Moments of classical orthogonal polynomials

The aim of this work is to find simple formulas for the moments mu_n for all families of classical orthogonal polynomials listed in the book by Koekoek, Lesky and Swarttouw. The generating functions or exponential generating functions for those moments are given.

On Connection, Linearization and Duplication Coefficients of Classical Orthogonal Polynomials

In this work, we have mainly achieved the following: 1. we provide a review of the main methods used for the computation of the connection and linearization coefficients between orthogonal polynomials of a continuous variable, moreover using a new approach, the duplication problem of these polynomial families is solved; 2. we review the main methods used for the computation of the connection and linearization coefficients of orthogonal polynomials of a discrete variable, we solve the duplication and linearization problem of all orthogonal polynomials of a discrete variable; 3. we propose a method to generate the connection, linearization and duplication coefficients for q-orthogonal polynomials; 4. we propose a unified method to obtain these coefficients in a generic way for orthogonal polynomials on quadratic and q-quadratic lattices. Our algorithmic approach to compute linearization, connection and duplication coefficients is based on the one used by Koepf and Schmersau and on the NaViMa algorithm. Our main technique is to use explicit formulas for structural identities of classical orthogonal polynomial systems. We find our results by an application of computer algebra. The major algorithmic tools for our development are Zeilberger’s algorithm, q-Zeilberger’s algorithm, the Petkovšek-van-Hoeij algorithm, the q-Petkovšek-van-Hoeij algorithm, and Algorithm 2.2, p. 20 of Koepf's book "Hypergeometric Summation" and it q-analogue.

