A System for Models of First Order Theories

If you want to know whether a property is true or not in a specific algebraic structure,you need to test that property on the given structure. This can be done by hand, which can be cumbersome and erroneous. In addition, the time consumed in testing depends on the size of the structure where the property is applied. We present an implementation of a system for finding counterexamples and testing properties of models of first-order theories. This system is supposed to provide a convenient and paperless environment for researchers and students investigating or studying such models and algebraic structures in particular. To implement a first-order theory in the system, a suitable first-order language.( and some axioms are required. The components of a language are given by a collection of variables, a set of predicate symbols, and a set of operation symbols. Variables and operation symbols are used to build terms. Terms, predicate symbols, and the usual logical connectives are used to build formulas. A first-order theory now consists of a language together with a set of closed formulas, i.e. formulas without free occurrences of variables. The set of formulas is also called the axioms of the theory. The system uses several different formats to allow the user to specify languages, to define axioms and theories and to create models. Besides the obvious operations and tests on these structures, we have introduced the notion of a functor between classes of models in order to generate more co~plex models from given ones automatically. As an example, we will use the system to create several lattices structures starting from a model of the theory of pre-orders.

Clendenan-Thompson family fonds

Daniel Clendenan (1793-1866) was the son of Abraham Clendenan, a private in Butler’s Rangers. He was married to Susan[na] [Albrecht ] Albright, daughter of Amos Albright. Daniel and Susan[na] had twelve children and belonged to the Disciple Church. In 1826 Daniel Clendenan purchased Part lot 14, Concession 6, Louth Township from Robert Roberts Loring. On this property he built a home and conducted the business of blacksmithing and along with William Jones operated a lumber mill. Volume 1 and the first part of Volume 2 are Daniel Clendenan’s account books. Daniel and his wife Susan are buried in the Vineland Mennonite cemetery. Daniel and Susan[na]’s youngest daughter, Sarah, married widower Andrew Thompson (1825-1901), son of Charles and grandson of Solomon. Andrew Thompson had settled in the Wainfleet area in 1854 and had owned a mill in Wellandport. Daniel Clendenan, in ill health, passed ownership of Lot 14, Concession 6, Louth Township to his son-in-law Andrew Thompson. Robert Roberts Loring, the original owner of lot 14, concession 6 in Louth was born in September of 1789 in England. He joined the 49th Regiment of Foot as an ensign in December of 1804 and arrived in Quebec the following July. He served with Isaac Brock and Roger Sheaffe. In 1806 he was promoted to lieutenant. Loring was hired by Lieutenant General Gordon Drummond and accompanied him to Ireland in 1811, but the outbreak of war in the States in 1812 drew Loring back to Canada. On June 26, 1812 Loring became a captain in the 104th Regiment of Foot. On October 29 of the same year, he was appointed aide-de-camp to Sheaffe who was the administrator of Upper Canada. During the American attack on York in April 1813, Loring suffered an injury to his right arm from which he never recovered. In December of 1813, Drummond assumed command of the forces in Upper Canada and he appointed Loring as his aide-de-camp, later civil secretary and eventually his personal secretary. Loring was with Drummond in 1813 at the capture of Fort Niagara (near Youngstown), N.Y. He was also with Drummond in the attacks on Fort Niagara, settlements along the American side of the Niagara River, and then York and Kingston. In July of 1814 he was promoted to brevet major, however he was captured at the Battle of Lundy’s Lane and he spent the remainder of the conflict in Cheshire, Massachusetts. One of his fellow captives was William Hamilton Merritt. Loring remained in the army and had numerous military posts in Canada and England. He retired in 1839 and lived the last of his years in Toronto. He died on April 1, 1848. Sources: http://www.biographi.ca/en/bio/loring_robert_roberts_7E.html and “Loring, Robert Roberts” by Robert Malcomson in The Encyclopedia Of the War Of 1812 edited by Spencer Tucker, James R. Arnold, Roberta Wiener, Paul G. Pierpaoli, John C. Fredriksen

Region Connection Calculus: Composition Tables and Constraint Satisfaction Problems

