Introdução à Geometria Fractal

No passado, a Matemática esteve, em grande parte, preocupada com conjuntos e funções que podem ser estudados através dos métodos clássicos de cálculo1. Por exemplo, na geometria, Havia o hábito de descrever os objectos através de formas regulares: rectas, circunferências, cones etc. Mas, será que uma nuvem é formada por esferas, uma montanha por cones e continentes por circunferências? Existem alguns objectos na natureza, nas ciências em geral e na matemática, em particular (conjuntos, funções), que não são suficientemente "lisos" e que tendiam a ser ignorados e rotulados como “patológicos” . Tais objectos foram considerados como curiosidades, e assim, estudados e analisados por alguns investigadores ao longo dos tempos. Porém, em 1960, Benoit B. Mandelbrot2, trouxe essa matéria à agenda matemática da actualidade, apresentando uma fundamentação coerente do que seriam essas "não-formas". Refazendo alguns estudos nessa área e conhecendo ideias de outros autores apresentou estudos sobre fractais criando assim a teoria dos fractais ou a geometria fractal. Os fractais caracterizam-se por terem uma aparência complexa e confusa, em certos casos, mas quando olhados matematicamente, sua análise denota figuras que apresentam regularidades e comportamentos curiosos, como o de se assemelharem a elas mesmas quando observadas a diferentes escalas, por exemplo. A geometria fractal é portanto o ramo da Matemática que estuda as propriedades dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela Geometria Euclidiana. A geometria fractal descreve taambém como os fractais podem ser aplicados na ciência, tecnologia, arte, etc., sobretudo com recurso computadores. A geometria fractal ainda não fez a sua entrada nos programas dematemática no sistema educativo cabo-verdiano, sendo portanto, pouco conhecida nesse meio. Assim escolhemos essa geometria como tema do nosso trabalho, cujo objectivo geral é divulgar o mundo dos fractais e as suas aplicações, na educação. Aprofundar os conhecimentos sobre a geometria fractal e suas aplicações práticas e no ensino, integrar os conhecimentos de Álgebra Linear, Geometria e Topologia adquiridos no curso e aplicar os fractais ao estudo das sucessões (progressões geométricas) são os objectivos específicos. A partir destes objectivos surgiram as nossas questões de investigação, que tentamos responder ao longo do estudo: 1. Como se fundamenta a geometria fractal? 2. Quais são as principais aplicações? 3. Como aplicar os fractais no ensino secundário (sucessões), de modo a tornar o ensino de matemática mais interessante e motivador? Tais são as questões para as quais procuramos uma resposta ao longo do desenvolvimento do projecto.

Balanço da adubação nitrogenada sólida e fluida de cobertura na cultura de milho, em sistema plantio direto no Triângulo Mineiro (MG)

Foi desenvolvido um experimento com as fontes uréia e uran aplicadas superficialmente ou incorporadas (5-7 cm) na cobertura nitrogenada de milho, no sistema plantio direto, com o objetivo de efetuar, na colheita, um balanço do N-uréia (15N) e quantificar as perdas por volatilização de N-NH3 nesses tratamentos, assim como nos adicionais, testemunha e misturas de uréia + KCl (sólida) e uran + KCl (fluida), na formulação 6-0-9 (N-P2O5-K2O), aplicadas somente em superfície. Os tratamentos originaram-se de um fatorial 1 + (2 x 2) + 2, sendo a testemunha + o fatorial 2 x 2 (duas fontes; uréia e uran x duas formas de localização) + dois tratamentos adicionais, misturas uréia + KCl (sólida) e uran + KCl (fluida), dispostos em blocos casualizados com quatro repetições. O ensaio foi realizado em Latossolo Vermelho-Escuro muito argiloso fase cerrado relevo plano, no Centro de Pesquisa Novartis - Seeds do município de Uberlândia (MG). Cerca de 100 kg ha-1 de N foram aplicados no estádio fenológico de seis a oito folhas. Após 26 dias da adubação, as perdas acumuladas de N-NH3 nos tratamentos em superfície foram de 54, 41, 17 e 14% do N aplicado, para uréia, uréia + KCl, uran e uran + KCl, respectivamente. Quando a uréia e o uran foram incorporados ao solo, as perdas acumuladas de N-NH3 foram de 5,0 e 3,5% do N aplicado, respectivamente. Na colheita, o N da uréia absorvido pela planta (raízes + colmos + folhas + grãos) foi de 19,9 kg ha-1 (20,8% do N aplicado) e de 29,5 kg ha-1 (29,5% do N aplicado), quando aplicado na superfície e incorporado, respectivamente. O N-uréia do uran absorvido pela planta foi de 11,4 kg ha-1 (26,1% do N aplicado) e de 11,7 kg ha-1 (26,8% do N aplicado), quando aplicado na superfície ou incorporado, respectivamente. O N da uréia imobilizado na camada de 0-45 cm de profundidade foi, em média, de 9,9 kg ha-1 (10,0% do N aplicado), da aplicação superficial ou incorporada, e do N-uréia do uran foi de 3,3 kg ha-1 (7,6% do N aplicado). O N-mineral no solo derivado do N da uréia e do N-uréia do uran aplicados na superfície, no perfil de 0-150 cm, foi, respectivamente, de 2,4 e 3,2%, e de 5,9 e 2,5%, com as fontes incorporadas. No balanço global de N, em média, 13,7 e 50,3% do N da uréia não foram recuperados no sistema solo-planta, respectivamente, para a aplicação superficial ou incorporada; para o N-uréia do uran, obtiveram-se, respectivamente, 47,7 e 57,6%.

