La funzione di Möbius di un insieme parzialmente ordinato

Nel 1837 il matematico A.F. Möbius definì la funzione aritmetica mu(n) che vale 0 se n è divisibile per il quadrato di un numero primo, (-1)^k se n è il prodotto di k primi distinti e \mu(1)=1. Essa ricopre un ruolo di fondamentale importanza per quanto riguarda la distribuzione dei numeri primi, nonché per la sua duttilità nella risoluzione di diversi problemi di conteggio grazie alla formula di inversione di Möbius, che può essere pensata come un analogo formale del teorema fondamentale del calcolo integrale. Una sorprendente varietà di problemi di calcolo combinatorio si rivelano essere nient'altro che casi particolari di un problema più generale che riguarda la possibilità di invertire una somma fatta sugli elementi di un insieme parzialmente ordinato. L'obiettivo di questo elaborato è quello di illustrare come sia possibile generalizzare il concetto di funzione aritmetica estendendolo a quello di funzione di un'algebra di incidenza. Le algebre di incidenza hanno catturato l'interesse di svariati matematici a partire dagli anni '60 del secolo scorso, e si svilupparono come ambiente naturale nel quale generalizzare la formula di inversione di Mobius. La funzione di Möbius della teoria dei numeri, definita originariamente sull'insieme dei numeri interi positivi ordinato per divisibilità, può quindi essere definita su generici insiemi parzialmente ordinati.

Il teorema di Sard

Considerata un'applicazione differenziabile F da M a N dove M e N sono due varietà differenziabili, un punto p di M si dice punto regolare di F se il differenziale è suriettivo, si dice punto critico di F se, al contrario, il differenziale non è suriettivo. Un valore critico di F è l'immagine di un punto critico, mentre un valore regolare è un punto di F(M) che non è un valore critico. In questa tesi viene enunciato e dimostrato il teorema di Sard, che afferma che l'insieme dei valori critici di F ha misura nulla secondo Lebesgue in N, e se ne mostrano alcune applicazioni.

Il Teorema di Connettività per i Campi Vettoriali di Hörmander, e Applicazioni

Lo scopo di questa Tesi di Laurea è quello di dimostrare il Teorema di Connettività per un sistema di Hörmander di campi vettoriali, il quale ci fornisce una condizione sufficiente alla connessione di un aperto di R^N tramite curve integrali a tratti dei campi vettoriali stessi e dei loro opposti, e presentarne alcune applicazioni. Nel primo Capitolo daremo i prerequisiti necessari alla trattazione degli altri tre, con particolare attenzione ad un Lemma che mette in relazione le curve integrali del commutatore di m campi vettoriali con la composizione di un opportuno numero di mappe flusso dei campi vettoriali che costituiscono il commutatore. Il secondo Capitolo è interamente dedicato alla dimostrazione del Teorema di Connettività e all'analisi della definizione delle curve subunitarie in un aperto rispetto ad una famiglia di campi vettoriali X, dette curve X-subunitarie. Nel terzo Capitolo forniremo una introduzione alla distanza di Carnot-Carathéodory, detta anche distanza di X-controllo, arrivando a dimostrare il notevolissimo Teorema di Chow-Rashewskii, il quale ci fornisce, sotto le ipotesi del Teorema di Connettività, una stima tra la metrica Euclidea e la distanza di X-controllo, mediante due disuguaglianze. Queste ultime implicano anche una equivalenza tra la topologia indotta dalla distanza di X-controllo e la topologia Euclidea. Nel quarto e ultimo Capitolo, indagheremo gli insiemi di propagazione tramite curve integrali dei campi vettoriali in X e tramite curve X-subunitarie. Utilizzando la definizione di invarianza di un insieme rispetto ad un campo vettoriale e avvalendosi del Teorema di Nagumo-Bony, dimostreremo che: la chiusura dei punti raggiungibili, partendo da un punto P in un aperto fissato, tramite curve integrali a tratti dei campi vettoriali in X e dei loro opposti, è uguale alla chiusura dei punti raggiungibili, sempre partendo da P, tramite un particolare sottoinsieme di curve X-subunitarie C^1 a tratti.