Qualitative spatial reasoning (QSR) is an important field of AI that deals with qualitative aspects of spatial entities. Regions and their relationships are described in qualitative terms instead of numerical values. This approach models human based reasoning about such entities closer than other approaches. Any relationships between regions that we encounter in our daily life situations are normally formulated in natural language. For example, one can outline one's room plan to an expert by indicating which rooms should be connected to each other. Mereotopology as an area of QSR combines mereology, topology and algebraic methods. As mereotopology plays an important role in region based theories of space, our focus is on one of the most widely referenced formalisms for QSR, the region connection calculus (RCC). RCC is a first order theory based on a primitive connectedness relation, which is a binary symmetric relation satisfying some additional properties. By using this relation we can define a set of basic binary relations which have the property of being jointly exhaustive and pairwise disjoint (JEPD), which means that between any two spatial entities exactly one of the basic relations hold. Basic reasoning can now be done by using the composition operation on relations whose results are stored in a composition table. Relation algebras (RAs) have become a main entity for spatial reasoning in the area of QSR. These algebras are based on equational reasoning which can be used to derive further relations between regions in a certain situation. Any of those algebras describe the relation between regions up to a certain degree of detail. In this thesis we will use the method of splitting atoms in a RA in order to reproduce known algebras such as RCC15 and RCC25 systematically and to generate new algebras, and hence a more detailed description of regions, beyond RCC25.

Percy Carruthers Band fonds, 1857-2005, n.d. (non-inclusive)

Percy Carruthers Band was born on November 27, 1892 in Toronto, Ontario to Charles Walter Band, a grain merchant and Jessie Camp Shaw Band. He graduated from Upper Canada College and became a broker. He worked at the Dominion Bank and then at Maple Leaf Milling Company. He was stationed at Port Colborne for a while. Before leaving for the front, he was with Bankers Bond Company of Toronto and is also listed as working with the firm of Bailey, Wood and Cross. Lieutenant Band received a Certificate of Military Qualifications on Dec. 24th, 1914. He received his Certificate of Military Instruction on Nov. 30, 1915. He received these certificates while with the 48th Regiment (Highlanders). He enlisted in 1914 and went overseas in August of 1915 as an officer in the 35th Battalion. By August 26, 1915, he is listed as being with the 23rd Reserve Battalion. A year later, in August of 1916 Lieutenant Band arrived in France and was posted to the 2nd Battalion – “The Second Iron”. In 1916, Band was the victim of shell shock received during a charge. He was wounded in April of 1917 at Vimy Ridge yet he remained on duty. At this time he received a gunshot wound to his right jaw. He earned a promotion to Captain on September 16th, 1917. He was wounded again in November of 1917 at Passchendaele where he suffered a gunshot wound to the ear. For his courage and determination Percy Band received the Military Cross on February 18, 1918. He led his company under difficult circumstances even though he was wounded. He was awarded a bar to the Military Cross for gallantry during a successful attack on two villages on December 2nd, 1918. During this attack he led his company against enemy machine guns. It is said that he displayed exceptional leadership qualities and skill during this time. On the 30th of August in 1918, he made a daring reconnaissance to the front under heavy fire in an attack on Upton Wood. He was also commended on his gallantry during attacks on Cagnicourt and the Canal du Nord in September of 1918. He was awarded the second bar to the Military Cross on February 1, 1919. The award of the Croix de Guerre was conferred on Captain Percy Carruthers Band by the President of the French Republic on December 15th, 1918 for distinguished service rendered during the course of the campaign. His general demobilization took place on April 25, 1919. Percy Band married Margaret Julia Woodruff on November 25, 1919, and they had three children: Charles Woodruff Band (1921), Margaret Elizabeth Band (1924) and Robert DeVeaux Woodruff Band (1927). After the war, Mr. Band was a manager at Geo. Weston Bread and Cakes Limited, St. Catharines. Percy Band was also an avid collector. His collections included antique toys and art. He died suddenly on May 19, 1961. The Toronto Telegram published this about him: “Captain Percy Carruthers Band, M.C. with two Bars, Croix de Guerre with Palm – was an officer whose buoyant spirit and gallantry mirrored the vibrant soul of the Battalion. Blythe of heart, yet endowed with a fine sense of responsibility, he gave inspired leadership of No. 3 Company.”

The Effects of Periodic Quotas Limiting the Stock of Imports of Durables

Analyses of trade quotas typically assume that the quota restricts the flow of some nondurable good. Many real-world quotas, however, restrict the stock of durable imports. We consider the cases where (1) anyone is free to export against such quotas and where (2) only those allocated portions of the total quota are free to export against such quotas. Recent econometric investigations of such quotas have focused on the price of the durable as an indicator of tightness induced by the quota. We show why this is an inappropriate indicator and suggest alternatives.