Variabilidade espacial da agregação do solo avaliada pela geometria fractal e geoestatística

Este trabalho teve por objetivo explorar a aplicabilidade da teoria de fractais no estudo da variabilidade espacial em agregação de solo. A geometria de fractais tem sido proposta como um modelo para a distribuição de tamanho de partículas. A distribuição do tamanho de agregados do solo, expressos em termos de massa, é apresentada. Os parâmetros do modelo, tais como: a dimensão fractal D, medida representativa da fragmentação do solo (quanto maior seu valor, maior a fragmentação), e o tamanho do maior agregado R L foram definidos como ferramentas descritivas para a agregação do solo. Os agregados foram coletados em uma profundidade de 0-10 cm de um Latossolo Vermelho distrófico típico álico textura argilosa, em Angatuba, São Paulo. Uma grade regular de 100 x 100 m foi usada e a amostragem realizada em 76 pontos nos quais se determinou a distribuição de agregados por via úmida, usando água, álcool e benzeno como pré-tratamentos. Pelo exame de semivariogramas, constatou-se a ocorrência de dependência espacial. A krigagem ordinária foi usada como interpolador e mapas de contorno mostraram-se de grande utilidade na descrição da variabilidade espacial de agregação do solo.

Transformação da matéria orgânica e do nitrogênio durante a compostagem da fração sólida do chorume bovino

A fração sólida do chorume (FSC) de duas explorações de pecuária leiteira intensiva (FSC1 e FSC2, recolhidas em fossa aberta e fechada, respectivamente) foi compostada com e sem adição de palha, em pilhas estáticas e em pilhas com revolvimento. A temperatura aumentou rapidamente na FSC1, que foi recolhida mais lentamente, até a máxima diária de 68 °C, registrada na pilha estática com palha. No entanto, a FSC2 não alcançou temperatura superior a 51 °C em qualquer uma das pilhas. A mistura de palha com a FSC aumentou a temperatura no início da compostagem em todas as pilhas, mas as taxas de mineralização da matéria orgânica (MO) não aumentaram. Nas pilhas com revolvimento, a MO potencialmente mineralizável aumentou em comparação com as pilhas estáticas, mas a concentração de N nos compostos finais foi mais elevada nas pilhas sem revolvimento, sugerindo que o revolvimento pode ter aumentado as perdas de N. A relação C/N da FSC diminuiu de forma semelhante em todas as pilhas, desde um valor inicial de 27 ou superior até o valor de 11 a 13 no final da compostagem. A baixa temperatura, a baixa relação C/N e a baixa concentração de NH4+ em combinação com o aumento da concentração de NO3- dos compostos finais indicaram que estes estavam estabilizados. A elevada concentração de MO (720-820 g kg-1) e de N total (30-44 g kg-1) e a baixa condutividade elétrica (inferior a 100 mS m-1) sugerem que os compostos da FSC podem ser utilizados como corretivos orgânicos do solo com benefícios agronômicos e ambientais. No entanto, é necessário continuar a investigar para garantir a higienização do composto, porque a FSC2 não alcançou temperaturas termófilas durante a compostagem.

Efeito de inoculante ectomicorrízico produzido por fermentação semi-sólida sobre o crescimento de Eucalyptus dunnii Maiden