Identifikation spezieller Funktionen, die durch Rodriguesformeln gegeben sind

Es ist allgemein bekannt, dass sich zwei gegebene Systeme spezieller Funktionen durch Angabe einer Rekursionsgleichung und entsprechend vieler Anfangswerte identifizieren lassen, denn computeralgebraisch betrachtet hat man damit eine Normalform vorliegen. Daher hat sich die interessante Forschungsfrage ergeben, Funktionensysteme zu identifizieren, die über ihre Rodriguesformel gegeben sind. Zieht man den in den 1990er Jahren gefundenen Zeilberger-Algorithmus für holonome Funktionenfamilien hinzu, kann die Rodriguesformel algorithmisch in eine Rekursionsgleichung überführt werden. Falls die Funktionenfamilie überdies hypergeometrisch ist, sogar laufzeiteffizient. Um den Zeilberger-Algorithmus überhaupt anwenden zu können, muss es gelingen, die Rodriguesformel in eine Summe umzuwandeln. Die vorliegende Arbeit beschreibt die Umwandlung einer Rodriguesformel in die genannte Normalform für den kontinuierlichen, den diskreten sowie den q-diskreten Fall vollständig. Das in Almkvist und Zeilberger (1990) angegebene Vorgehen im kontinuierlichen Fall, wo die in der Rodriguesformel auftauchende n-te Ableitung über die Cauchysche Integralformel in ein komplexes Integral überführt wird, zeigt sich im diskreten Fall nun dergestalt, dass die n-te Potenz des Vorwärtsdifferenzenoperators in eine Summenschreibweise überführt wird. Die Rekursionsgleichung aus dieser Summe zu generieren, ist dann mit dem diskreten Zeilberger-Algorithmus einfach. Im q-Fall wird dargestellt, wie Rekursionsgleichungen aus vier verschiedenen q-Rodriguesformeln gewonnen werden können, wobei zunächst die n-te Potenz der jeweiligen q-Operatoren in eine Summe überführt wird. Drei der vier Summenformeln waren bislang unbekannt. Sie wurden experimentell gefunden und per vollständiger Induktion bewiesen. Der q-Zeilberger-Algorithmus erzeugt anschließend aus diesen Summen die gewünschte Rekursionsgleichung. In der Praxis ist es sinnvoll, den schnellen Zeilberger-Algorithmus anzuwenden, der Rekursionsgleichungen für bestimmte Summen über hypergeometrische Terme ausgibt. Auf dieser Fassung des Algorithmus basierend wurden die Überlegungen in Maple realisiert. Es ist daher sinnvoll, dass alle hier aufgeführten Prozeduren, die aus kontinuierlichen, diskreten sowie q-diskreten Rodriguesformeln jeweils Rekursionsgleichungen erzeugen, an den hypergeometrischen Funktionenfamilien der klassischen orthogonalen Polynome, der klassischen diskreten orthogonalen Polynome und an der q-Hahn-Klasse des Askey-Wilson-Schemas vollständig getestet werden. Die Testergebnisse liegen tabellarisch vor. Ein bedeutendes Forschungsergebnis ist, dass mit der im q-Fall implementierten Prozedur zur Erzeugung einer Rekursionsgleichung aus der Rodriguesformel bewiesen werden konnte, dass die im Standardwerk von Koekoek/Lesky/Swarttouw(2010) angegebene Rodriguesformel der Stieltjes-Wigert-Polynome nicht korrekt ist. Die richtige Rodriguesformel wurde experimentell gefunden und mit den bereitgestellten Methoden bewiesen. Hervorzuheben bleibt, dass an Stelle von Rekursionsgleichungen analog Differential- bzw. Differenzengleichungen für die Identifikation erzeugt wurden. Wie gesagt gehört zu einer Normalform für eine holonome Funktionenfamilie die Angabe der Anfangswerte. Für den kontinuierlichen Fall wurden umfangreiche, in dieser Gestalt in der Literatur noch nie aufgeführte Anfangswertberechnungen vorgenommen. Im diskreten Fall musste für die Anfangswertberechnung zur Differenzengleichung der Petkovsek-van-Hoeij-Algorithmus hinzugezogen werden, um die hypergeometrischen Lösungen der resultierenden Rekursionsgleichungen zu bestimmen. Die Arbeit stellt zu Beginn den schnellen Zeilberger-Algorithmus in seiner kontinuierlichen, diskreten und q-diskreten Variante vor, der das Fundament für die weiteren Betrachtungen bildet. Dabei wird gebührend auf die Unterschiede zwischen q-Zeilberger-Algorithmus und diskretem Zeilberger-Algorithmus eingegangen. Bei der praktischen Umsetzung wird Bezug auf die in Maple umgesetzten Zeilberger-Implementationen aus Koepf(1998/2014) genommen. Die meisten der umgesetzten Prozeduren werden im Text dokumentiert. Somit wird ein vollständiges Paket an Algorithmen bereitgestellt, mit denen beispielsweise Formelsammlungen für hypergeometrische Funktionenfamilien überprüft werden können, deren Rodriguesformeln bekannt sind. Gleichzeitig kann in Zukunft für noch nicht erforschte hypergeometrische Funktionenklassen die beschreibende Rekursionsgleichung erzeugt werden, wenn die Rodriguesformel bekannt ist.

Ha muerto Otto Hahn, el 'padre de la bomba atómica' : en 1938 descubrió el procedimiento para separar los átomos del uranio.

Nota sobre la muerte del profesor Otto Hahn, el 28 de julio de 1968, premio Nobel de Química en 1994, y famoso por descubrir, en 1938, la forma de separar el átomo de uranio, dando lugar al desarrollo de la bomba atómica.

Perturbation, extraction and refinement of invariant pairs for matrix polynomials

Generalizing the notion of an eigenvector, invariant subspaces are frequently used in the context of linear eigenvalue problems, leading to conceptually elegant and numerically stable formulations in applications that require the computation of several eigenvalues and/or eigenvectors. Similar benefits can be expected for polynomial eigenvalue problems, for which the concept of an invariant subspace needs to be replaced by the concept of an invariant pair. Little has been known so far about numerical aspects of such invariant pairs. The aim of this paper is to fill this gap. The behavior of invariant pairs under perturbations of the matrix polynomial is studied and a first-order perturbation expansion is given. From a computational point of view, we investigate how to best extract invariant pairs from a linearization of the matrix polynomial. Moreover, we describe efficient refinement procedures directly based on the polynomial formulation. Numerical experiments with matrix polynomials from a number of applications demonstrate the effectiveness of our extraction and refinement procedures.

