Paralelização de métodos de resolução de sistemas lineares esparsos com o DECK em um Cluster de PCs

O objetivo desta dissertação é a paralelização e a avaliação do desempenho de alguns métodos de resolução de sistemas lineares esparsos. O DECK foi utilizado para implementação dos métodos em um cluster de PCs. A presente pesquisa é motivada pela vasta utilização de Sistemas de Equações Lineares em várias áreas científicas, especialmente, na modelagem de fenômenos físicos através de Equações Diferenciais Parciais (EDPs). Nessa área, têm sido desenvolvidas pesquisas pelo GMC-PAD – Grupo de Matemática da Computação e Processamento de Alto Desempenho da UFRGS, para as quais esse trabalho vem contribuindo. Outro fator de motivação para a realização dessa pesquisa é a disponibilidade de um cluster de PCs no Instituto de Informática e do ambiente de programação paralela DECK – Distributed Execution and Communication Kernel. O DECK possibilita a programação em ambientes paralelos com memória distribuída e/ou compartilhada. Ele está sendo desenvolvido pelo grupo de pesquisas GPPD – Grupo de Processamento Paralelo e Distribuído e com a paralelização dos métodos, nesse ambiente, objetiva-se também validar seu funcionamento e avaliar seu potencial e seu desempenho. Os sistemas lineares originados pela discretização de EDPs têm, em geral, como características a esparsidade e a numerosa quantidade de incógnitas. Devido ao porte dos sistemas, para a resolução é necessária grande quantidade de memória e velocidade de processamento, característicos de computações de alto desempenho. Dois métodos de resolução foram estudados e paralelizados, um da classe dos métodos diretos, o Algoritmo de Thomas e outro da classe dos iterativos, o Gradiente Conjugado. A forma de paralelizar um método é completamente diferente do outro. Isso porque o método iterativo é formado por operações básicas de álgebra linear, e o método direto é formado por operações elementares entre linhas e colunas da matriz dos coeficientes do sistema linear. Isso permitiu a investigação e experimentação de formas distintas de paralelismo. Do método do Gradiente Conjugado, foram feitas a versão sem précondicionamento e versões pré-condicionadas com o pré-condicionador Diagonal e com o pré-condicionador Polinomial. Do Algoritmo de Thomas, devido a sua formulação, somente a versão básica foi feita. Após a paralelização dos métodos de resolução, avaliou-se o desempenho dos algoritmos paralelos no cluster, através da realização de medidas do tempo de execução e foram calculados o speedup e a eficiência. As medidas empíricas foram realizadas com variações na ordem dos sistemas resolvidos e no número de nodos utilizados do cluster. Essa avaliação também envolveu a comparação entre as complexidades dos algoritmos seqüenciais e a complexidade dos algoritmos paralelos dos métodos. Esta pesquisa demonstra o desempenho de métodos de resolução de sistemas lineares esparsos em um ambiente de alto desempenho, bem como as potencialidades do DECK. Aplicações que envolvam a resolução desses sistemas podem ser realizadas no cluster, a partir do que já foi desenvolvido, bem como, a investigação de précondicionadores, comparação do desempenho com outros métodos de resolução e paralelização dos métodos com outras ferramentas possibilitando uma melhor avaliação do DECK.

Solução de sistemas de equações algébrico-diferenciais ordinárias de índice superior

