Existence of multiple attractors and the nature of bifurcations in a discontinuous logistic map

We present the analytical investigations on a logistic map with a discontinuity at the centre. An explanation for the bifurcation phenomenon in discontinuous systems is presented. We establish that whenever the elements of an n-cycle (n > 1) approach the discontinuities of the nth iterate of the map, a bifurcation other than the usual period-doubling one takes place. The periods of the cycles decrease in an arithmetic progression, as the control parameter is varied. The system also shows the presence of multiple attractors. Our results are verified by numerical experiments as well.

Stability of periodic orbits of coupled-map lattices

We consider the stability properties of spatial and temporal periodic orbits of one-dimensional coupled-map lattices. The stability matrices for them are of the block-circulant form. This helps us to reduce the problem of stability of spatially periodic orbits to the smaller orbits corresponding to the building blocks of spatial periodicity, enabling us to obtain the conditions for stability in terms of those for smaller orbits.

Dynamics of the logistic map under discrete parametric perturbation

By introducing a periodic perturbation in the control parameter of the logistic map we have investigated the period locking properties of the map. The map then gets locked onto the periodicity of the perturbation for a wide range of values of the parameter and hence can lead to a control of the chaotic regime. This parametrically perturbed map exhibits many other interesting features like the presence of bubble structures, repeated reappearance of periodic cycles beyond the chaotic regime, dependence of the escape parameter on the seed value and also on the initial phase of the perturbation etc.

Bifurcation structure and Lyapunov exponents of a modulated logistic map

We have studied the bifurcation structure of the logistic map with a time dependant control parameter. By introducing a specific nonlinear variation for the parameter, we show that the bifurcation structure is modified qualitatively as well as quantitatively from the first bifurcation onwards. We have also computed the two Lyapunov exponents of the system and find that the modulated logistic map is less chaotic compared to the logistic map.

An analogue of the logistic map in two dimensions

This is a sequel to our earlier work on the modulated logistic map. Here, we first show that the map comes under the universality class of Feigenbaum. We then give evidence for the fact that our model can generate strange attractors in the unit square for an uncountable number of parameter values in the range μ∞<μ<1. Numerical plots of the attractor for several values of μ are given and the self-similar structure is explicity shown in one case. The fractal and information dimensions of the attractors for many values of μ are shown to be greater than one and the variation in their structure is analysed using the two Lyapunov exponents of the system. Our results suggest that the map can be considered as an analogue of the logistic map in two dimensions and may be useful in describing certain higher dimensional chaotic phenomena.

Evidence for the existence of Sarkovskii ordering in a two-dimensional map

We analyse numerically the bifurcation structure of a two-dimensional noninvertible map and show that different periodic cycles are arranged in it exactly in the same order as in the case of the logistic map. We also show that this map satisfies the general criteria for the existence of Sarkovskii ordering, which supports our numerical result. Incidently, this is the first report of the existence of Sarkovskii ordering in a two-dimensional map.

Universal behaviour in a ``modulated'' logistic map

We study the period-doubling bifurcations to chaos in a logistic map with a nonlinearly modulated parameter and show that the bifurcation structure is modified significantly. Using the renormalisation method due to Derrida et al. we establish the universal behaviour of the system at the onset of chaos.

Queueing Models with Vacations and Working Vacations

The objective of the study of \Queueing models with vacations and working vacations" was two fold; to minimize the server idle time and improve the e ciency of the service system. Keeping this in mind we considered queueing models in di erent set up in this thesis. Chapter 1 introduced the concepts and techniques used in the thesis and also provided a summary of the work done. In chapter 2 we considered an M=M=2 queueing model, where one of the two heterogeneous servers takes multiple vacations. We studied the performance of the system with the help of busy period analysis and computation of mean waiting time of a customer in the stationary regime. Conditional stochastic decomposition of queue length was derived. To improve the e ciency of this system we came up with a modi ed model in chapter 3. In this model the vacationing server attends the customers, during vacation at a slower service rate. Chapter 4 analyzed a working vacation queueing model in a more general set up. The introduction of N policy makes this MAP=PH=1 model di erent from all working vacation models available in the literature. A detailed analysis of performance of the model was provided with the help of computation of measures such as mean waiting time of a customer who gets service in normal mode and vacation mode.

