Integral cohomology of finite postnikov towers

Depuis le séminaire H. Cartan de 1954-55, il est bien connu que l'on peut trouver des éléments de torsion arbitrairement grande dans l'homologie entière des espaces d'Eilenberg-MacLane K(G,n) où G est un groupe abélien non trivial et n>1. L'objectif majeur de ce travail est d'étendre ce résultat à des H-espaces possédant plus d'un groupe d'homotopie non trivial. Dans le but de contrôler précisément le résultat de H. Cartan, on commence par étudier la dualité entre l'homologie et la cohomologie des espaces d'Eilenberg-MacLane 2-locaux de type fini. On parvient ainsi à raffiner quelques résultats qui découlent des calculs de H. Cartan. Le résultat principal de ce travail peut être formulé comme suit. Soit X un H-espace ne possédant que deux groupes d'homotopie non triviaux, tous deux finis et de 2-torsion. Alors X n'admet pas d'exposant pour son groupe gradué d'homologie entière réduite. On construit une large classe d'espaces pour laquelle ce résultat n'est qu'une conséquence d'une caractéristique topologique, à savoir l'existence d'un rétract faible X K(G,n) pour un certain groupe abélien G et n>1. On généralise également notre résultat principal à des espaces plus compliqués en utilisant la suite spectrale d'Eilenberg-Moore ainsi que des méthodes analytiques faisant apparaître les nombres de Betti et leur comportement asymptotique. Finalement, on conjecture que les espaces qui ne possédent qu'un nombre fini de groupes d'homotopie non triviaux n'admettent pas d'exposant homologique. Ce travail contient par ailleurs la présentation de la « machine d'Eilenberg-MacLane », un programme C++ conçu pour calculer explicitement les groupes d'homologie entière des espaces d'Eilenberg-MacLane. <br/><br/>By the work of H. Cartan, it is well known that one can find elements of arbitrarilly high torsion in the integral (co)homology groups of an Eilenberg-MacLane space K(G,n), where G is a non-trivial abelian group and n>1. The main goal of this work is to extend this result to H-spaces having more than one non-trivial homotopy groups. In order to have an accurate hold on H. Cartan's result, we start by studying the duality between homology and cohomology of 2-local Eilenberg-MacLane spaces of finite type. This leads us to some improvements of H. Cartan's methods in this particular case. Our main result can be stated as follows. Let X be an H-space with two non-vanishing finite 2-torsion homotopy groups. Then X does not admit any exponent for its reduced integral graded (co)homology group. We construct a wide class of examples for which this result is a simple consequence of a topological feature, namely the existence of a weak retract X K(G,n) for some abelian group G and n>1. We also generalize our main result to more complicated stable two stage Postnikov systems, using the Eilenberg-Moore spectral sequence and analytic methods involving Betti numbers and their asymptotic behaviour. Finally, we investigate some guesses on the non-existence of homology exponents for finite Postnikov towers. We conjecture that Postnikov pieces do not admit any (co)homology exponent. This work also includes the presentation of the "Eilenberg-MacLane machine", a C++ program designed to compute explicitely all integral homology groups of Eilenberg-MacLane spaces. <br/><br/>Il est toujours difficile pour un mathématicien de parler de son travail. La difficulté réside dans le fait que les objets qu'il étudie sont abstraits. On rencontre assez rarement un espace vectoriel, une catégorie abélienne ou une transformée de Laplace au coin de la rue ! Cependant, même si les objets mathématiques sont difficiles à cerner pour un non-mathématicien, les méthodes pour les étudier sont essentiellement les mêmes que celles utilisées dans les autres disciplines scientifiques. On décortique les objets complexes en composantes plus simples à étudier. On dresse la liste des propriétés des objets mathématiques, puis on les classe en formant des familles d'objets partageant un caractère commun. On cherche des façons différentes, mais équivalentes, de formuler un problème. Etc. Mon travail concerne le domaine mathématique de la topologie algébrique. Le but ultime de cette discipline est de parvenir à classifier tous les espaces topologiques en faisant usage de l'algèbre. Cette activité est comparable à celle d'un ornithologue (topologue) qui étudierait les oiseaux (les espaces topologiques) par exemple à l'aide de jumelles (l'algèbre). S'il voit un oiseau de petite taille, arboricole, chanteur et bâtisseur de nids, pourvu de pattes à quatre doigts, dont trois en avant et un, muni d'une forte griffe, en arrière, alors il en déduira à coup sûr que c'est un passereau. Il lui restera encore à déterminer si c'est un moineau, un merle ou un rossignol. Considérons ci-dessous quelques exemples d'espaces topologiques: a) un cube creux, b) une sphère et c) un tore creux (c.-à-d. une chambre à air). a) b) c) Si toute personne normalement constituée perçoit ici trois figures différentes, le topologue, lui, n'en voit que deux ! De son point de vue, le cube et la sphère ne sont pas différents puisque ils sont homéomorphes: on peut transformer l'un en l'autre de façon continue (il suffirait de souffler dans le cube pour obtenir la sphère). Par contre, la sphère et le tore ne sont pas homéomorphes: triturez la sphère de toutes les façons (sans la déchirer), jamais vous n'obtiendrez le tore. Il existe un infinité d'espaces topologiques et, contrairement à ce que l'on serait naïvement tenté de croire, déterminer si deux d'entre eux sont homéomorphes est très difficile en général. Pour essayer de résoudre ce problème, les topologues ont eu l'idée de faire intervenir l'algèbre dans leurs raisonnements. Ce fut la naissance de la théorie de l'homotopie. Il s'agit, suivant une recette bien particulière, d'associer à tout espace topologique une infinité de ce que les algébristes appellent des groupes. Les groupes ainsi obtenus sont appelés groupes d'homotopie de l'espace topologique. Les mathématiciens ont commencé par montrer que deux espaces topologiques qui sont homéomorphes (par exemple le cube et la sphère) ont les même groupes d'homotopie. On parle alors d'invariants (les groupes d'homotopie sont bien invariants relativement à des espaces topologiques qui sont homéomorphes). Par conséquent, deux espaces topologiques qui n'ont pas les mêmes groupes d'homotopie ne peuvent en aucun cas être homéomorphes. C'est là un excellent moyen de classer les espaces topologiques (pensez à l'ornithologue qui observe les pattes des oiseaux pour déterminer s'il a affaire à un passereau ou non). Mon travail porte sur les espaces topologiques qui n'ont qu'un nombre fini de groupes d'homotopie non nuls. De tels espaces sont appelés des tours de Postnikov finies. On y étudie leurs groupes de cohomologie entière, une autre famille d'invariants, à l'instar des groupes d'homotopie. On mesure d'une certaine manière la taille d'un groupe de cohomologie à l'aide de la notion d'exposant; ainsi, un groupe de cohomologie possédant un exposant est relativement petit. L'un des résultats principaux de ce travail porte sur une étude de la taille des groupes de cohomologie des tours de Postnikov finies. Il s'agit du théorème suivant: un H-espace topologique 1-connexe 2-local et de type fini qui ne possède qu'un ou deux groupes d'homotopie non nuls n'a pas d'exposant pour son groupe gradué de cohomologie entière réduite. S'il fallait interpréter qualitativement ce résultat, on pourrait dire que plus un espace est petit du point de vue de la cohomologie (c.-à-d. s'il possède un exposant cohomologique), plus il est intéressant du point de vue de l'homotopie (c.-à-d. il aura plus de deux groupes d'homotopie non nuls). Il ressort de mon travail que de tels espaces sont très intéressants dans le sens où ils peuvent avoir une infinité de groupes d'homotopie non nuls. Jean-Pierre Serre, médaillé Fields en 1954, a montré que toutes les sphères de dimension >1 ont une infinité de groupes d'homotopie non nuls. Des espaces avec un exposant cohomologique aux sphères, il n'y a qu'un pas à franchir...

