Cohomologie de fibrés en droite sur le fibré cotangent de variétés grassmanniennes généralisées

Cette thèse s'intéresse à la cohomologie de fibrés en droite sur le fibré cotangent de variétés projectives. Plus précisément, pour $G$ un groupe algébrique simple, connexe et simplement connexe, $P$ un sous-groupe maximal de $G$ et $\omega$ un générateur dominant du groupe de caractères de $P$, on cherche à comprendre les groupes de cohomologie $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L})$ où $\mathcal{L}$ est le faisceau des sections d'un fibré en droite sur $T^*(G/P)$. Sous certaines conditions, nous allons montrer qu'il existe un isomorphisme, à graduation près, entre $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L})$ et $H^i(T^*(G/P),\mathcal{L}^{\vee})$ Après avoir travaillé dans un contexte théorique, nous nous intéresserons à certains sous-groupes paraboliques en lien avec les orbites nilpotentes. Dans ce cas, l'algèbre de Lie du radical unipotent de $P$, que nous noterons $\nLie$, a une structure d'espace vectoriel préhomogène. Nous pourrons alors déterminer quels cas vérifient les hypothèses nécessaires à la preuve de l'isomorphisme en montrant l'existence d'un $P$-covariant $f$ dans $\comp[\nLie]$ et en étudiant ses propriétés. Nous nous intéresserons ensuite aux singularités de la variété affine $V(f)$. Nous serons en mesure de montrer que sa normalisation est à singularités rationnelles.

Analyse de groupe d’un modèle de la plasticité idéale planaire et sur les solutions en termes d’invariants de Riemann pour les systèmes quasilinéaires du premier ordre

Les objets d’étude de cette thèse sont les systèmes d’équations quasilinéaires du premier ordre. Dans une première partie, on fait une analyse du point de vue du groupe de Lie classique des symétries ponctuelles d’un modèle de la plasticité idéale. Les écoulements planaires dans les cas stationnaire et non-stationnaire sont étudiés. Deux nouveaux champs de vecteurs ont été obtenus, complétant ainsi l’algèbre de Lie du cas stationnaire dont les sous-algèbres sont classifiées en classes de conjugaison sous l’action du groupe. Dans le cas non-stationnaire, une classification des algèbres de Lie admissibles selon la force choisie est effectuée. Pour chaque type de force, les champs de vecteurs sont présentés. L’algèbre ayant la dimension la plus élevée possible a été obtenues en considérant les forces monogéniques et elle a été classifiée en classes de conjugaison. La méthode de réduction par symétrie est appliquée pour obtenir des solutions explicites et implicites de plusieurs types parmi lesquelles certaines s’expriment en termes d’une ou deux fonctions arbitraires d’une variable et d’autres en termes de fonctions elliptiques de Jacobi. Plusieurs solutions sont interprétées physiquement pour en déduire la forme de filières d’extrusion réalisables. Dans la seconde partie, on s’intéresse aux solutions s’exprimant en fonction d’invariants de Riemann pour les systèmes quasilinéaires du premier ordre. La méthode des caractéristiques généralisées ainsi qu’une méthode basée sur les symétries conditionnelles pour les invariants de Riemann sont étendues pour être applicables à des systèmes dans leurs régions elliptiques. Leur applicabilité est démontrée par des exemples de la plasticité idéale non-stationnaire pour un flot irrotationnel ainsi que les équations de la mécanique des fluides. Une nouvelle approche basée sur l’introduction de matrices de rotation satisfaisant certaines conditions algébriques est développée. Elle est applicable directement à des systèmes non-homogènes et non-autonomes sans avoir besoin de transformations préalables. Son efficacité est illustrée par des exemples comprenant un système qui régit l’interaction non-linéaire d’ondes et de particules. La solution générale est construite de façon explicite.

Bounding The Hochschild Cohomological Dimension

Ce mémoire a deux objectifs principaux. Premièrement de développer et interpréter les groupes de cohomologie de Hochschild de basse dimension et deuxièmement de borner la dimension cohomologique des k-algèbres par dessous; montrant que presque aucune k-algèbre commutative est quasi-libre.

Évaluation du régulateur sur une courbe modulaire et valeurs particulières

Bloch et Beilinson ont proposé plusieurs conjectures sur les liens entre les applications régulateurs du groupe de K-théorie algébrique associée à une courbe modulaire et des valeurs spéciales de fonction L. Fixons N, un entier naturel et considérons le sous-groupe de congruence $\Gamma_0(N)$. Le présent mémoire démontre une formule explicite entre le régulateur de la courbe modulaire $X_0(N)$ appliqué à une forme primitive et une valeur spéciale de la fonction L associée.

