Noisy Oncology: applications of bounded noise transitions in modelling tumor growth

I tumori macroscopici e microscopici, dopo la loro prima fase di crescita, sono composti da un numero medio elevato di cellule. Così, in assenza di perturbazioni esterne, la loro crescita e i punti di equilibrio possono essere descritti da equazioni differenziali. Tuttavia, il tumore interagisce fortemente col macroambiente che lo circonda e di conseguenza una descrizione del tutto deterministica risulta a volte inappropriata. In questo caso si può considerare l'interazione con fluttuazioni statistiche, causate da disturbi esterni, utilizzando le equazioni differenziali stocastiche (SDE). Questo è vero in modo particolare quando si cerca di modellizzare tumori altamente immunogenici che interagiscono con il sistema immunitario, in quanto la complessità di questa interazione risulta in fenomeni di multistabilità. Così, il rumore può provocare disturbi e indurre transizioni di stato (Noise-Induced-Transitions). E' importante notare che una NIT può avere implicazioni profonde sulla vita di un paziente, dal momento che una transizione da uno stato di equilibrio piccolo, nelle dimensioni del tumore, ad uno stato di equilibrio macroscopico, nella maggior parte dei casi significa il passaggio dalla vita alla morte. Generalmente l'approccio standard è quello di modellizzare le fluttuazioni stocastiche dei parametri per mezzo di rumore gaussiano bianco o colorato. In alcuni casi però questa procedura è altamente inadeguata, a causa della illimitatezza intrinseca dei rumori gaussiani che può portare a gravi incongruenze biologiche: pertanto devono essere utilizzati dei rumori "limitati", che, tuttavia, sono molto meno studiati di quelli gaussiani. Inoltre, l'insorgenza di NIT dipende dal tipo di rumore scelto, che rivela un nuovo livello di complessità in biologia. Lo scopo di questa tesi è quello di studiare le applicazioni di due tipi diversi di "rumori limitati" nelle transizioni indotte in due casi: interazione tra tumore e sistema immunitario e chemioterapia dei tumori. Nel primo caso, abbiamo anche introdotto un nuovo modello matematico di terapia, che estende, in modo nuovo, il noto modello di Norton-Simon.

Sul comportamento dinamico di macchine fresatrici in alcune condizioni critiche di lavorazione

