Faktorisierung in Schief-Polynomringen

In der Arbeit werden zunächst die wesentlichsten Fakten über Schiefpolynome wiederholt, der Fokus liegt dabei auf Shift- und q-Shift-Operatoren in Charakteristik Null. Alle für die Arithmetik mit diesen Objekten notwendigen Konzepte und Algorithmen finden sich im ersten Kapitel. Einige der zur Bestimmung von Lösungen notwendigen Daten können aus dem Newtonpolygon, einer den Operatoren zugeordneten geometrischen Figur, abgelesen werden. Die Herleitung dieser Zusammenhänge ist das Thema des zweiten Kapitels der Arbeit, wobei dies insbesondere im q-Shift-Fall in dieser Form neu ist. Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit der Bestimmung polynomieller und rationaler Lösungen dieser Operatoren, dabei folgt es im Wesentlichen der Darstellung von Mark van Hoeij. Der für die Faktorisierung von (q-)Shift Operatoren interessanteste Fall sind die sogenannten (q-)hypergeometrischen Lösungen, die direkt zu Rechtsfaktoren erster Ordnung korrespondieren. Im vierten Kapitel wird der van Hoeij-Algorithmus vom Shift- auf den q-Shift-Fall übertragen. Außerdem wird eine deutliche Verbesserung des q-Petkovsek-Algorithmus mit Hilfe der Daten des Newtonpolygons hergeleitet. Das fünfte Kapitel widmet sich der Berechnung allgemeiner Faktoren, wozu zunächst der adjungierte Operator eingeführt wird, der die Berechnung von Linksfaktoren erlaubt. Dann wird ein Algorithmus zur Berechnung von Rechtsfaktoren beliebiger Ordnung dargestellt. Für die praktische Benutzung ist dies allerdings für höhere Ordnungen unpraktikabel. Bei fast allen vorgestellten Algorithmen tritt das Lösen linearer Gleichungssysteme über rationalen Funktionenkörpern als Zwischenschritt auf. Dies ist in den meisten Computeralgebrasystemen nicht befriedigend gelöst. Aus diesem Grund wird im letzten Kapitel ein auf Evaluation und Interpolation basierender Algorithmus zur Lösung dieses Problems vorgestellt, der in allen getesteten Systemen den Standard-Algorithmen deutlich überlegen ist. Alle Algorithmen der Arbeit sind in einem MuPAD-Package implementiert, das der Arbeit beiliegt und eine komfortable Handhabung der auftretenden Objekte erlaubt. Mit diesem Paket können in MuPAD nun viele Probleme gelöst werden, für die es vorher keine Funktionen gab.

Algorithmen für q-holonome Funktionen und q-hypergeometrische Reihen

Die q-Analysis ist eine spezielle Diskretisierung der Analysis auf einem Gitter, welches eine geometrische Folge darstellt, und findet insbesondere in der Quantenphysik eine breite Anwendung, ist aber auch in der Theorie der q-orthogonalen Polynome und speziellen Funktionen von großer Bedeutung. Die betrachteten mathematischen Objekte aus der q-Welt weisen meist eine recht komplizierte Struktur auf und es liegt daher nahe, sie mit Computeralgebrasystemen zu behandeln. In der vorliegenden Dissertation werden Algorithmen für q-holonome Funktionen und q-hypergeometrische Reihen vorgestellt. Alle Algorithmen sind in dem Maple-Package qFPS, welches integraler Bestandteil der Arbeit ist, implementiert. Nachdem in den ersten beiden Kapiteln Grundlagen geschaffen werden, werden im dritten Kapitel Algorithmen präsentiert, mit denen man zu einer q-holonomen Funktion q-holonome Rekursionsgleichungen durch Kenntnis derer q-Shifts aufstellen kann. Operationen mit q-holonomen Rekursionen werden ebenfalls behandelt. Im vierten Kapitel werden effiziente Methoden zur Bestimmung polynomialer, rationaler und q-hypergeometrischer Lösungen von q-holonomen Rekursionen beschrieben. Das fünfte Kapitel beschäftigt sich mit q-hypergeometrischen Potenzreihen bzgl. spezieller Polynombasen. Wir formulieren einen neuen Algorithmus, der zu einer q-holonomen Rekursionsgleichung einer q-hypergeometrischen Reihe mit nichttrivialem Entwicklungspunkt die entsprechende q-holonome Rekursionsgleichung für die Koeffizienten ermittelt. Ferner können wir einen neuen Algorithmus angeben, der umgekehrt zu einer q-holonomen Rekursionsgleichung für die Koeffizienten eine q-holonome Rekursionsgleichung der Reihe bestimmt und der nützlich ist, um q-holonome Rekursionen für bestimmte verallgemeinerte q-hypergeometrische Funktionen aufzustellen. Mit Formulierung des q-Taylorsatzes haben wir schließlich alle Zutaten zusammen, um das Hauptergebnis dieser Arbeit, das q-Analogon des FPS-Algorithmus zu erhalten. Wolfram Koepfs FPS-Algorithmus aus dem Jahre 1992 bestimmt zu einer gegebenen holonomen Funktion die entsprechende hypergeometrische Reihe. Wir erweitern den Algorithmus dahingehend, dass sogar Linearkombinationen q-hypergeometrischer Potenzreihen bestimmt werden können. ________________________________________________________________________________________________________________