Structures algébriques, systèmes superintégrables et polynômes orthogonaux

Cette thèse est divisée en cinq parties portant sur les thèmes suivants: l’interprétation physique et algébrique de familles de fonctions orthogonales multivariées et leurs applications, les systèmes quantiques superintégrables en deux et trois dimensions faisant intervenir des opérateurs de réflexion, la caractérisation de familles de polynômes orthogonaux appartenant au tableau de Bannai-Ito et l’examen des structures algébriques qui leurs sont associées, l’étude de la relation entre le recouplage de représentations irréductibles d’algèbres et de superalgèbres et les systèmes superintégrables, ainsi que l’interprétation algébrique de familles de polynômes multi-orthogonaux matriciels. Dans la première partie, on développe l’interprétation physico-algébrique des familles de polynômes orthogonaux multivariés de Krawtchouk, de Meixner et de Charlier en tant qu’éléments de matrice des représentations unitaires des groupes SO(d+1), SO(d,1) et E(d) sur les états d’oscillateurs. On détermine les amplitudes de transition entre les états de l’oscillateur singulier associés aux bases cartésienne et polysphérique en termes des polynômes multivariés de Hahn. On examine les coefficients 9j de su(1,1) par le biais du système superintégrable générique sur la 3-sphère. On caractérise les polynômes de q-Krawtchouk comme éléments de matrices des «q-rotations» de U_q(sl_2). On conçoit un réseau de spin bidimensionnel qui permet le transfert parfait d’états quantiques à l’aide des polynômes de Krawtchouk à deux variables et on construit un modèle discret de l’oscillateur quantique dans le plan à l’aide des polynômes de Meixner bivariés. Dans la seconde partie, on étudie les systèmes superintégrables de type Dunkl, qui font intervenir des opérateurs de réflexion. On examine l’oscillateur de Dunkl en deux et trois dimensions, l’oscillateur singulier de Dunkl dans le plan et le système générique sur la 2-sphère avec réflexions. On démontre la superintégrabilité de chacun de ces systèmes. On obtient leurs constantes du mouvement, on détermine leurs algèbres de symétrie et leurs représentations, on donne leurs solutions exactes et on détaille leurs liens avec les polynômes orthogonaux du tableau de Bannai-Ito. Dans la troisième partie, on caractérise deux familles de polynômes du tableau de Bannai-Ito: les polynômes de Bannai-Ito complémentaires et les polynômes de Chihara. On montre également que les polynômes de Bannai-Ito sont les coefficients de Racah de la superalgèbre osp(1,2). On détermine l’algèbre de symétrie des polynômes duaux -1 de Hahn dans le cadre du problème de Clebsch-Gordan de osp(1,2). On propose une q - généralisation des polynômes de Bannai-Ito en examinant le problème de Racah pour la superalgèbre quantique osp_q(1,2). Finalement, on montre que la q -algèbre de Bannai-Ito sert d’algèbre de covariance à osp_q(1,2). Dans la quatrième partie, on détermine le lien entre le recouplage de représentations des algèbres su(1,1) et osp(1,2) et les systèmes superintégrables du deuxième ordre avec ou sans réflexions. On étudie également les représentations des algèbres de Racah-Wilson et de Bannai-Ito. On montre aussi que l’algèbre de Racah-Wilson sert d’algèbre de covariance quadratique à l’algèbre de Lie sl(2). Dans la cinquième partie, on construit deux familles explicites de polynômes d-orthogonaux basées sur su(2). On étudie les états cohérents et comprimés de l’oscillateur fini et on caractérise une famille de polynômes multi-orthogonaux matriciels.

Théorème de Pleijel pour l'oscillateur harmonique quantique

L'objectif de ce mémoire est de démontrer certaines propriétés géométriques des fonctions propres de l'oscillateur harmonique quantique. Nous étudierons les domaines nodaux, c'est-à-dire les composantes connexes du complément de l'ensemble nodal. Supposons que les valeurs propres ont été ordonnées en ordre croissant. Selon un théorème fondamental dû à Courant, une fonction propre associée à la $n$-ième valeur propre ne peut avoir plus de $n$ domaines nodaux. Ce résultat a été prouvé initialement pour le laplacien de Dirichlet sur un domaine borné mais il est aussi vrai pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Le théorème a été amélioré par Pleijel en 1956 pour le laplacien de Dirichlet. En effet, on peut donner un résultat asymptotique plus fort pour le nombre de domaines nodaux lorsque les valeurs propres tendent vers l'infini. Dans ce mémoire, nous prouvons un résultat du même type pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Pour ce faire, nous utiliserons une combinaison d'outils classiques de la géométrie spectrale (dont certains ont été utilisés dans la preuve originale de Pleijel) et de plusieurs nouvelles idées, notamment l'application de certaines techniques tirées de la géométrie algébrique et l'étude des domaines nodaux non-bornés.