The Uneasy History of Lotteries

While the Present Popularity of Lotteries and the Ferocious Attacks They Are the Object of Would Induce One to Think They Are a Novelty, Lotteries Already Existed At the Dawn of History. in This Paper, We Will Give a Brief Historical Survey of Games of Chance, with Special Emphasis on Lotteries. This Survey Serves As a Background for Forthcoming Studies Where We Examine Why They Were Frequently Popular And, At the Same Time, the Object of the Scorn of a Number of Would-Be Reformers.

Death for life : a study of targeted killing by States in international law

"Mémoire présenté à la faculté des études supérieures en vue de l'obtention du grade de Maîtrise en droit (LL.M.)". Ce mémoire a été accepté à l'unanimité et classé parmi les 10% des mémoires de la discipline.

Changements des politiques d’immigration et d’asile après les attentats du 11 septembre 2001 : rupture ou continuité ?

La visée de ce mémoire est d’expliquer les récents changements des lois sur l’immigration et l’asile. À prime abord, le moment de ces changements suggère une influence des attentats du 11 septembre 2001. La littérature avance toutefois que ces changements dateraient plutôt de la fin de la Guerre froide. Nous avons donc vérifié deux hypothèses, la première étant que les changements législatifs découlent de l’évolution des flux migratoires, et la seconde voulant qu’ils résultent d’une « connexion sécurité‐migration ». Nous avons d’abord eu recours aux écrits sur les changements institutionnels et les politiques d’immigration et d’asile et sur la constitution des migrations comme enjeu sécuritaire. Ensuite, nous avons étudié le contenu des lois sur l’immigration et l’asile de pays membres de l’OCDE de 1989 à 2008. Deux typologies ont été construites pour évaluer l’effet des flux migratoires sur lesdits changements législatifs. Enfin, une analyse lexicométrique nous a permis d’évaluer le poids des enjeux sécuritaires dans les lois sur l’immigration et l’asile depuis 1989. Nous avons noté l’absence de corrélation entre changements législatifs et flux migratoires mais la présence d’un lien entre ces changements et la « connexion sécurité‐migration ». Le rôle joué par le 11 septembre et d’autres attaques terroristes a été vérifié pour les États‐Unis, le Royaume‐Uni et l’Union européenne. Ce mémoire démontre ainsi la mutation des lois sur l’immigration et l’asile qui sont passées du statut de « régulateur des migrations internationales » à celui de « garant de la sécurité nationale ».

Variétés de drapeaux et opérateurs différentiels

Soit G un groupe algébrique semi-simple sur un corps de caractéristique 0. Ce mémoire discute d'un théorème d'annulation de la cohomologie supérieure du faisceau D des opérateurs différentiels sur une variété de drapeaux de G. On démontre que si P est un sous-groupe parabolique de G, alors H^i(G/P,D)=0 pour tout i>0. On donne en fait trois preuves indépendantes de ce théorème. La première preuve est de Hesselink et n'est valide que dans le cas où le sous-groupe parabolique est un sous-groupe de Borel. Elle utilise un argument de suites spectrales et le théorème de Borel-Weil-Bott. La seconde preuve est de Kempf et n'est valide que dans le cas où le radical unipotent de P agit trivialement sur son algèbre de Lie. Elle n'utilise que le théorème de Borel-Weil-Bott. Enfin, la troisième preuve est attribuée à Elkik. Elle est valide pour tout sous-groupe parabolique mais utilise le théorème de Grauert-Riemenschneider. On présente aussi une construction détaillée du faisceau des opérateurs différentiels sur une variété.

Surfaces de Riemann compactes et formule de trace d'Eichler

Dans ce mémoire, nous étudierons quelques propriétés algébriques, géométriques et topologiques des surfaces de Riemann compactes. Deux grand sujets seront traités. Tout d'abord, en utilisant le fait que toute surface de Riemann compacte de genre g plus grand ou égal à 2 possède un nombre fini de points de Weierstrass, nous allons pouvoir conclure que ces surfaces possèdent un nombre fini d'automorphismes. Ensuite, nous allons étudier de plus près la formule de trace d'Eichler. Ce théorème nous permet de trouver le caractère d'un automorphisme agissant sur l'espace des q-différentielles holomorphes. Nous commencerons notre étude en utilisant la quartique de Klein. Nous effectuerons un exemple de calcul utilisant le théorème d'Eichler, ce qui nous permettra de nous familiariser avec l'énoncé du théorème. Finalement, nous allons démontrer la formule de trace d'Eichler, en prenant soin de traiter le cas où l'automorphisme agit sans point fixe séparément du cas où l'automorphisme possède des points fixes.