Ein Algorithmus zur numerischen Verifikation der äquivarianten Tamagawazahlvermutung für eine Familie von Zahlkörpererweiterungen

Sei $N/K$ eine galoissche Zahlkörpererweiterung mit Galoisgruppe $G$, so dass es in $N$ eine Stelle mit voller Zerlegungsgruppe gibt. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Algorithmen, die für das gegebene Fallbeispiel $N/K$, die äquivariante Tamagawazahlvermutung von Burns und Flach für das Paar $(h^0(Spec(N), \mathbb{Z}[G]))$ (numerisch) verifizieren. Grob gesprochen stellt die äquivariante Tamagawazahlvermutung (im Folgenden ETNC) in diesem Spezialfall einen Zusammenhang her zwischen Werten von Artinschen $L$-Reihen zu den absolut irreduziblen Charakteren von $G$ und einer Eulercharakteristik, die man in diesem Fall mit Hilfe einer sogenannten Tatesequenz konstruieren kann. Unter den Voraussetzungen 1. es gibt eine Stelle $v$ von $N$ mit voller Zerlegungsgruppe, 2. jeder irreduzible Charakter $\chi$ von $G$ erfüllt eine der folgenden Bedingungen 2a) $\chi$ ist abelsch, 2b) $\chi(G) \subset \mathbb{Q}$ und $\chi$ ist eine ganzzahlige Linearkombination von induzierten trivialen Charakteren; wird ein Algorithmus entwickelt, der ETNC für jedes Fallbeispiel $N/\mathbb{Q}$ vollständig beweist. Voraussetzung 1. erlaubt es eine Idee von Chinburg ([Chi89]) umzusetzen zur algorithmischen Berechnung von Tatesequenzen. Dabei war es u.a. auch notwendig lokale Fundamentalklassen zu berechnen. Im höchsten zahm verzweigten Fall haben wir hierfür einen Algorithmus entwickelt, der ebenfalls auf den Ideen von Chinburg ([Chi85]) beruht, die auf Arbeiten von Serre [Ser] zurück gehen. Für nicht zahm verzweigte Erweiterungen benutzen wir den von Debeerst ([Deb11]) entwickelten Algorithmus, der ebenfalls auf Serre's Arbeiten beruht. Voraussetzung 2. wird benötigt, um Quotienten aus den $L$-Werten und Regulatoren exakt zu berechnen. Dies gelingt, da wir im Fall von abelschen Charakteren auf die Theorie der zyklotomischen Einheiten zurückgreifen können und im Fall (b) auf die analytische Klassenzahlformel von Zwischenkörpern. Ohne die Voraussetzung 2. liefern die Algorithmen für jedes Fallbeispiel $N/K$ immer noch eine numerische Verifikation bis auf Rechengenauigkeit. Den Algorithmus zur numerischen Verifikation haben wir für $A_4$-Erweiterungen über $\mathbb{Q}$ in das Computeralgebrasystem MAGMA implementiert und für 27 Erweiterungen die äquivariante Tamagawazahlvermutung numerisch verifiziert.