Vacancy-assisted domain-growth in asymmetric binary alloys: A Monte Carlo Study

A Monte Carlo simulation study of the vacancy-assisted domain growth in asymmetric binary alloys is presented. The system is modeled using a three-state ABV Hamiltonian which includes an asymmetry term. Our simulated system is a stoichiometric two-dimensional binary alloy with a single vacancy which evolves according to the vacancy-atom exchange mechanism. We obtain that, compared to the symmetric case, the ordering process slows down dramatically. Concerning the asymptotic behavior it is algebraic and characterized by the Allen-Cahn growth exponent x51/2. The late stages of the evolution are preceded by a transient regime strongly affected by both the temperature and the degree of asymmetry of the alloy. The results are discussed and compared to those obtained for the symmetric case.

Studies in molecular mechanics using spectroscopic data exact force field and bond in homogeneity

This thesis deals with some studies in molecular mechanic using spectroscopic data. It includes an improvement in the parameter technique for the evaluation of exact force fields, the introduction of a new and simple algebraic method for the force field calculation and a study of asymmetric variation of bonding forces along a bond.

Some problems in set topology relating group of homeomorphisms and order

In this thesis we investigate some problems in set theoretical topology related to the concepts of the group of homeomorphisms and order. Many problems considered are directly or indirectly related to the concept of the group of homeomorphisms of a topological space onto itself. Order theoretic methods are used extensively. Chapter-l deals with the group of homeomorphisms. This concept has been investigated by several authors for many years from different angles. It was observed that nonhomeomorphic topological spaces can have isomorphic groups of homeomorphisms. Many problems relating the topological properties of a space and the algebraic properties of its group of homeomorphisms were investigated. The group of isomorphisms of several algebraic, geometric, order theoretic and topological structures had also been investigated. A related concept of the semigroup of continuous functions of a topological space also received attention

“Improved Feature Extraction and Classification Techniques for Multispectral Brain Magnetic Resonance Images”

Magnetic Resonance Imaging (MRI) is a multi sequence medical imaging technique in which stacks of images are acquired with different tissue contrasts. Simultaneous observation and quantitative analysis of normal brain tissues and small abnormalities from these large numbers of different sequences is a great challenge in clinical applications. Multispectral MRI analysis can simplify the job considerably by combining unlimited number of available co-registered sequences in a single suite. However, poor performance of the multispectral system with conventional image classification and segmentation methods makes it inappropriate for clinical analysis. Recent works in multispectral brain MRI analysis attempted to resolve this issue by improved feature extraction approaches, such as transform based methods, fuzzy approaches, algebraic techniques and so forth. Transform based feature extraction methods like Independent Component Analysis (ICA) and its extensions have been effectively used in recent studies to improve the performance of multispectral brain MRI analysis. However, these global transforms were found to be inefficient and inconsistent in identifying less frequently occurred features like small lesions, from large amount of MR data. The present thesis focuses on the improvement in ICA based feature extraction techniques to enhance the performance of multispectral brain MRI analysis. Methods using spectral clustering and wavelet transforms are proposed to resolve the inefficiency of ICA in identifying small abnormalities, and problems due to ICA over-completeness. Effectiveness of the new methods in brain tissue classification and segmentation is confirmed by a detailed quantitative and qualitative analysis with synthetic and clinical, normal and abnormal, data. In comparison to conventional classification techniques, proposed algorithms provide better performance in classification of normal brain tissues and significant small abnormalities.

Development of Techniques for the Automatic Extraction and Grade Detection of Glioma Tumors from Conventional Brain Magnetic Resonant Images