Il Teorema di Riesz sui Funzionali Positivi e Alcune Applicazioni

Il tema centrale di questa Tesi è il cosiddetto "Teorema di Rappresentazione di Riesz" per i funzionali positivi su alcuni spazi di funzione continue. Questo Teorema, caposaldo dell'Analisi Funzionale, è inscindibilmente legato alla Teoria della Misura. Esso, infatti, stabilisce un'importante legame tra funzionali lineari positivi e misure positive di Radon. Dopo un'ampia disamina di questo Teorema, la Tesi si concentra su alcune delle sue Applicazioni in Analisi Reale e in Teoria del Potenziale. Nello specifico, viene provato un notevole risultato di Analisi Reale: la differenziabilità quasi dappertutto delle funzioni monotone su un intervallo reale. Nella dimostrazione di questo fatto, risulta cruciale anche un interessantissimo argomento di "continuità dalla positività", attraverso cui passiamo varie volte nella Tesi. Infatti, esso è determinante anche nelle Applicazioni in Teoria del Potenziale per la costruzione della misura armonica di un aperto regolare e della cosiddetta "misura di Riesz di una funzione subarmonica".

Un Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond sulle Serie Trigonometriche, e Applicazioni

L'argomento della Tesi è lo studio delle serie trigonometriche e di Fourier: in particolare, il problema dello sviluppo in serie trigonometrica di una data funzione 2π-periodica e l'unicità di tale sviluppo, che si deduce dal Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond. Nel Capitolo 1 sono stati richiamati alcune definizioni e risultati di base della teoria delle serie trigonometriche e di Fourier. Il Capitolo 2 è dedicato alla teoria della derivata seconda di Schwarz (una generalizzazione della derivata seconda classica) e delle cosidette funzioni 1/2-convesse: il culmine di questo capitolo è rappresentato dal Teorema di De la Vallée-Poussin, che viene applicato crucialmente nella prova del teorema centrale della tesi. Nel Capitolo 3 si torna alla teoria delle serie trigonometriche, applicando i risultati principali della teoria della derivata seconda di Schwarz e delle funzioni 1/2-convesse, visti nel capitolo precedente, per definire il concetto di funzione di Riemann e di somma nel senso di Riemann di una serie trigonometrica e vederne le principali proprietà. Conclude il Capitolo 3 la prova del Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond, in cui vengono usate tutte le nozioni e i risultati del terzo capitolo e il Teorema di De la Vallée-Poussin. Infine, il Capitolo 4 è dedicato alle applicazione del Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond. In una prima sezione del Capitolo 4 vi sono alcuni casi particolari del Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond e in particolare viene dimostrata l'unicità dello sviluppo in serie trigonometrica per una funzione 2π-periodica e a valori finiti. Conclude la Tesi un'altra applicazione del Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond: la prova dell'esistenza di funzioni continue e 2π-periodiche che non sono la somma puntuale di nessuna serie trigonometrica, con un notevole esempio di Lebesgue.

Il Teorema di Morse-Sard

Questa tesi riguarda il Teorema di Morse-Sard nella sua versione generale. Tale teorema afferma che l'immagine dei punti critici di una funzione di classe C^k da un aperto di R^m a R^n è un insieme di misura di Lebesgue nulla se k >= m-n+1 (se m >= n) o se k >= 1 (se mDi tale teorema diamo una dimostrazione, tratta dall’articolo di Moreira-Ruas (2009). Dimostriamo inoltre il Teorema di Varberg (1966) riguardante il caso delle funzioni differenziabili con m=n. Si fornisce poi un’applicazione del Teorema di Morse-Sard: la formula di Coarea per funzioni a valori reali.

Il teorema di Jordan nella teoria delle serie di Fourier

Nella presente tesi si studia il teorema di Jordan e se ne analizzano le sue applicazioni. La trattazione è suddivisa in tre capitoli e un'appendice di approfondimento sulla funzione di Vitali. Nel primo capitolo, inizialmente, vengono introdotte le funzioni a variazione totale limitata, provando anche una loro caratterizzazione. Poi sono definite le serie di Fourier e si pone attenzione al lemma di Riemann-Lebesgue e al teorema di localizzazione di Riemann. Infine sono enunciati alcuni criteri di convergenza puntale e uniforme. Nel secondo capitolo, viene enunciato e dimostrato il teorema di Jordan. Verrà introdotto, inizialmente, una generalizzazione del teorema della media integrale, necessario per la prova del teorema di Jordan. Il terzo capitolo è dedicato alle applicazione del teorema di Jordan. Infatti si dimostra che ogni serie di Fourier può essere integrata termine a termine su ogni intervallo compatto. Di tale applicazione se ne darà anche una formulazione duale. Infine, nell'appendice, viene costruita la funzione di Vitali e ne sono riportate alcune delle sue proprietà.