Methodische Ansätze zur unscharfen Mustererkennung bei Deformationsmessergebnissen

In dieser Dissertation werden mithilfe von Ansätzen, die aus der Mustererekennung abgeleiteten sind, zwei typische Aufgabenstellungen aus dem Bereich der geodätischen Überwachungsmessungen bearbeitet. Die hier benutzten Ansätze bedienen sich automatisch arbeitender Clusterverfahren, die unter Nutzung formaler Kriterien Daten in homogene Gruppen einordnen. Die Besonderheit sind hier die verwendeten Fuzzy-Clusterverfahren, bei denen die Daten nicht genau einer Gruppe zugeordnet werden, sondern jeder Gruppe mit einem graduell variierenden Zugehörigkeitswert. In dem ersten Beispiel geht es um das Auffinden von Punktgruppen mit einem gleichförmigen Bewegungsverhalten in einem zweidimensionalen Überwachungsnetz und in dem zweiten Beispiel um die automatische Klassifizierung von Setzungszeitreihen. In beiden Beispielen wird gezeigt, dass die bisher in der Praxis überwiegend durch einen erfahrenen Auswerter, durch manuelle Beurteilung von graphischen Darstellungen, erfolgte Vorgehensweise weitestgehend automatisiert werden kann.

Root parametrized differential equations

The present thesis is about the inverse problem in differential Galois Theory. Given a differential field, the inverse  problem asks which linear algebraic groups can be realized as differential Galois groups of Picard-Vessiot extensions of this field.   In this thesis we will concentrate on the realization of the classical groups as differential Galois groups. We introduce a method for a very general realization of these groups. This means that we present for the classical groups of Lie rank $l$ explicit linear differential equations where the coefficients are differential polynomials in $l$ differential indeterminates over an algebraically closed field of constants $C$, i.e. our differential ground field is purely differential transcendental over the constants.   For the groups of type $A_l$, $B_l$, $C_l$, $D_l$ and $G_2$ we managed to do these realizations at the same time in terms of Abhyankar's program 'Nice Equations for Nice Groups'. Here the choice of the defining matrix is important. We found out that an educated choice of $l$ negative roots for the parametrization together with the positive simple roots leads to a nice differential equation and at the same time defines a sufficiently general element of the Lie algebra. Unfortunately for the groups of type $F_4$ and $E_6$ the linear differential equations for such elements are of enormous length. Therefore we keep in the case of $F_4$ and $E_6$ the defining matrix differential equation which has also an easy and nice shape.   The basic idea for the realization is the application of an upper and lower bound criterion for the differential Galois group to our parameter equations and to show that both bounds coincide. An upper and lower bound criterion can be found in literature. Here we will only use the upper bound, since for the application of the lower bound criterion an important condition has to be satisfied. If the differential ground field is $C_1$, e.g., $C(z)$ with standard derivation, this condition is automatically satisfied. Since our differential ground field is purely differential transcendental over $C$, we have no information whether this condition holds or not.   The main part of this thesis is the development of an alternative lower bound criterion and its application. We introduce the specialization bound. It states that the differential Galois group of a specialization of the parameter equation is contained in the differential Galois group of the parameter equation. Thus for its application we need a differential equation over $C(z)$ with given differential Galois group. A modification of a result from Mitschi and Singer yields such an equation over $C(z)$ up to differential conjugation, i.e. up to transformation to the required shape. The transformation of their equation to a specialization of our parameter equation is done for each of the above groups in the respective transformation lemma.

On Connection, Linearization and Duplication Coefficients of Classical Orthogonal Polynomials

In this work, we have mainly achieved the following: 1. we provide a review of the main methods used for the computation of the connection and linearization coefficients between orthogonal polynomials of a continuous variable, moreover using a new approach, the duplication problem of these polynomial families is solved; 2. we review the main methods used for the computation of the connection and linearization coefficients of orthogonal polynomials of a discrete variable, we solve the duplication and linearization problem of all orthogonal polynomials of a discrete variable; 3. we propose a method to generate the connection, linearization and duplication coefficients for q-orthogonal polynomials; 4. we propose a unified method to obtain these coefficients in a generic way for orthogonal polynomials on quadratic and q-quadratic lattices. Our algorithmic approach to compute linearization, connection and duplication coefficients is based on the one used by Koepf and Schmersau and on the NaViMa algorithm. Our main technique is to use explicit formulas for structural identities of classical orthogonal polynomial systems. We find our results by an application of computer algebra. The major algorithmic tools for our development are Zeilberger’s algorithm, q-Zeilberger’s algorithm, the Petkovšek-van-Hoeij algorithm, the q-Petkovšek-van-Hoeij algorithm, and Algorithm 2.2, p. 20 of Koepf's book "Hypergeometric Summation" and it q-analogue.