Questa tesi affronta lo studio di una tipologia di vibrazione autoeccitata, nota come chatter, che si manifesta nei processi di lavorazione ad asportazione di truciolo ed in particolare nelle lavorazioni di fresatura. La tesi discute inoltre lo sviluppo di una tecnica di monitoraggio e diagnostica del chatter basato sul rilievo di vibrazioni. Il fenomeno del chatter è caratterizzato da violente oscillazioni tra utensile e pezzo in lavorazione ed elevate emissioni acustiche. Il chatter, se non controllato, causa uno scadimento qualitativo della finitura superficiale e delle tolleranze dimensionali del lavorato, una riduzione della vita degli utensili e dei componenti della macchina. Questa vibrazione affligge negativamente la produttività e la qualità del processo di lavorazione e pregiudica l’interazione uomo-macchina-ambiente. Per una data combinazione di macchina, utensile e pezzo lavorato, i fattori che controllano la velocità di asportazione del materiale sono gli stessi che controllano l’insorgenza del chatter: la velocità di rotazione del mandrino, la profondità assiale di passata e la velocità di avanzamento dell’utensile. Per studiare il fenomeno di chatter, con l’obbiettivo di individuare possibili soluzioni per limitarne o controllarne l’insorgenza, vengono proposti in questa tesi alcuni modelli del processo di fresatura. Tali modelli comprendono il modello viscoelastico della macchina fresatrice e il modello delle azioni di taglio. Per le azioni di taglio è stato utilizzato un modello presente in letteratura, mentre per la macchina fresatrice sono stati utilizzato modelli a parametri concentrati e modelli modali analitico-sperimentali. Questi ultimi sono stati ottenuti accoppiando un modello modale sperimentale del telaio, completo di mandrino, della macchina fresatrice con un modello analitico, basato sulla teoria delle travi, dell’utensile. Le equazioni del moto, associate al processo di fresatura, risultano essere equazioni differenziali con ritardo a coefficienti periodici o PDDE (Periodic Delay Diefferential Equations). È stata implementata una procedura numerica per mappare, nello spazio dei parametri di taglio, la stabilità e le caratteristiche spettrali (frequenze caratteristiche della vibrazione di chatter) delle equazioni del moto associate ai modelli del processo di fresatura proposti. Per testare i modelli e le procedure numeriche proposte, una macchina fresatrice CNC 4 assi, di proprietà del Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche Nucleari e Metallurgiche (DIEM) dell’Università di Bologna, è stata strumentata con accelerometri, con una tavola dinamometrica per la misura delle forze di taglio e con un adeguato sistema di acquisizione. Eseguendo varie prove di lavorazione sono stati identificati i coefficienti di pressione di taglio contenuti nel modello delle forze di taglio. Sono stati condotti, a macchina ferma, rilievi di FRFs (Funzioni Risposta in Frequenza) per identificare, tramite tecniche di analisi modale sperimentale, i modelli del solo telaio e della macchina fresatrice completa di utensile. I segnali acquisiti durante le numerose prove di lavorazione eseguite, al variare dei parametri di taglio, sono stati analizzati per valutare la stabilità di ciascun punto di lavoro e le caratteristiche spettrali della vibrazione associata. Questi risultati sono stati confrontati con quelli ottenuti applicando la procedura numerica proposta ai diversi modelli di macchina fresatrice implementati. Sono state individuate le criticità della procedura di modellazione delle macchine fresatrici a parametri concentrati, proposta in letteratura, che portano a previsioni erronee sulla stabilità delle lavorazioni. È stato mostrato come tali criticità vengano solo in parte superate con l’utilizzo dei modelli modali analitico-sperimentali proposti. Sulla base dei risultati ottenuti, è stato proposto un sistema automatico, basato su misure accelerometriche, per diagnosticare, in tempo reale, l’insorgenza del chatter durante una lavorazione. È stato realizzato un prototipo di tale sistema di diagnostica il cui funzionamento è stato provato mediante prove di lavorazione eseguite su due diverse macchine fresatrici CNC.

Il problema di Dirichlet per equazioni lineari ellittiche in forma di divergenza

The purpose of this dissertation is to prove that the Dirichlet problem in a bounded domain is uniquely solvable for elliptic equations in divergence form. The proof can be achieved by Hilbert space methods based on generalized or weak solutions. Existence and uniqueness of a generalized solution for the Dirichlet problem follow from the Fredholm alternative and weak maximum principle.

Alcuni aspetti della quantizzazione dell'oscillatore armonico

Scopo principale della tesi è quello di presentare alcuni aspetti quantistici di un siste- ma fisico intermedio fra la buca infinita di potenziale e l’oscillatore armonico: una buca di potenziale con le pareti elastiche. Per questo tipo di potenziale si determinano le autofunzioni dell’energia attraverso l’u- tilizzo di equazioni differenziali di Kummer, Whittaker o Weber. Si determina inoltre lo spettro energetico di tale sistema sotto forma di un’equazione trascendente, e ne si analizza il comportamento sotto determinati limiti, dapprima in approssimazione zero e successivamente in prima approssimazione. Segue una breve trattazione sul propagatore quantistico e sulla sua forma in approssi- mazione semiclassica fornita dalla formula di Pauli - van Vleck - Morette, completa di alcuni esempi di calcolo esplicito relativo a semplici potenziali che presentano analogie con il potenziale in oggetto, e di confronti fra le forme esatte di tali propagatori e le loro approssimazioni semiclassiche. È calcolato infine anche il propagatore quantistico per la buca di potenziale con pareti elastiche, nella sua forma semiclassica