L'identità di Pohozaev come applicazione del teorema della divergenza

In questa tesi verrà enunciato e dimostrato un notevole teorema chiamato identità di Pohozaev, che riguarda le soluzioni di particolari problemi di Dirichlet per il Laplaciano. Questo risultato sarà ottenuto come corollario del classico teorema della divergenza. Dopo alcune nozioni preliminari, si enuncia il teorema della divergenza. Infine, dopo una breve introduzione riguardo le equazioni alle derivate parziali del 2° ordine e problemi di Dirichlet per il Laplaciano, viene enunciata e dimostrata l'identità di Pohozaev. Seguono alcuni corollari, dei quali uno riguarda la non esistenza di soluzioni per un particolare problema di Dirichlet.

Il Teorema di Arnold-Liouville

Lo scopo della tesi è dimostrare il teorema di Arnold-Liouville, il quale afferma che dato un sistema a n gradi di libertà, con n integrali primi del moto in involuzione, esiste una trasformazione canonica di variabili azione-angolo, attraverso la quale si può riscrivere il sistema in uno ad esso equivalente, ma dipendente solo dalle azioni. Per arrivare a questo risultato nel primo capitolo viene richiamata la nozione di sistema hamiltoniano, di flusso del sistema e delle sue proprietà, viene infine introdotta una operazione binaria tra funzioni, la parentesi di Poisson, evidenziando il suo legame con il formalismo hamiltoniano. Nel secondo capitolo si definisce inizialmente cos'è una trasformazione canonica di variabili, dimostrando poi alcuni criteri per la canonicità di queste, mediante la verifica di determinate condizione necessarie e sufficienti, con opportuni esempi di trasformazioni canoniche e non. Nel terzo capitolo si definisce cos'è un sistema hamiltoniano integrabile, facendone successivamente un esempio a un grado di libertà con il pendolo. Il procedimento svolto in questo esempio si vorrà poi estendere a un generico sistema a n gradi di libertà, dunque verrà enunciato e dimostrato il teorema di Arnold-Liouvill, il quale, sotto opportune ipotesi, permette di risolvere questo problema.

Deciding difference logic in a Nelson-Oppen combination framework

O método de combinação de Nelson-Oppen permite que vários procedimentos de decisão, cada um projetado para uma teoria específica, possam ser combinados para inferir sobre teorias mais abrangentes, através do princípio de propagação de igualdades. Provadores de teorema baseados neste modelo são beneficiados por sua característica modular e podem evoluir mais facilmente, incrementalmente. Difference logic é uma subteoria da aritmética linear. Ela é formada por constraints do tipo x − y ≤ c, onde x e y são variáveis e c é uma constante. Difference logic é muito comum em vários problemas, como circuitos digitais, agendamento, sistemas temporais, etc. e se apresenta predominante em vários outros casos. Difference logic ainda se caracteriza por ser modelada usando teoria dos grafos. Isto permite que vários algoritmos eficientes e conhecidos da teoria de grafos possam ser utilizados. Um procedimento de decisão para difference logic é capaz de induzir sobre milhares de constraints. Um procedimento de decisão para a teoria de difference logic tem como objetivo principal informar se um conjunto de constraints de difference logic é satisfatível (as variáveis podem assumir valores que tornam o conjunto consistente) ou não. Além disso, para funcionar em um modelo de combinação baseado em Nelson-Oppen, o procedimento de decisão precisa ter outras funcionalidades, como geração de igualdade de variáveis, prova de inconsistência, premissas, etc. Este trabalho apresenta um procedimento de decisão para a teoria de difference logic dentro de uma arquitetura baseada no método de combinação de Nelson-Oppen. O trabalho foi realizado integrando-se ao provador haRVey, de onde foi possível observar o seu funcionamento. Detalhes de implementação e testes experimentais são relatados

La nozione di morfismo étale

Il teorema della funzione implicita, valido nel caso di varietà differenziabili, non risulta vero se si prendono in analisi varietà algebriche affini con la topologia di Zariski. Dopo aver introdotto le nozioni di morfismo piatto e di morfismo non ramificato, si arriva ai morfismi étale, definiti proprio come quei morfismi che sono piatti e non ramificati; nella seconda parte si considerano i morfismi di varietà non singolari dimostrando che la classe dei morfismi étale coincide esattamente con quei morfismi che inducono isomorfismi sugli spazi tangenti. Si approfondisce poi la nozione di morfismo étale da un punto di vista algebrico e infine la nozione di intorno étale di un punto, che si basa su quella di morfismo étale.