Elimination in Operator Algebras

A large class of special functions are solutions of systems of linear difference and differential equations with polynomial coefficients. For a given function, these equations considered as operator polynomials generate a left ideal in a noncommutative algebra called Ore algebra. This ideal with finitely many conditions characterizes the function uniquely so that Gröbner basis techniques can be applied. Many problems related to special functions which can be described by such ideals can be solved by performing elimination of appropriate noncommutative variables in these ideals. In this work, we mainly achieve the following: 1. We give an overview of the theoretical algebraic background as well as the algorithmic aspects of different methods using noncommutative Gröbner elimination techniques in Ore algebras in order to solve problems related to special functions. 2. We describe in detail algorithms which are based on Gröbner elimination techniques and perform the creative telescoping method for sums and integrals of special functions. 3. We investigate and compare these algorithms by illustrative examples which are performed by the computer algebra system Maple. This investigation has the objective to test how far noncommutative Gröbner elimination techniques may be efficiently applied to perform creative telescoping.

Eine SPARQL-Schnittstelle für OData-Services

Enterprise-Resource-Planning-Systeme (ERP-Systeme) bilden für die meisten mittleren und großen Unternehmen einen essentiellen Bestandteil ihrer IT-Landschaft zur Verwaltung von Geschäftsdaten und Geschäftsprozessen. Geschäftsdaten werden in ERP-Systemen in Form von Geschäftsobjekten abgebildet. Ein Geschäftsobjekt kann mehrere Attribute enthalten und über Assoziationen zu anderen Geschäftsobjekten einen Geschäftsobjektgraphen aufspannen. Existierende Schnittstellen ermöglichen die Abfrage von Geschäftsobjekten, insbesondere mit Hinblick auf deren Attribute. Die Abfrage mit Bezug auf ihre Position innerhalb des Geschäftsobjektgraphen ist jedoch über diese Schnittstellen häufig nur sehr schwierig zu realisieren. Zur Vereinfachung solcher Anfragen können semantische Technologien, wie RDF und die graphbasierte Abfragesprache SPARQL, verwendet werden. SPARQL ermöglicht eine wesentlich kompaktere und intuitivere Formulierung von Anfragen gegen Geschäftsobjektgraphen, als es mittels der existierenden Schnittstellen möglich ist. Die Motivation für diese Arbeit ist die Vereinfachung bestimmter Anfragen gegen das im Rahmen dieser Arbeit betrachtete SAP ERP-System unter Verwendung von SPARQL. Zur Speicherung von Geschäftsobjekten kommen in ERP-Systemen typischerweise relationale Datenbanken zum Einsatz. Die Bereitstellung von SPARQL-Endpunkten auf Basis von relationalen Datenbanken ist ein seit längerem untersuchtes Gebiet. Es existieren verschiedene Ansätze und Tools, welche die Anfrage mittels SPARQL erlauben. Aufgrund der Komplexität, der Größe und der Änderungshäufigkeit des ERP-Datenbankschemas können solche Ansätze, die direkt auf dem Datenbankschema aufsetzen, nicht verwendet werden. Ein praktikablerer Ansatz besteht darin, den SPARQL-Endpunkt auf Basis existierender Schnittstellen zu realisieren. Diese sind weniger komplex als das Datenbankschema, da sie die direkte Abfrage von Geschäftsobjekten ermöglichen. Dadurch wird die Definition des Mappings