Of Frames In The Fuzzy And Intuitionist Fuzzy Contexts

The fuzzy set theory has a wider scope of applicability than classical set theory in solving various problems. Fuzzy set theory in the last three decades as a formal theory which got formalized by generalizing the original ideas and concepts in classical mathematical areas and as a very powerful modeling language, that can cope with a large fraction of uncertainties of real life situations. In Intuitionistic Fuzzy sets a new component degree of non membership in addition to the degree of membership in the case of fuzzy sets with the requirement that their sum be less than or equal to one. The main objective of this thesis is to study frames in Fuzzy and Intuitionistic Fuzzy contexts. The thesis proved some results such as ifµ is a fuzzy subset of a frame F, then µ is a fuzzy frame of F iff each non-empty level subset µt of µ is a subframe of F, the category Fuzzfrm of fuzzy frames has products and the category Fuzzfrm of fuzzy frames is complete. It define a fuzzy-quotient frame of F to be a fuzzy partition of F, that is, a subset of IF and having a frame structure with respect to new operations and study the notion of intuitionistic fuzzy frames and obtain some results and introduce the concept of Intuitionistic fuzzy Quotient frames. Finally it establish the categorical link between frames and intuitionistic fuzzy topologies.

Box Products in Fuzzy Topological Spaces and Related Topics

The topology as the product set with a base chosen as all products of open sets in the individual spaces. This topology is known as box topology. The main objective of this study is to extend the concept of box products to fuzzy box products and to obtain some results regarding them. Owing to the fact that box products have plenty of applications in uniform and covering properties, here made an attempt to explore some inter relations of fuzzy uniform properties and fuzzy covering properties in fuzzy box products. Even though the main focus is on fuzzy box products, some brief sketches regarding hereditarily fuzzy normal spaces and fuzzy nabla product is also provided. The main results obtained include characterization of fuzzy Hausdroffness and fuzzy regularity of box products of fuzzy topological spaces. The investigation of the completeness of fuzzy uniformities in fuzzy box products proved that a fuzzy box product of spaces is fuzzy topologically complete if each co-ordinate space is fuzzy topologically complete. The thesis also prove that the fuzzy box product of a family of fuzzy α-paracompact spaces is fuzzy topologically complete. In Fuzzy box product of hereditarily fuzzy normal spaces, the main result obtained is that if a fuzzy box product of spaces is hereditarily fuzzy normal ,then every countable subset of it is fuzzy closed. It also deals with the notion of fuzzy nabla product of spaces which is a quotient of fuzzy box product. Here the study deals the relation connecting fuzzy box product and fuzzy nabla product

Study on Fuzzy Ordered FuzzyTopological Spaces

In this study we combine the notions of fuzzy order and fuzzy topology of Chang and define fuzzy ordered fuzzy topological space. Its various properties are analysed. Product, quotient, union and intersection of fuzzy orders are introduced. Besides, fuzzy order preserving maps and various fuzzy completeness are investigated. Finally an attempt is made to study the notion of generalized fuzzy ordered fuzzy topological space by considering fuzzy order defined on a fuzzy subset.