Quotients d'une variété algébrique par un groupe algébrique linéairement réductif et ses sous-groupes maximaux unipotents

La construction d'un quotient, en topologie, est relativement simple; si $G$ est un groupe topologique agissant sur un espace topologique $X$, on peut considérer l'application naturelle de $X$ dans $X/G$, l'espace d'orbites muni de la topologie quotient. En géométrie algébrique, malheureusement, il n'est généralement pas possible de munir l'espace d'orbites d'une structure de variété. Dans le cas de l'action d'un groupe linéairement réductif $G$ sur une variété projective $X$, la théorie géométrique des invariants nous permet toutefois de construire un morphisme de variété d'un ouvert $U$ de $X$ vers une variété projective $X//U$, se rapprochant autant que possible d'une application quotient, au sens topologique du terme. Considérons par exemple $X\subseteq P^{n}$, une $k$-variété projective sur laquelle agit un groupe linéairement réductif $G$ et supposons que cette action soit induite par une action linéaire de $G$ sur $A^{n+1}$. Soit $\widehat{X}\subseteq A^{n+1}$, le cône affine au dessus de $\X$. Par un théorème de la théorie classique des invariants, il existe alors des invariants homogènes $f_{1},...,f_{r}\in C[\widehat{X}]^{G}$ tels que $$C[\widehat{X}]^{G}= C[f_{1},...,f_{r}].$$ On appellera le nilcone, que l'on notera $N$, la sous-variété de $\X$ définie par le locus des invariants $f_{1},...,f_{r}$. Soit $Proj(C[\widehat{X}]^{G})$, le spectre projectif de l'anneau des invariants. L'application rationnelle $$\pi:X\dashrightarrow Proj(C[f_{1},...,f_{r}])$$ induite par l'inclusion de $C[\widehat{X}]^{G}$ dans $C[\widehat{X}]$ est alors surjective, constante sur les orbites et sépare les orbites autant qu'il est possible de le faire; plus précisément, chaque fibre contient exactement une orbite fermée. Pour obtenir une application régulière satisfaisant les mêmes propriétés, il est nécessaire de jeter les points du nilcone. On obtient alors l'application quotient $$\pi:X\backslash N\rightarrow Proj(C[f_{1},...,f_{r}]).$$ Le critère de Hilbert-Mumford, dû à Hilbert et repris par Mumford près d'un demi-siècle plus tard, permet de décrire $N$ sans connaître les $f_{1},...,f_{r}$. Ce critère est d'autant plus utile que les générateurs de l'anneau des invariants ne sont connus que dans certains cas particuliers. Malgré les applications concrètes de ce théorème en géométrie algébrique classique, les démonstrations que l'on en trouve dans la littérature sont généralement données dans le cadre peu accessible des schémas. L'objectif de ce mémoire sera, entre autres, de donner une démonstration de ce critère en utilisant autant que possible les outils de la géométrie algébrique classique et de l'algèbre commutative. La version que nous démontrerons est un peu plus générale que la version originale de Hilbert \cite{hilbert} et se retrouve, par exemple, dans \cite{kempf}. Notre preuve est valide sur $C$ mais pourrait être généralisée à un corps $k$ de caractéristique nulle, pas nécessairement algébriquement clos. Dans la seconde partie de ce mémoire, nous étudierons la relation entre la construction précédente et celle obtenue en incluant les covariants en plus des invariants. Nous démontrerons dans ce cas un critère analogue au critère de Hilbert-Mumford (Théorème 6.3.2). C'est un théorème de Brion pour lequel nous donnerons une version un peu plus générale. Cette version, de même qu'une preuve simplifiée d'un théorème de Grosshans (Théorème 6.1.7), sont les éléments de ce mémoire que l'on ne retrouve pas dans la littérature.