erheblich vereinfacht. Das ERP-System bietet mehrere Schnittstellen an, die sich hinsichtlich des Aufbaus, der Zielsetzung und der verwendeten Technologie unterscheiden. Unter anderem wird eine auf OData basierende Schnittstelle zur Verfügung gestellt. OData ist ein REST-basiertes Protokoll zur Abfrage und Manipulation von Daten. Von den bereitgestellten Schnittstellen weist das OData-Interface gegenüber den anderen Schnittstellen verschiedene Vorteile bei Realisierung eines SPARQL-Endpunktes auf. Es definiert eine Abfragesprache und einen Link-Adressierungsmechanismus, mit dem die zur Beantwortung einer Anfrage benötigten Service-Aufrufe und die zu übertragende Datenmenge erheblich reduziert werden können. Das Ziel dieser Arbeit besteht in der Entwicklung eines Verfahrens zur Realisierung eines SPARQL-Endpunktes auf Basis von OData-Services. Dazu wird zunächst eine Architektur vorgestellt, die als Grundlage für die Implementierung eines entsprechenden Systems dienen kann. Ausgehend von dieser Architektur, werden die durch den aktuellen Forschungsstand noch nicht abgedeckten Bereiche ermittelt. Nach bestem Wissen ist diese Arbeit die erste, welche die Abfrage von OData-Schnittstellen mittels SPARQL untersucht. Dabei wird als Teil dieser Arbeit ein neuartiges Konzept zur semantischen Beschreibung von OData-Services vorgestellt. Dieses ermöglicht die Definition von Abbildungen der von den Services bereitgestellten Daten auf RDF-Graphen. Aufbauend auf den Konzepten zur semantischen Beschreibung wird eine Evaluierungssemantik erarbeitet, welche die Auflösung von Ausdrücken der SPARQL-Algebra gegen semantisch annotierte OData-Services definiert. Dabei werden die Daten aller OData-Services ermittelt, die zur vollständigen Abarbeitung einer Anfrage benötigt werden. Zur Abfrage der relevanten Daten wurden Konzepte zur Erzeugung der entsprechenden OData-URIs entwickelt. Das vorgestellte Verfahren wurde prototypisch implementiert und anhand zweier Anwendungsfälle für die im betrachteten Szenario maßgeblichen Servicemengen evaluiert. Mit den vorgestellten Konzepten besteht nicht nur die Möglichkeit, einen SPARQL-Endpunkt für ein ERP-System zu realisieren, vielmehr kann jede Datenquelle, die eine OData-Schnittstelle anbietet, mittels SPARQL angefragt werden. Dadurch werden große Datenmengen, die bisher für die Verarbeitung mittels semantischer Technologien nicht zugänglich waren, für die Integration mit dem Semantic Web verfügbar gemacht. Insbesondere können auch Datenquellen, deren Integration miteinander bisher nicht oder nur schwierig möglich war, über Systeme zur föderierten Abfrage miteinander integriert werden.

Elementaria mathematicae

Diese Lecture Note beinhaltet drei Beiträge zur lehramts-orientierten elementaren Mathematik. Ein 1. Beitrag liefert Module der elementaren Mengenlehre und Ordnungstheorie, Algebra und Informatik, Geometrie und Stochastik, ein 2.Beitrag liefert Zitate großer Meister und großer Geister und ein 3.Beitrag ist den Elementen der Analysis gewidmet.

Magister-Aspekte der Mathematik

In dieser Lecture Note sind Inhalte der Linearen Algebra, der Algebra, der Ringtheorie, der Ordnungs- und der Graphentheorie gebündelt, so wie sie der Autor - verteilt auf Vorlesungen, Übungen, Seminare und Staatsexamens- bzw. Diplom-Anteile während seiner aktiven Zeit als Hochschullehrer wiederholt angeboten bzw. eingefordert hat.