A modelagem matemática de problemas importantes e significativos da engenharia, física e ciências sociais pode ser formulada por um conjunto misto de equações diferenciais e algébricas (EADs). Este conjunto misto de equações deve ser previamente caracterizado quanto a resolubilidade, índice diferencial e condições iniciais, para que seja possível utilizar um código computacional para resolvê-lo numericamente. Sabendo-se que o índice diferencial é o parâmetro mais importante para caracterizar um sistema de EADs, neste trabalho aplica-se a redução de índice através da teoria de grafos, proposta por Pantelides (1988). Este processo de redução de índice é realizado numericamente através do algoritmo DAGRAFO, que transforma um sistema de índice superior para um sistema reduzido de índice 0 ou 1. Após esta etapa é necessário fornecer um conjunto de condições inicias consistentes para iniciar o código numérico de integração, DASSLC. No presente trabalho discute-se três técnicas para a inicialização consistente e integração numérica de sistemas de EADs de índice superior. A primeira técnica trabalha exclusivamente com o sistema reduzido, a segunda com o sistema reduzido e as restrições adicionais que surgem após a redução do índice introduzindo variáveis de restrição, e a terceira técnica trabalha com o sistema reduzido e as derivadas das variáveis de restrição. Após vários testes, conclui-se que a primeira e terceira técnica podem gerar um conjunto solução mesmo quando recebem condições iniciais inconsistentes. Para a primeira técnica, esta característica decorre do fato que no sistema reduzido algumas restrições, muitas vezes com significado físico importante, podem ser perdidas quando as equações algébricas são diferenciadas. Trabalhando com o sistema reduzido e as derivadas das variáveis de restrição, o erro da inicialização é absorvido pelas variáveis de restrição, mascarando a precisão do código numérico. A segunda técnica adotada não tem como absorver os erros da inicialização pelas variáveis de restrição, desta forma, quando as restrições adicionais não são satisfeitas, não é gerada solução alguma. Entretanto, ao aplicar condições iniciais consistentes para todas as técnicas, conclui-se que o sistema reduzido com as derivadas das variáveis restrição é o método mais conveniente, pois apresenta melhor desempenho computacional, inclusive quando a matriz jacobiana do sistema apresenta problema de mau condicionamento, e garante que todas as restrições que compõem o sistema original estejam presentes no sistema reduzido.

Reconhecimento automático de locutor utilizando medidas de invariantes dinâmicas não-lineares

As técnicas utilizadas em sistemas de reconhecimento automático de locutor (RAL) objetivam identificar uma pessoa através de sua voz, utilizando recursos computacionais. Isso é feito a partir de um modelamento para o processo de produção da voz. A modelagem detalhada desse processo deve levar em consideração a variação temporal da forma do trato vocal, as ressonâncias associadas à sua fisiologia, perdas devidas ao atrito viscoso nas paredes internas do trato vocal, suavidade dessas paredes internas, radiação do som nos lábios, acoplamento nasal, flexibilidade associada à vibração das cordas vocais, etc. Alguns desses fatores são modelados por um sistema que combina uma fonte de excitação periódica e outra de ruído branco, aplicadas a um filtro digital variante no tempo. Entretanto, outros fatores são desconsiderados nesse modelamento, pela simples dificuldade ou até impossibilidade de descrevê-los em termos de combinações de sinais, filtros digitais, ou equações diferenciais. Por outro lado, a Teoria dos Sistemas Dinâmicos Não-Lineares ou Teoria do Caos oferece técnicas para a análise de sinais onde não se sabe, ou não é conhecido, o modelo detalhado do mecanismo de produção desses sinais. A análise através dessa teoria procura avaliar a dinâmica do sinal e, assumindo-se que tais amostras provêm de um sistema dinâmico não-linear, medidas qualitativas podem ser obtidas desse sistema. Essas medidas não fornecem informações precisas quanto ao modelamento do processo de produção do sinal avaliado, isto é, o modelo analítico é ainda inacessível. Entretanto, pode-se aferir a respeito de suaO problema analisado ao longo deste trabalho trata da busca de novos métodos para extrair informações úteis a respeito do locutor que produziu um determinado sinal de voz. Com isso, espera-se conceber sistemas que realizem a tarefa de reconhecer um pessoa automaticamente através de sua voz de forma mais exata, segura e robusta, contribuindo para o surgimento de sistemas de RAL com aplicação prática. Para isso, este trabalho propõe a utilização de novas ferramentas, baseadas na Teoria dos Sistemas Dinâmicos Não-Lineares, para melhorar a caracterização de uma pessoa através de sua voz. Assim, o mecanismo de produção do sinal de voz é analisado sob outro ponto de vista, como sendo o produto de um sistema dinâmico que evolui em um espaço de fases apropriado. Primeiramente, a possibilidade de utilização dessas técnicas em sinais de voz é verificada. A seguir, demonstra-se como as técnicas para estimação de invariantes dinâmicas não-lineares podem ser adaptadas para que possam ser utilizadas em sistemas de RAL. Por fim, adaptações e automatizações algorítmicas para extração de invariantes dinâmicas são sugeridas para o tratamento de sinais de voz. A comprovação da eficácia dessa metodologia se deu pela realização de testes comparativos de exatidão que, de forma estatisticamente significativa, mostraram o benefício advindo das modificações sugeridas. A melhora obtida com o acréscimo de invariantes dinâmicas da forma proposta no sistema de RAL utilizado nos testes resultou na diminuição da taxa de erro igual (EER) em 17,65%, acarretando um intrínseco aumento de processamento. Para sinais de voz contaminados com ruído, o benefício atingido com o sistema proposto foi verificado para relações sinal ruído (SNRs) maiores que aproximadamente 5 dB. O avanço científico potencial advindo dos resultados alcançados com este trabalho não se limita às invariantes dinâmicas utilizadas, e nem mesmo à caracterização de locutores. A comprovação da possibilidade de utilização de técnicas da Teoria do Caos em sinais de voz permitirá expandir os conceitos utilizados em qualquer sistema que processe digitalmente sinais de voz. O avanço das técnicas de Sistemas Dinâmicos Não-Lineares, como a concepção de invariantes dinâmicas mais representativas e robustas, implicará também no avanço dos sistemas que utilizarem esse novo conceito para tratamento de sinais vocais.