Politics in extraordinary times : a study of the reaction of political parties and elites to terrorism

Cette thèse porte sur le comportement des élites politiques durant les périodes de crise nationale et plus particulièrement sur leurs réactions aux attentats terroristes. Elle démontre que les crises terroristes sont tout comme les conflits militaires ou diplomatiques propices aux unions nationales et notamment aux ralliements des partis d’opposition auprès du gouvernement. L’analyse statistique d’actes terroristes s’étant produits dans cinq états démocratiques (Allemagne, Espagne, États-Unis d’Amérique, France et Royaume-Uni) entre 1990 et 2006 révèle que l’ampleur d’un attentat en termes de pertes humaines ainsi que la répétition de ces attentats influencent dans une large mesure la réaction des élites politiques. Ainsi plus l’ampleur d’un attentat est élevée, plus la probabilité d’un ralliement est grande. En revanche, la multiplication des attentats augmente la possibilité de dissension entre l’opposition et le gouvernement. Par ailleurs, l’opposition est plus susceptible de se rallier au gouvernement lorsque l’attentat est perpétré par des terroristes provenant de l’étranger. L’analyse quantitative indique également que l’existence d’un accord formel de coopération dans la lutte antiterroriste entre le gouvernement et l’opposition favorise l’union des élites. Enfin, les données analysées suggèrent que la proportion des ralliements dans les cinq pays est plus importante depuis les attentats du 11 septembre 2001. Une analyse qualitative portant exclusivement sur la France et couvrant la période 1980-2006 confirme la validité des variables identifiées dans la partie quantitative, mais suggère que les élites réagissent au nombre total de victimes (morts mais aussi blessés) et que la répétition des actes terroristes a moins d’impact lors des vagues d’attentats. Par ailleurs, les analyses de cas confirment que les élites politiques françaises sont plus susceptibles de se rallier quand un attentat vise un haut-fonctionnaire de l’État. Il apparaît également que les rivalités et rancœurs politiques propre à la France (notamment suite à l’arrivée de la gauche au pouvoir en 1981) ont parfois empêché le ralliement des élites. Enfin, cette analyse qualitative révèle que si l’extrême gauche française soutient généralement le gouvernement, qu’il soit de gauche ou de droite, en période de crise terroriste, l’extrême droite en revanche saisit quasi systématiquement l’opportunité offerte par l’acte terroriste pour critiquer le gouvernement ainsi que les partis de l’establishment. La thèse est divisée en sept chapitres. Le premier chapitre suggère que le comportement des élites politiques en période de crises internationales graves (guerres et conflits diplomatiques) est souvent influencé par la raison d’État et non par l’intérêt électoral qui prédomine lors des périodes plus paisibles. Le second chapitre discute du phénomène terroriste et de la littérature afférente. Le troisième chapitre analyse les causes du phénomène d’union nationale, soumet un cadre pour l’analyse de la réaction des élites aux actes terroristes, et présente une série d’hypothèses. Le quatrième chapitre détaille la méthodologie utilisée au cours de cette recherche. Les chapitres cinq et six présentent respectivement les résultats des analyses quantitatives et qualitatives. Enfin, le chapitre sept conclut cette thèse en résumant la contribution de l’auteur et en suggérant des pistes de recherche.

L’apolipoprotéine A-I interagit avec l’adhésine impliquée dans l’adhérence diffuse (AIDA-I) d’Escherichia coli : rôle lors du processus d’adhésion et d’invasion

L’adhésine impliquée dans l’adhérence diffuse (AIDA-I) est une adhésine bactérienne présente chez certaines souches d’Escherichia coli qui, associée aux toxines Stx2e ou STb, contribue à l’apparition de la maladie de l’œdème ou de la diarrhée post-sevrage chez les porcelets. AIDA-I est un autotransporteur qui confère des capacités d’autoaggrégation, de formation de biofilms et d’adhésion. L’objectif principal du projet de recherche consistait en la recherche de récepteur(s) potentiel(s) d’AIDA-I. Les bactéries pathogènes adhèrent aux cellules-cibles soit en liant directement des molécules à la surface cellulaire ou en utilisant des molécules intermédiaires qui permettent de diminuer la distance séparant la bactérie de la cellule-cible. Puisque le sérum est un fluide qui contient de nombreuses molécules, celui-ci a été utilisé comme matériel de départ pour l’isolement de récepteur(s) potentiels. Nous avons isolé un récepteur potentiel à partir du sérum porcin : l’apolipoprotéine A-I. L’interaction entre l’apolipoprotéine A-I et AIDA-I a été confirmée par ELISA et microscopie à fluorescence. La capacité à envahir les cellules épithéliales offre aux pathogènes la possibilité d’établir une niche intracellulaire qui les protègent contre les attaques du milieu extérieur. La présente étude a démontré que la présence d’AIDA-I en tant que seul facteur de virulence chez une souche de laboratoire permet de conférer la capacité d’envahir les cellules sans promouvoir la survie intracellulaire. L’étude de la souche sauvage 2787, exprimant AIDA-I en association avec d’autres facteurs de virulence, a démontré une différence significative pour les phénotypes d’invasion et de survie intracellulaire face à la souche de laboratoire exprimant AIDA-I.