Identifikation spezieller Funktionen, die durch Rodriguesformeln gegeben sind

Es ist allgemein bekannt, dass sich zwei gegebene Systeme spezieller Funktionen durch Angabe einer Rekursionsgleichung und entsprechend vieler Anfangswerte identifizieren lassen, denn computeralgebraisch betrachtet hat man damit eine Normalform vorliegen. Daher hat sich die interessante Forschungsfrage ergeben, Funktionensysteme zu identifizieren, die über ihre Rodriguesformel gegeben sind. Zieht man den in den 1990er Jahren gefundenen Zeilberger-Algorithmus für holonome Funktionenfamilien hinzu, kann die Rodriguesformel algorithmisch in eine Rekursionsgleichung überführt werden. Falls die Funktionenfamilie überdies hypergeometrisch ist, sogar laufzeiteffizient. Um den Zeilberger-Algorithmus überhaupt anwenden zu können, muss es gelingen, die Rodriguesformel in eine Summe umzuwandeln. Die vorliegende Arbeit beschreibt die Umwandlung einer Rodriguesformel in die genannte Normalform für den kontinuierlichen, den diskreten sowie den q-diskreten Fall vollständig. Das in Almkvist und Zeilberger (1990) angegebene Vorgehen im kontinuierlichen Fall, wo die in der Rodriguesformel auftauchende n-te Ableitung über die Cauchysche Integralformel in ein komplexes Integral überführt wird, zeigt sich im diskreten Fall nun dergestalt, dass die n-te Potenz des Vorwärtsdifferenzenoperators in eine Summenschreibweise überführt wird. Die Rekursionsgleichung aus dieser Summe zu generieren, ist dann mit dem diskreten Zeilberger-Algorithmus einfach. Im q-Fall wird dargestellt, wie Rekursionsgleichungen aus vier verschiedenen q-Rodriguesformeln gewonnen werden können, wobei zunächst die n-te Potenz der jeweiligen q-Operatoren in eine Summe überführt wird. Drei der vier Summenformeln waren bislang unbekannt. Sie wurden experimentell gefunden und per vollständiger Induktion bewiesen. Der q-Zeilberger-Algorithmus erzeugt anschließend aus diesen Summen die gewünschte Rekursionsgleichung. In der Praxis ist es sinnvoll, den schnellen Zeilberger-Algorithmus anzuwenden, der Rekursionsgleichungen für bestimmte Summen über hypergeometrische Terme ausgibt. Auf dieser Fassung des Algorithmus basierend wurden die Überlegungen in Maple realisiert. Es ist daher sinnvoll, dass alle hier aufgeführten Prozeduren, die aus kontinuierlichen, diskreten sowie q-diskreten Rodriguesformeln jeweils Rekursionsgleichungen erzeugen, an den hypergeometrischen Funktionenfamilien der klassischen orthogonalen Polynome, der klassischen diskreten orthogonalen Polynome und an der q-Hahn-Klasse des Askey-Wilson-Schemas vollständig getestet werden. Die Testergebnisse liegen tabellarisch vor. Ein bedeutendes Forschungsergebnis ist, dass mit der im q-Fall implementierten Prozedur zur Erzeugung einer Rekursionsgleichung aus der Rodriguesformel bewiesen werden konnte, dass die im Standardwerk von Koekoek/Lesky/Swarttouw(2010) angegebene Rodriguesformel der Stieltjes-Wigert-Polynome nicht korrekt ist. Die richtige Rodriguesformel wurde experimentell gefunden und mit den bereitgestellten Methoden bewiesen. Hervorzuheben bleibt, dass an Stelle von Rekursionsgleichungen analog Differential- bzw. Differenzengleichungen für die Identifikation erzeugt wurden. Wie gesagt gehört zu einer Normalform für eine holonome Funktionenfamilie die Angabe der Anfangswerte. Für den kontinuierlichen Fall wurden umfangreiche, in dieser Gestalt in der Literatur noch nie aufgeführte Anfangswertberechnungen vorgenommen. Im diskreten Fall musste für die Anfangswertberechnung zur Differenzengleichung der Petkovsek-van-Hoeij-Algorithmus hinzugezogen werden, um die hypergeometrischen Lösungen der resultierenden Rekursionsgleichungen zu bestimmen. Die Arbeit stellt zu Beginn den schnellen Zeilberger-Algorithmus in seiner kontinuierlichen, diskreten und q-diskreten Variante vor, der das Fundament für die weiteren Betrachtungen bildet. Dabei wird gebührend auf die Unterschiede zwischen q-Zeilberger-Algorithmus und diskretem Zeilberger-Algorithmus eingegangen. Bei der praktischen Umsetzung wird Bezug auf die in Maple umgesetzten Zeilberger-Implementationen aus Koepf(1998/2014) genommen. Die meisten der umgesetzten Prozeduren werden im Text dokumentiert. Somit wird ein vollständiges Paket an Algorithmen bereitgestellt, mit denen beispielsweise Formelsammlungen für hypergeometrische Funktionenfamilien überprüft werden können, deren Rodriguesformeln bekannt sind. Gleichzeitig kann in Zukunft für noch nicht erforschte hypergeometrische Funktionenklassen die beschreibende Rekursionsgleichung erzeugt werden, wenn die Rodriguesformel bekannt ist.