Les pavés fleuris de la bibliothèque

Quatre références de poids (dans tous les sens du terme!) en santé au travail et un utile répertoire des cancérigènes. Ces ouvrages peuvent être consultés à la bibliothèque de l'IST.

La veille bibliographique. Partie 4, Un élément de surveillance

Voici la quatrième et dernière partie des résultats d'une veille bibliographique sur la surveillance biologique de l'exposition aux produits chimiques en milieu de travail (SBEPCMT) mise en place par un réseau francophone multidisciplinaire.

Proposta metodológica para avaliação de controlador automático de seções e pulverização

Na aplicação de produtos fitossanitários, a utilização de equipamentos que controlam automaticamente as seções da barra e a pulverização já é realidade; entretanto, ainda não há resultados que demonstrem a sua eficácia. Por esse motivo, este trabalho teve por finalidade desenvolver uma metodologia para a avaliação de um equipamento que controla automaticamente as seções e a pulverização. Avaliou-se um controlador automático de seções e pulverização de mercado, e, para tanto, foram utilizados três níveis de acurácia do sinal de GPS (algoritmo interno, SBAS e RTK), três ângulos para a simulação de entrada e saída da barra de pulverização em relação à borda do talhão (0; 45 e 60º ) e três velocidades de trabalho (1,66; 5,00 e 8,33 m s-1). A metodologia proposta possibilitou a determinação dos tempos e distâncias de abertura e fechamento das seções. Os coeficientes de variação para os tempos e distâncias de abertura e fechamento das seções indicaram uma variação considerável. Houve interações significativas em função do tipo de sinal de GPS. A configuração recomendada pelo fabricante e adotada para a avaliação do controlador automático de seções e pulverização não atende a todas as situações simuladas.