Cerebral glioma is the most prevalent primary brain tumor, which are classified broadly into low and high grades according to the degree of malignancy. High grade gliomas are highly malignant which possess a poor prognosis, and the patients survive less than eighteen months after diagnosis. Low grade gliomas are slow growing, least malignant and has better response to therapy. To date, histological grading is used as the standard technique for diagnosis, treatment planning and survival prediction. The main objective of this thesis is to propose novel methods for automatic extraction of low and high grade glioma and other brain tissues, grade detection techniques for glioma using conventional magnetic resonance imaging (MRI) modalities and 3D modelling of glioma from segmented tumor slices in order to assess the growth rate of tumors. Two new methods are developed for extracting tumor regions, of which the second method, named as Adaptive Gray level Algebraic set Segmentation Algorithm (AGASA) can also extract white matter and grey matter from T1 FLAIR an T2 weighted images. The methods were validated with manual Ground truth images, which showed promising results. The developed methods were compared with widely used Fuzzy c-means clustering technique and the robustness of the algorithm with respect to noise is also checked for different noise levels. Image texture can provide significant information on the (ab)normality of tissue, and this thesis expands this idea to tumour texture grading and detection. Based on the thresholds of discriminant first order and gray level cooccurrence matrix based second order statistical features three feature sets were formulated and a decision system was developed for grade detection of glioma from conventional T2 weighted MRI modality.The quantitative performance analysis using ROC curve showed 99.03% accuracy for distinguishing between advanced (aggressive) and early stage (non-aggressive) malignant glioma. The developed brain texture analysis techniques can improve the physician’s ability to detect and analyse pathologies leading to a more reliable diagnosis and treatment of disease. The segmented tumors were also used for volumetric modelling of tumors which can provide an idea of the growth rate of tumor; this can be used for assessing response to therapy and patient prognosis.

Automatic Detection and Classification of Glioma Tumors using Statistical Features

The characterization and grading of glioma tumors, via image derived features, for diagnosis, prognosis, and treatment response has been an active research area in medical image computing. This paper presents a novel method for automatic detection and classification of glioma from conventional T2 weighted MR images. Automatic detection of the tumor was established using newly developed method called Adaptive Gray level Algebraic set Segmentation Algorithm (AGASA).Statistical Features were extracted from the detected tumor texture using first order statistics and gray level co-occurrence matrix (GLCM) based second order statistical methods. Statistical significance of the features was determined by t-test and its corresponding p-value. A decision system was developed for the grade detection of glioma using these selected features and its p-value. The detection performance of the decision system was validated using the receiver operating characteristic (ROC) curve. The diagnosis and grading of glioma using this non-invasive method can contribute promising results in medical image computing

A study on semigroup action on fuzzy subsets, inverse fuzzy automata and related topics

This thesis comprises five chapters including the introductory chapter. This includes a brief introduction and basic definitions of fuzzy set theory and its applications, semigroup action on sets, finite semigroup theory, its application in automata theory along with references which are used in this thesis. In the second chapter we defined an S-fuzzy subset of X with the extension of the notion of semigroup action of S on X to semigroup action of S on to a fuzzy subset of X using Zadeh's maximal extension principal and proved some results based on this. We also defined an S-fuzzy morphism between two S-fuzzy subsets of X and they together form a category S FSETX. Some general properties and special objects in this category are studied and finally proved that S SET and S FSET are categorically equivalent. Further we tried to generalize this concept to the action of a fuzzy semigroup on fuzzy subsets. As an application, using the above idea, we convert a _nite state automaton to a finite fuzzy state automaton. A classical automata determine whether a word is accepted by the automaton where as a _nite fuzzy state automaton determine the degree of acceptance of the word by the automaton. 1.5. Summary of the Thesis 17 In the third chapter we de_ne regular and inverse fuzzy automata, its construction, and prove that the corresponding transition monoids are regular and inverse monoids respectively. The languages accepted by an inverse fuzzy automata is an inverse fuzzy language and we give a characterization of an inverse fuzzy language. We study some of its algebraic properties and prove that the collection IFL on an alphabet does not form a variety since it is not closed under inverse homomorphic images. We also prove some results based on the fact that a semigroup is inverse if and only if idempotents commute and every L-class or R-class contains a unique idempotent. Fourth chapter includes a study of the structure of the automorphism group of a deterministic faithful inverse fuzzy automaton and prove that it is equal to a subgroup of the inverse monoid of all one-one partial fuzzy transformations on the state set. In the fifth chapter we define min-weighted and max-weighted power automata study some of its algebraic properties and prove that a fuzzy automaton and the fuzzy power automata associated with it have the same transition monoids. The thesis ends with a conclusion of the work done and the scope of further study.

An approximation method using approximate approximations

The aim of this paper is to extend the method of approximate approximations to boundary value problems. This method was introduced by V. Maz'ya in 1991 and has been used until now for the approximation of smooth functions defined on the whole space and for the approximation of volume potentials. In the present paper we develop an approximation procedure for the solution of the interior Dirichlet problem for the Laplace equation in two dimensions using approximate approximations. The procedure is based on potential theoretical considerations in connection with a boundary integral equations method and consists of three approximation steps as follows. In a first step the unknown source density in the potential representation of the solution is replaced by approximate approximations. In a second step the decay behavior of the generating functions is used to gain a suitable approximation for the potential kernel, and in a third step Nyström's method leads to a linear algebraic system for the approximate source density. For every step a convergence analysis is established and corresponding error estimates are given.