Atenci??n a la diversidad en el aula de matem??ticas

Recopilaci??n de materiales cuyo objetivo es el tratamiento de la diversidad en el aula de Matem??ticas. El primer nivel a estudiar es el correspondiente a las capacidades num??ricas que tienen los alumnos que comienzan la ESO, cuyos resultados pueden ser recogidos en unas fichas elaboradas con el fin de efectuar el seguimiento individual de cada alumno a lo largo de los dos ciclos de la ense??anza obligatoria. Los bloques tem??ticos elegidos para esta prueba inicial son: n??meros, algebra, estad??stica, y azar y probabilidad, cada uno de ellos dividido en bloques y subbloques con tres cuestiones de respuesta abierta o cerrada. La ficha de diagn??stico y seguimiento sirve para conocer la situaci??n de partida, en cada uno de los bloques estudiados, con la finalidad de dar respuesta diversa a las necesidades educativas de cada alumno. El material se completa con otra serie de fichas de recuperaci??n con una propuesta de ejercicios de dificultad creciente. Tanto las pruebas iniciales como las fichas de recuperaci??n pueden utilizarse como material de aula para aplicar de forma individual a cada alumno en situaciones diversas a lo largo del segundo ciclo de la ESo, principalmente.

Predicate Dispatching in the Common Lisp Object System

I have added support for predicate dispatching, a powerful generalization of other dispatching mechanisms, to the Common Lisp Object System (CLOS). To demonstrate its utility, I used predicate dispatching to enhance Weyl, a computer algebra system which doubles as a CLOS library. My result is Dispatching-Enhanced Weyl (DEW), a computer algebra system that I have demonstrated to be well suited for both users and programmers.

Clustering compositional data trajectories

Our essay aims at studying suitable statistical methods for the clustering of compositional data in situations where observations are constituted by trajectories of compositional data, that is, by sequences of composition measurements along a domain. Observed trajectories are known as “functional data” and several methods have been proposed for their analysis. In particular, methods for clustering functional data, known as Functional Cluster Analysis (FCA), have been applied by practitioners and scientists in many fields. To our knowledge, FCA techniques have not been extended to cope with the problem of clustering compositional data trajectories. In order to extend FCA techniques to the analysis of compositional data, FCA clustering techniques have to be adapted by using a suitable compositional algebra. The present work centres on the following question: given a sample of compositional data trajectories, how can we formulate a segmentation procedure giving homogeneous classes? To address this problem we follow the steps described below. First of all we adapt the well-known spline smoothing techniques in order to cope with the smoothing of compositional data trajectories. In fact, an observed curve can be thought of as the sum of a smooth part plus some noise due to measurement errors. Spline smoothing techniques are used to isolate the smooth part of the trajectory: clustering algorithms are then applied to these smooth curves. The second step consists in building suitable metrics for measuring the dissimilarity between trajectories: we propose a metric that accounts for difference in both shape and level, and a metric accounting for differences in shape only. A simulation study is performed in order to evaluate the proposed methodologies, using both hierarchical and partitional clustering algorithm. The quality of the obtained results is assessed by means of several indices

Materiales de apoyo al área de matemáticas para el alumnado de bachillerato.

Portal de materiales del área de matemáticas de bachillerato. Los recursos se encuentran estructurados por modalidades (ciencias y sociales) y después por cursos. Se detalla todo el programa y temas que lo componen mostrando explicaciones, teoremas, ejercicios, ejemplos y demostraciones visuales. Algunos de los temas que se abarcan son: aritmética, algebra, cálculo, geometría, estadística y probabilidad. Además, se publica un glosario de términos y biografías de diferentes científicos de interés.