Gruppi semplici sporadici: i gruppi di Mathieu

La tesi tratta dei gruppi semplici sporadici, in particolar modo dei gruppi di Mathieu. Sono state ripercorse tappe storiche fondamentali, a partire dalla semplicità del gruppo alterno An, n>4, nota a Galois, fino a giungere al teorema di classificazione dei gruppi semplici, di cui i gruppi sporadici rappresentano un caso particolare. Vengono poi proposte diverse costruzioni dei gruppi di Mathieu, passando dall'algebra alla geometria fino alla teoria dell'informazione. Quindi vengono discusse le proprietà principali dei gruppi di Mathieu, e infine si presentano congetture in cui i gruppi di Mathieu, o più in generale i gruppi sporadici, giocano un ruolo fondamentale, come ad esempio nella congettura "moonshine". Al termine della tesi vengono presentati i gruppi di Mathieu in ambiti diversi dal mondo matematico, dal gioco alla musica.

Studio di topologie d'antenne su substrati magneto-dielettrici

Le più moderne e diffuse applicazioni wireless attuali sono dedicate a sistemi distribuiti in grandi quantità ed il più possibile miniaturizzati. In questa tesi si discute di tecniche di miniaturizzazione delle antenne di questi sistemi. Tradizionalmente tali tecniche si sono basate su substrati ad elevata costante dielettrica che hanno però, come contropartita, un deterioramento delle prestazioni radianti. Un'alternativa molto promettente è offerta da substrati magneto-dielettrici che, pur garantendo analoghe riduzioni degli ingombri, possono offrire migliori opportunità per il comportamento radiante e per l'adattamento dell'antenna al resto del sistema. In questa tesi, partendo dallo stato dell'arte della letteratura scientifica, si è sviluppato un modello che consente di valutare a priori i vantaggi/svantaggi di diverse topologie d'antenne basate su substrati magneto-dielettrici. Il metodo si basa sul teorema di equivalenza. Infine la tesi affronta il problema di sviluppare un metodo per la caratterizzazione dei parametri costitutivi di tali materiali.

Co-simulazione e co-progetto non lineare/elettromagnetico di sistemi wireless non convenzionali

L’attività di ricerca contenuta in questa tesi si è concentrata nello sviluppo e nell’implementazione di tecniche per la co-simulazione e il co-progetto non lineare/elettromagnetico di sistemi wireless non convenzionali. Questo lavoro presenta un metodo rigoroso per considerare le interazioni tra due sistemi posti sia in condizioni di campo vicino che in condizioni di campo lontano. In sostanza, gli effetti del sistema trasmittente sono rappresentati da un generatore equivalente di Norton posto in parallelo all’antenna del sistema ricevente, calcolato per mezzo del teorema di reciprocità e del teorema di equivalenza. La correttezza del metodo è stata verificata per mezzo di simulazioni e misure, concordi tra loro. La stessa teoria, ampliata con l’introduzione degli effetti di scattering, è stata usata per valutare una condizione analoga, dove l’elemento trasmittente coincide con quello ricevente (DIE) contenuto all’interno di una struttura metallica (package). I risultati sono stati confrontati con i medesimi ottenibili tramite tecniche FEM e FDTD/FIT, che richiedono tempi di simulazione maggiori di un ordine di grandezza. Grazie ai metodi di co-simulazione non lineari/EM sopra esposti, è stato progettato e verificato un sistema di localizzazione e identificazione di oggetti taggati posti in ambiente indoor. Questo è stato ottenuto dotando il sistema di lettura, denominato RID (Remotely Identify and Detect), di funzioni di scansione angolare e della tecnica di RADAR mono-pulse. Il sistema sperimentale, creato con dispositivi low cost, opera a 2.5 GHz ed ha le dimensioni paragonabili ad un normale PDA. E’ stato sperimentata la capacità del RID di localizzare, in scenari indoor, oggetti statici e in movimento.

Il problema di Dirichlet per equazioni lineari ellittiche in forma di divergenza

The purpose of this dissertation is to prove that the Dirichlet problem in a bounded domain is uniquely solvable for elliptic equations in divergence form. The proof can be achieved by Hilbert space methods based on generalized or weak solutions. Existence and uniqueness of a generalized solution for the Dirichlet problem follow from the Fredholm alternative and weak maximum principle.