Equações de diferenças e aplicações

Sistemas dinâmicos são todos os sistemas que evoluem no tempo, qualquer que seja a sua natureza, isto é, sistemas fisícos, biológicos, químicos, sociais, económicos, etc.. Esta evoluçãoo pode ser descrita (modelada) por equaçõess de diferenças, uma vez que esse tempo é muitas vezes medido em intervalos discretos. As equações de diferenças aparecem também quando se estuda métodos para a discretização de equações diferenciais. Assim, este trabalho tem por principal objectivo estudar as soluções de alguns tipos de equações de diferenças. Para isso, começa-se por introduzir o conceito de diferença e a sua relação com as equações de diferenças. Em seguida, determina-se a solução geral das todas as equações lineares de primeira ordem, bem como o estudo do seu comportamento assimptótico. Prossegue-se, desenvolvendo as principais técnicas para determinar a soluçãoo de equações de diferenças lineares de qualquer ordem. Em particular, estudam-se as equações com coeficientes constantes. Depois de se desenvolver a teoria básica dos sistemas lineares de equações de diferenças, particulariza-se aos sistemas lineares autónomos,com apenas duas variáveis dependentes, fazendo assim o estudo do comportamento das soluções no plano de fases. Por fim, utiliza-se a transformada Z como uma ferramenta que permite resolver equações de diferenças, em especial as equações de tipo convolução.

Semigrupos de operadores lineares limitados: soluções Mild e Weak

Pós-graduação em Matemática - IBILCE

Aceleração de Fermi em bilhares com fronteiras dependentes do tempo descritas por osciladores não lineares: caso conservativo e dissipativo

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)

Ciclos limites de sistemas lineares por partes

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)

Estabilidade assintótica de uma classe de sistemas não lineares

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Estudo de sistemas lineares por parte com três zonas e aplicação na análise de um circuito elétrico envolvendo um memristor

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Estudo de estabilidade e bifurcações em sistemas não-lineares

Pós-graduação em Matemática Universitária - IGCE

Equações com impasse e problemas de perturbação singular

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)

Conjuntos minimais de sistemas lineares por partes

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)

Relaxação e decaimento para pontos de equilíbrio em mapeamentos não lineares unidimensionais

We investigate in this work the behaviour of the decay to the fixed points, in particular along the bifurcations, for a family of one-dimensional logistic-like discrete mappings. We start with the logistic map focusing in the transcritical bifurcation. Next we investigate the convergence to the stationary state at the cubic map. At the end we generalise the procedure for a mapping of the logistic-like type. Near the fixed point, the dynamical variable varies slowly. This property allows us to approximate/rewrite the equation of differences, hence natural from discrete mappings, into an ordinary differential equation. We then solve such equation which furnishes the evolution towards the stationary state. Our numerical simulations confirm the theoretical results validating the above mentioned approximation

Avaliação dos algoritmos de Picard-Krylov e Newton-Krylov na solução da equação de Richards