Exérese de leiomioma esofágico por toracotomia

A 49yrs old, male patient presented progressive dysphagia during the last two years, initially to solids and, since two weeks, liquids he had lost 15 kilos. Esophagogram showed an intraluminal lesion with regular mucosa in the middle third of esophagus. The esophagoscopy exhibits regular mucosa up to the lesion, which did not alow passage. There was no evidence of linfonodal disease at CT scan. The hypothesis of esophageal leiomyoma led this patient a right posterior thoracotomy and enucleation of a 30 x 30 mm mass from the esophageal wall. With this case report we intend to review esophageal leiomyomas and their diagnosis and treatment.

The sedimentology of the Bloomington fan complex: an element of the Oak Ridges Moraine, Southern Ontario

The Oak Ridges Moraine is a major physiographic feature of south-central Ontario, extending from Rice Lake westward to the Niagara Escarpment. While much previous work has largely postulated a relatively simple the origin of the moraine, recent investigations have concentrated on delineating the discernible glacigenic deposits (or landform architectural elements) which comprise the complex mosaic of the Oak Ridges Moraine. This study investigates the sedimentology of the Bloomington fan complex, one of the oldest elements of the Oak Ridges Moraine. The main sediment body of the Bloomington fan complex was deposited during early stages of the formation of the Oak Ridges Moraine, when the ice subdivided, and formed a confined, interlobate lake basin between the northern and southern lobes. Deposition from several conduits produced a fan complex characterized by multiple, laterally overlapping, fan bodies. It appears that the fans were active sequentially in an eastward direction, until the formation of the Bloomington fan complex was dominated by the largest fan fed by a conduit near the northeastern margin of the deposit. Following deposition of the fan complex, the northern and southern ice margins continued to retreat, opening drainage outlets to the west and causing water levels to drop in the lake basin. Glaciofluvial sediment was deposited at this time, cutting into the underlying fan complex. Re-advancing northern ice then closed westerly outlets, and caused water levels to increase, initiating the re-advance of the southern ice. As the southern ice approached the Bloomington fan, it deposited an ice-marginal sediment complex consisting of glacigenic sediment gravity flows, and glaciolacustrine and glaciofluvial sediments exhibiting north and northwesterly paleocurrents. Continued advance of the southern ice, overriding the fan complex, ii produced large-scale glaciotectonic deformation structures, and deposited the Halton Till. The subaqueous fan depositional model that is postulated for the Bloomington fan complex differs from published models due to the complex facies associations produced by the multiple conduit sources of sediment feeding the fans. The fluctuating northern and southern ice margins, which moved across the study area in opposite directions, controlled the water level in the interlobate basin and caused major changes in depositional environments. The influence of these two lobes also caused deposition from two distinct source directions. Finally, erosion, deposition, and deformation of the deposit with the readvance of the southern ice contributed further to the complexity of the Bloomington fan complex.

Battlefield House flyer, n.d.

Battlefield House was originally the home of Mary Gage, a widow who arrived in Canada with 2 children after her husband was killed in action in the American Revolution in 1777. The original house was a log cabin which was replaced by a storey and a half frame house. Col. Nelson was the next owner of the house, and in the middle of the 19th century he raised the roof to make it a 2 storey house and added a large west wing. Successive owners: the Glover, Williams and Fisher families made a few changes to the house. The last owner was D.A. Fletcher who tore down the newer, western half of the building in 1895. In 1899, Mrs. John Calder, a granddaughter of James Gage formed the Women’s Wentworth Historical Society and raised enough money to buy the Gage Farmhouse and the land around it on which the Battle of Stoney Creek was fought. In 1910 this group purchased another 13 acres of the original Crown Grant and made 17 ½ acres of parkland open to the public. The women of the Society renovated and furnished the house. They maintained the building for 63 years. It was due to them that a monument was erected above the house by the Dominion Government. The monument was unveiled on the 100th anniversary of the Battle, June 6, 1913. The house was turned over by the Historical Society to The Niagara Parks Commission on January 19th, 1962. Source: Battlefield House Flyer, information provided by Mrs. E.B. Thompson, past president of the Women’s Wentworth Historical Society.