Robust eigenstructure assignment in quadratic matrix polynomials: nonsingular case

Feedback design for a second-order control system leads to an eigenstructure assignment problem for a quadratic matrix polynomial. It is desirable that the feedback controller not only assigns specified eigenvalues to the second-order closed loop system but also that the system is robust, or insensitive to perturbations. We derive here new sensitivity measures, or condition numbers, for the eigenvalues of the quadratic matrix polynomial and define a measure of the robustness of the corresponding system. We then show that the robustness of the quadratic inverse eigenvalue problem can be achieved by solving a generalized linear eigenvalue assignment problem subject to structured perturbations. Numerically reliable methods for solving the structured generalized linear problem are developed that take advantage of the special properties of the system in order to minimize the computational work required. In this part of the work we treat the case where the leading coefficient matrix in the quadratic polynomial is nonsingular, which ensures that the polynomial is regular. In a second part, we will examine the case where the open loop matrix polynomial is not necessarily regular.

Approximation by harmonic polynomials in star-shaped domains and exponential convergence of Trefftz hp-dGFEM

We study the approximation of harmonic functions by means of harmonic polynomials in two-dimensional, bounded, star-shaped domains. Assuming that the functions possess analytic extensions to a delta-neighbourhood of the domain, we prove exponential convergence of the approximation error with respect to the degree of the approximating harmonic polynomial. All the constants appearing in the bounds are explicit and depend only on the shape-regularity of the domain and on delta. We apply the obtained estimates to show exponential convergence with rate O(exp(−b square root N)), N being the number of degrees of freedom and b>0, of a hp-dGFEM discretisation of the Laplace equation based on piecewise harmonic polynomials. This result is an improvement over the classical rate O(exp(−b cubic root N )), and is due to the use of harmonic polynomial spaces, as opposed to complete polynomial spaces.

Extensions of homogeneous polynomials ON c(0)(l(2)(i))

We show that a 2-homogeneous polynomial on the complex Banach space c(0)(l(2)(i)) is norm attaining if and only if it is finite (i.e, depends only on finite coordinates). As the consequence, we show that there exists a unique norm-preserving extension for norm-attaining 2-homogeneous polynomials on c(0)(l(2)(i)).

UNIQUENESS OF THE EXTENSION OF 2-HOMOGENEOUS POLYNOMIALS

Homogeneous polynomials of degree 2 on the complex Banach space c(0)(l(n)(2)) are shown to have unique norm-preserving extension to the bidual space. This is done by using M-projections and extends the analogous result for c(0) proved by P.-K. Lin.

On the permutation behaviour of Dickson polynomials of the second kind

The known permutation behaviour of the Dickson polynomials of the second kind in characteristic 3 is expanded and simplified.

Stability of 2-D characteristic polynomials

This paper derives some new conditions for the bivariate characteristic polynomial of an uncertain matrix to be very strict Hurwitz. The uncertainties are assumed of the structured and unstructured type. By using the two-dimensional (2-D) inverse Laplace transform, the bounds on the uncertainties are derived which will ensure that the bivariate characteristic polynomial to be very strict Hurwitz. Two numerical examples are given to illustrate the results.

Fractional polynomials and model selection in generalized estimating equations analysis, with an application to a longitudinal epidemiologic study in Australia

In epidemiologic studies, researchers often need to establish a nonlinear exposure-response relation between a continuous risk factor and a health outcome. Furthermore, periodic interviews are often conducted to take repeated measurements from an individual. The authors proposed to use fractional polynomial models to jointly analyze the effects of 2 continuous risk factors on a health outcome. This method was applied to an analysis of the effects of age and cumulative fluoride exposure on forced vital capacity in a longitudinal study of lung function carried out among aluminum workers in Australia (1995-2003). Generalized estimating equations and the quasi-likelihood under the independence model criterion were used. The authors found that the second-degree fractional polynomial models for age and fluoride fitted the data best. The best model for age was robust across different models for fluoride, and the best model for fluoride was also robust. No evidence was found to suggest that the effects of smoking and cumulative fluoride exposure on change in forced vital capacity over time were significant. The trend 1 model, which included the unexposed persons in the analysis of trend in forced vital capacity over tertiles of fluoride exposure, did not fit the data well, and caution should be exercised when this method is used.