A engenharia geotécnica é uma das grandes áreas da engenharia civil que estuda a interação entre as construções realizadas pelo homem ou de fenômenos naturais com o ambiente geológico, que na grande maioria das vezes trata-se de solos parcialmente saturados. Neste sentido, o desempenho de obras como estabilização, contenção de barragens, muros de contenção, fundações e estradas estão condicionados a uma correta predição do fluxo de água no interior dos solos. Porém, como a área das regiões a serem estudas com relação à predição do fluxo de água são comumente da ordem de quilômetros quadrados, as soluções dos modelos matemáticos exigem malhas computacionais de grandes proporções, ocasionando sérias limitações associadas aos requisitos de memória computacional e tempo de processamento. A fim de contornar estas limitações, métodos numéricos eficientes devem ser empregados na solução do problema em análise. Portanto, métodos iterativos para solução de sistemas não lineares e lineares esparsos de grande porte devem ser utilizados neste tipo de aplicação. Em suma, visto a relevância do tema, esta pesquisa aproximou uma solução para a equação diferencial parcial de Richards pelo método dos volumes finitos em duas dimensões, empregando o método de Picard e Newton com maior eficiência computacional. Para tanto, foram utilizadas técnicas iterativas de resolução de sistemas lineares baseados no espaço de Krylov com matrizes pré-condicionadoras com a biblioteca numérica Portable, Extensible Toolkit for Scientific Computation (PETSc). Os resultados indicam que quando se resolve a equação de Richards considerando-se o método de PICARD-KRYLOV, não importando o modelo de avaliação do solo, a melhor combinação para resolução dos sistemas lineares é o método dos gradientes biconjugados estabilizado mais o pré-condicionador SOR. Por outro lado, quando se utiliza as equações de van Genuchten deve ser optar pela combinação do método dos gradientes conjugados em conjunto com pré-condicionador SOR. Quando se adota o método de NEWTON-KRYLOV, o método gradientes biconjugados estabilizado é o mais eficiente na resolução do sistema linear do passo de Newton, com relação ao pré-condicionador deve-se dar preferência ao bloco Jacobi. Por fim, há evidências que apontam que o método PICARD-KRYLOV pode ser mais vantajoso que o método de NEWTON-KRYLOV, quando empregados na resolução da equação diferencial parcial de Richards.

Análise matemática de soluções descontínuas de leis de conservação hiperbólicas e resoluções numéricas para a captura de ondas de choque em escoamentos multifásicos em meios porosos

O processo de recuperação secundária de petróleo é comumente realizado com a injeção de água ou gás no reservatório a fim de manter a pressão necessária para sua extração. Para que o investimento seja viável, os gastos com a extração precisam ser menores do que o retorno financeiro obtido com a produção de petróleo. Objetivando-se estudar possíveis cenários para o processo de exploração, costuma-se utilizar simulações dos processos de extração. As equações que modelam esse processo de recuperação são de caráter hiperbólico e não lineares, as quais podem ser interpretadas como Leis de Conservação, cujas soluções são complexas por suas naturezas descontínuas. Essas descontinuidades ou saltos são conhecidas como ondas de choque. Neste trabalho foi abordada uma análise matemática para os fenômenos oriundos de leis de conservação, para em seguida utilizá-la no entendimento do referido problema. Foram estudadas soluções fracas que, fisicamente, podem ser interpretadas como ondas de choque ou rarefação, então, para que fossem distinguidas as fisicamente admissíveis, foi considerado o princípio de entropia, nas suas diversas formas. As simulações foram realizadas nos âmbitos dos escoamentos bifásicos e trifásicos, em que os fluidos são imiscíveis e os efeitos gravitacionais e difusivos, devido à pressão capilar, foram desprezados. Inicialmente, foi feito um estudo comparativo de resoluções numéricas na captura de ondas de choque em escoamento bifásico água-óleo. Neste estudo destacam-se o método Composto LWLF-k, o esquema NonStandard e a introdução da nova função de renormalização para o esquema NonStandard, onde obteve resultados satisfatórios, principalmente em regiões onde a viscosidade do óleo é muito maior do que a viscosidade da água. No escoamento bidimensional, um novo método é proposto, partindo de uma generalização do esquema NonStandard unidimensional. Por fim, é feita uma adaptação dos métodos LWLF-4 e NonStandard para a simulação em escoamentos trifásicos em domínios unidimensional. O esquema NonStandard foi considerado mais eficiente nos problemas abordados, uma vez que sua versão bidimensional mostrou-se satisfatória na captura de ondas de choque em escoamentos bifásicos em meios porosos.