Der Literaturskandal: Symbolisches Kapital und Selbstbezug am Beispiel Thomas Bernhards

Ce mémoire analyse la réception de l’auteur autrichien Thomas Bernhard (1931-1989) au regard des scandales qui ont marqué sa carrière. Tantôt identifié comme l’imprécateur de l’Autriche, tantôt comme écrivain exceptionnel, il aura remis en question le rôle de son pays dans le national-socialisme et multiplié les attaques ad hominem. Il aura tenu un rôle ambigu dans l’espace public. Tout en insistant sur le caractère fictif de ses œuvres, il se mettait en scène de façon provocatrice dans le discours public ainsi que dans sa fiction. Ce mémoire s’intéresse au fonctionnement du scandale en tant qu’événement social complexe ayant lieu dans l’espace public. Les chercheurs s’entendent pour considérer le scandale comme un trouble ou une irritation résultant d’une transgression, apparente ou avérée. Il s’agit en outre d’un phénomène intégré dans l’ordre social et géré par les médias, caractérisé par l’actualisation des valeurs morales. Dans la présente étude, il est postulé que le capital symbolique (cf. Bourdieu) joue un rôle d’a priori et de catalyseur dans les scandales. Une accumulation initiale de capital symbolique assure une visibilité médiatique automatique. Le capital d’identité de Thomas Bernhard – soit la personnalisation du capital symbolique – est hybride et complexe, de sorte qu’il est difficilement appréciable. La difficile appréciation du capital de l’auteur se traduit par l’incertitude des journalistes et du public quant à son message : réactions dispro-portionnées, critique du particulier perçue comme mise en cause de l’universel. Toute dé-claration, toute œuvre de Bernhard est assujettie à ses prestations « scandaleuses » antérieu-res. Ce mémoire insiste sur le caractère autoréférentiel du scandale et s’intéresse aux actes de langage performatifs (cf. John L. Austin). Le corpus comporte des romans de Bernhard, leurs recensions, des articles de quotidiens, des lettres de lecteurs, des documents juridiques ainsi que la correspondance entre Bernhard et Siegfried Unseld.

Superintégrabilité avec séparation de variables en coordonnées polaires et intégrales du mouvement d’ordre supérieur à deux

Dans cette thèse, nous proposons de nouveaux résultats de systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires. Dans un premier temps, nous présentons une classification complète de tous les systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires qui admettent une intégrale du mouvement d'ordre trois. Des potentiels s'exprimant en terme de la sixième transcendante de Painlevé et de la fonction elliptique de Weierstrass sont présentés. Ensuite, nous introduisons une famille infinie de systèmes classiques et quantiques intégrables et exactement résolubles en coordonnées polaires. Cette famille s'exprime en terme d'un paramètre k. Le spectre d'énergie et les fonctions d'onde des systèmes quantiques sont présentés. Une conjecture postulant la superintégrabilité de ces systèmes est formulée et est vérifiée pour k=1,2,3,4. L'ordre des intégrales du mouvement proposées est 2k où k ∈ ℕ. La structure algébrique de la famille de systèmes quantiques est formulée en terme d'une algèbre cachée où le nombre de générateurs dépend du paramètre k. Une généralisation quasi-exactement résoluble et intégrable de la famille de potentiels est proposée. Finalement, les trajectoires classiques de la famille de systèmes sont calculées pour tous les cas rationnels k ∈ ℚ. Celles-ci s'expriment en terme des polynômes de Chebyshev. Les courbes associées aux trajectoires sont présentées pour les premiers cas k=1, 2, 3, 4, 1/2, 1/3 et 3/2 et les trajectoires bornées sont fermées et périodiques dans l'espace des phases. Ainsi, les résultats obtenus viennent renforcer la possible véracité de la conjecture.