Analisi di cross-correlazione di profili recettori di cellule semplici in V1

In questa tesi viene presentata un’analisi dettagliata sulla struttura di profili recettori di neuroni coinvolti nell’elaborazione visiva, con particolare attenzione per le cellule appartenenti alla corteccia visiva primaria (V1). Dopo aver illustrato brevemente il percorso effettuato dall’informazione visiva, costituito da retina, nucleo genicolato laterale e V1, vengono descritte la struttura e le principali caratteristiche di profili recettori dei neuroni appartenenti ad ognuno di questi livelli di elaborazione. Per modellare i profili recettori di cellule corticali in V1 si è deciso di utilizzare filtri bidimensionali realizzati mediante funzioni di Gabor nel dominio spaziale. Questo modello ha, infatti, il grande vantaggio di possedere alcune tra le maggiori proprietà dei profili recettori di neuroni appartenenti a V1: struttura del profilo recettore nello spazio (x,y), selettività in orientazione e in frequenza spaziale, indipendenza dalla fase dello stimolo. Viene successivamente presentato il concetto di campo di associazione visivo, mediante il quale sono determinate le caratteristiche principali (posizione spaziale ed orientazione) che diversi oggetti devono possedere per essere percepiti non come unità singole, ma come un unico elemento. I campi di associazione possono essere modellati mediante l’utilizzo del sistema di equazioni differenziali proposto da Citti-Sarti, le cui soluzioni sono curve integrali adatte a ricostruire la struttura dei campi di associazione, come proposti da Field, Hayes ed Hess. Diverse ipotesi sono state presentate su come cellule appartenenti a V1 siano in grado di realizzare simili campi di associazione, ed in particolare, da dove queste possano prendere le informazioni necessarie per farlo. Una di queste è quella sostenuta dai dati di Bosking et al., secondo i quali le connessioni intracorticali più fitte sono quelle tra neuroni non adiacenti tra loro, i cui profili recettori sono co-orientati (con la stessa orientazione preferenziale) e co-assiali (disposti lungo un asse del campo visivo che corrisponde all’orientazione preferenziale). L’analisi effettuata in questa tesi ha come obbiettivo proprio quello di ottenere informazioni utili su come cellule corticali siano legate alla fenomenologia dei campi di associazione. Come già detto, un filtro di Gabor bidimensionale può essere considerato un buon modello per profili recettori di questo tipo di cellule e quindi è possibile definirlo in maniera astratta come l’unità fondamentale nel processo di elaborazione visiva. Per questo motivo viene effettuata un’analisi di cross-correlazione tra un filtro di Gabor con una determinata orientazione e una famiglia di filtri di Gabor aventi n orientazioni. I risultati ottenuti sono stati trattati utilizzando la tecnica di soppressione dei non massimi, in modo da estrarre per ogni punto dell’immagine l’orientazione per la quale si ottiene la risposta massima. Successivamente, dai dati è stato possibile calcolare delle curve integrali simili a quelle ottenute dal modello differenziale proposto da Citti-Sarti. I risultati ottenuti da questa analisi si sono rivelati utili per comprendere più nel dettaglio i processi di elaborazione dei neuroni corticali, ed in particolare, per capire in che modo le informazioni necessarie per la realizzazione di strutture complesse ed articolate come quelle dei campi di associazione, siano già contenute intrinsecamente all’interno di ogni cellula corticale, unità fondamentale dell’elaborazione visiva.

Problema omogeneo di Sturm-Liouville

Lo scopo dell’elaborato è dare un'esposizione del problema omogeneo di Sturm-Liouville, ossia lo studio di un tipo particolare di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine soggette a condizioni al contorno.

La struttura della double bubble di area minima

In questa tesi viene presentata una scelta dei passaggi fondamentali per arrivare alla dimostrazione della congettura della double bubble, dovuta ad Hutchings, Morgan, Ritoré e Ros. Questa dimostrazione assicura l'esistenza e l'unicità della superficie minima che permette di racchiudere due volumi nello spazio reale tridimensionale; si tratta quindi di un caso particolare del problema delle bolle di sapone, che ha richiesto la messa a punto di strumenti sofisticati di teoria geometrica della misura, calcolo delle variazioni ed equazioni differenziali non lineari.