Prognosemethode für das Schutzgut ‚Landschaft’ im Rahmen der Strategischen Umweltprüfung

Im Mittelpunkt der Dissertation stehen das Schutzgut ‚Landschaft’ sowie ‚Prognosemethoden in der Umweltprüfung’. Mit beiden Themenbereichen verbinden sich bereits heute ungelöste methodische Probleme, die mit der Umsetzung der Richtlinie zur Strategischen Umweltprüfung (SUP) zusätzlich komplexer und deren Lösung mithin anspruchsvoller werden. Dies hängt einerseits damit zusammen, dass eine gesetzeskonforme Gleichbehandlung aller Schutzgüter zunehmend eingefordert wird und gerade das Schutzgut ‚Landschaft’ in einer SUP methodisch besondere Aufmerksamkeit verlangt. Zum anderen führt die gängige planungsmethodische Diskussion allein nicht zu geeigneten Antworten auf o.g. Fragen, und es bedarf der Prüfung verschiedener Methodenbausteine, auch aus anderen Wissensgebieten, um – über ein eindimensionales Landschaftsverständnis einerseits und die bisher bekannten linearen Wirkungsprognosen andererseits hinaus gehend – mehrfach verknüpfte Prognoseschritte zur Anwendung in der SUP zu entwickeln, in denen das Schutzgut ‚Landschaft’ modellhaft für Bewertungsschritte nachvollziehbar abgebildet wird. Hierbei müssen entscheidungsrelevante Prognosezeiträume ebenso beachtet werden, wie in diesen Zeiträumen möglicherweise auftretende sekundäre, kumulative, synergetische, positive und negative Auswirkungen der zu beurteilenden Planung. Dieser Ziel- und Aufgabenstellung entsprechend erfolgt die theoretische Herangehensweise der Arbeit von zwei Seiten: 1. Die Funktionen und Stellung von Prognosen innerhalb der SUP wird erläutert (Kap. 2), und es wird der Frage nachgegangen, welche Anforderungen an Prognosemethoden zu stellen sind (Kap. 2.4) und welche Prognosemethoden in der SUP Verwendung finden bzw. finden können (Kap. 3). Der Schwerpunkt wird dabei auf die Anwendung der Szenariotechnik gelegt. 2. Es wird dargestellt wie Landschaft für Aufgaben der Landschaftsplanung und Umweltprüfung bisher üblicherweise erfasst und analysiert wird, um in Prognoseschritten handhabbar behandelt zu werden (Kap. 4). Beide Zugänge werden sodann zusammengeführt (Kap. 5), um am Beispiel einer Hochwasserschutzkonzeption im Rahmen der SUP Landschaftliche Prognosen zu erarbeiten. Die Prognose setzt methodisch mit der Beschreibung des zu verwendenden Landschaftsmodells und der Klärung des Modellzwecks ein. Bezugsbasis ist die Beschreibung des Charakters einzelner logisch hergeleiteter Landschaftseinheiten bzw. Landschaftsräume, die typisiert werden. Die Prognose selber unterscheidet zwischen der Abschätzung zu erwartender Landschaftsveränderungen im Sinne der ‚Status-quo-Prognose’ (einschließlich der Entwicklung von drei Szenarien möglicher Zukunftslandschaften bis 2030) und der Wirkungsabschätzungen verschiedener Maßnahmen bzw. Planungsalternativen und zwar zunächst raumunabhängig, und dann raumkonkret. Besondere Bedeutung bei den Wirkungsabschätzungen erhält die klare Trennung von Sach- und Wertebene, eine angemessene Visualisierung und die Dokumentation von Informationslücken und Unsicherheiten bei der Prognose. Diskutiert wird u.a. (Kap. 6) · die Bildung und Abgrenzung landschaftlicher Einheiten und Typen in Bezug zu der Aufgabe, landschaftliche Eigenart zu definieren und planerisch handhabbar und anwendbar zu bestimmen, · die Bedeutung angemessener Visualisierung zur Unterstützung von Beteiligungsverfahren und · die Bestimmung des so genannten ‚Raumwiderstandes’. Beigefügt sind zwei Karten des gesamten Bearbeitungsgebietes: Karte 1 „Landschaftstypen“, Karte 2 „Maßnahmentypen des Hochwasserschutzes mit möglichen Synergieeffekten für die Landschaft“.