O crescimento de Eucalyptus é favorecido por fungos ectomicorrízicos (FECM). De ocorrência comum nas plantações florestais, os FECM diferem, entretanto, em infectividade e eficiência. O objetivo deste estudo foi testar a compatibilidade e a eficiência do inoculante ectomicorrízico produzido por fermentação semi-sólida, em relação a Eucalyptus dunnii Maiden. Neste sentido, o inoculante de Pisolithus sp., produzido por fermentação semi-sólida em vermiculita-solução nutritiva, foi aplicado ao substrato turfa-vermiculita (30:70, v/v) nas concentrações de 0, 1, 3, 5 e 10% (v/v) que foi semeado com E. dunnii, e mantido em casa de vegetação. A inoculação proporcionou colonização radicular e aumento da matéria seca da parte aérea e do conteúdo de P em razão da concentração do inoculante. O peso da matéria seca das plantas com 1% de inoculante não diferiu do peso das testemunhas. A 3% e 5%, a matéria seca aumentou 62%. O maior valor foi obtido com 10% de inoculante, onde o peso das plantas foi 73% superior ao das testemunhas, e o teor de P, 130%. Resultados semelhantes foram obtidos em relação à raiz. Altura e diâmetro foram positivamente afetados pela inoculação, mas não a relação raiz/parte aérea. As doses mais eficientes de inoculante foram aquelas de 3% ou superiores. Este método de produção deverá ser testado com outros FECM, e sua eficiência, avaliada em viveiro e no campo.

Geometria i realitat

Aquests instants memorables, que en general formen la part més noble de les monografies i revistes científiques, es produeixen sempre, és clar, al final de la 'línia de producció i sovint ens fan oblidar la primordial importància deis processos intermedis,en els quals les eines per a la generació d'idees i enunciats, i per al seu refinamentprogressiu, són ordinàriament molt més variades. De fet és una opinió força estesa,almenys entre els investigadors, que en aquests processos intermedis 'de gestació' éson realment rau el major atractiu de la recerca, on hi tenen una funció l'especulació,l'analogia, la simulació, la hipòtesi de treball, la conjectura o la predicció (6), tot i quemalauradament sovint no en resta cap reflex, especialment en el cas dels matemàtics,en les conclusions finals dels treballs (1).Els paràgrafs precedents no són res més que una presentació en miniatura deqüestions que resulten ser, per més clares que semblin a primera vista, delicadesi controvertides quan se'n fa un escrutini més reposat. No disposant de l'espai nidel temps que caldria per a una anàlisi detallada, el lector que desitgi aprofundir enaquesta direcció haurà de consultar obres adients sobre aquests temes (8). En tot cas,en la resta d'aquesta secció exposem a1guns exemples per il•lustrar alguns deis puntsmés destacats de les idees anteriors.

Geometria a Renato Des Cartes anno 1637 gallice edita, nunc autem cum notis Florimondi de Beaune,... in linguam latinam versa et commentariis illustrata, opera atque studio Francisci a Schooten,...

Comprend : Notae

1.° Anonymi tractatus de quadratura circuli : initium desideratur. — 2.° Sententia Adelboldi, Episcopi, ad Gerbertum, de crassitudine sphaerae. — 3.° Sententia Gerberti ad Adelboldum, Episcopum, de dissonantia arithmetica et geometrica. — 4.° Opusculum cui titulus : geometria Euclidis ; interprete Boëtio. — 5.° Fragmentum de musica.

Philiberti de la Mare

1.° Joannis de Muris tractatus de mensurandi ratione. — 2.° Anonymi opus cujus is est titulus : liber practicorum geometriae. — 3.° Aultre maniere de mesurer par le gnomon, c'est a scavoir par le dos de l'astrolabe. — 4.° Alius tractatus de geometria practica. — 5.° Traité d'arithmetique.

Colbertinus

Geometria de superficies: una aproximació a la figura de Gausss

Gauss va publicar l’any 1827 Disquisitiones generales circa superficies curvas, obra que ha resultat fonamental en el desenvolupament de la geometria diferencial a partir del segle XIX. La documentació de la qual es disposa sobre la gènesi i el desenvolupament de les idees d’aquesta obra, ens permet, a més de presentar els principals resultats que hi apareixen, fer una aproximació a la figura de Gauss, al seu estil matemàtic

1.° Anonymi tractatus de compositione astrolabii. — 2.° Theorica planetarum : authore Gerardo Carmonensi. — 3.° Joannis de Sacrobosco tractatus de sphaera : multa sub finem desiderantur. — 4.° Practica ad componendum cylindrum. — 5.° Compositio astrolabii nova. — 6.° Canones quadrantis novi. — 7.° Canones cylindri. — 8.° Canones astrolabii. — 9.° Anonymi tractatus de compositione sphaerae solidae cum armillis. — 10.° Anonymi practica de modo mensurandi in geometria. — 11.° Algorismus specialis et astronomicus. — 12.° La maniére de connoistre les heures de nuit. — 13.° Anonymi tractatus de compositione quadrantis. — 14.° Canones, sive utilitates quadrantis.

Colbertinus

De les dades composicionals a una geometria euclidiana sobre el símplex

La reflexió sobre la naturalesa de les dades composicionals i sobre la metodologia estadística específica per a la seva anàlisi condueix a la construcció de l'espai de les composicions i a la seva estructuració com un espai vectorial euclidià, del qual el símplex n'és l'espai suport. S'il·lustren sobre el diagrama ternari alguns dels elements més característics d'aquesta geometria