Isoperímetros: el problema de los isoperímetros veinticuatro siglos después

Todo tiene un final, incluso una etapa de progreso y buen haber como este último periodo de nuestra querida suma. Emilio y Julio cumplido de sobra y pasan el testigo. Sirvan estas líneas introductoriass a nuestra también última entrega isoperimétrica para mostrarle nuestro reconocimiento. Sobresaliente, cum laude por unanimidad, amigos.

El cálculo diferencial y el problema isoperimétrico

Hemos dejado para el final aquella resolución por la que comienza la mayoría del profesorado de matemáticas: la basada en el uso del cálculo diferencial. Siempre que hemos propuesto el problema que planteábamos en la primera entrega en algún curso o seminario, la forma de abordarlo ha sido echando mano de las derivadas para la búsqueda de extremos de determinada función área. Como se habla de enmarcar un cuadro de 3 m de perímetro, siempre han comenzado pensando en formas rectangulares, por lo que el problema que se planteaban solía ser el siguiente: entre todos los rectángulos de igual perímetro P, el cuadrado de lado P/4 es el que encierra la mayor área.

Isoperímetros: el problema de la existencia de solución en el problema isoperimétrico

A lo largo de la historia han existido una serie de problemas que han intrigado, a la vez, frustrado los matemáticos de todos los tiempos. Algunos de ellos siguen sin resolverse y otros como problemas isoperimétricos del que venimos preocupándonos desde el número 33 de suma tan sencillo de enunciar y sin embargo tan difícil de demostrar, se resolvieron tras siglos de esfuerzo. Cuando decimos anterior lo hacemos teniendo muy en cuenta lo que tal afirmación significa. Es decir, resolver un problema no consiste sólo en dar una solución sino demostrar que tal solución existe. De esta cuestión nos ocupamos ahora.

Los números imitan al espacio

En este trabajo nos proponemos abordar un problema clásico: la división de un segmento en media y extrema razón. Nuestro interés se centra en ilustrar, con un ejemplo sencillo, los sucesivos pasos a la hora de interpretar una magnitud: primero como una longitud, un área o un volumen; después como un segmento; y, por último, como un número. Evolución que refleja el proceso de creación de la geometría analítica. Por otro lado, estos tres periodos coinciden con las tres fases por las que pasa una disciplina matemática: ingenua, formal (en la que se perfecciona el cálculo simbólico) y una fase crítica (en la que se revisan los fundamentos).

El problema del dado con partidas no jugadas

El problema de los puntos, –que ya habían abordado autores, como Pacioli, Tartaglia y Cardano–, es un problema de decisión bajo incertidumbre, que motivó la correspondencia entre Pascal y Fermat en 1654. Ahora bien, en la primera carta que escribe Pascal a Fermat, introduce un nuevo problema sobre dados, también de decisión bajo incertidumbre, «el problema de las partidas no jugadas», que ha motivado el presente trabajo. Aunque más sencillo que el problema de los puntos, ambos tienen cosas en común. Fermat aportará soluciones a estos problemas basadas en la enumeración de todos los posibles resultados, lo que Pascal denomina «el método combinatorio». Al tratar de evitar las enumeraciones de todos los resultados, Pascal descubrirá lo que llamó «método universal»: la esperanza matemática. Igualmente, y a requerimientos de Pascal, Fermat, descubrirá lo que llamamos el modelo de Pascal o modelo geométrico. En el presente trabajo aplicamos estos nuevos métodos al problema de las partidas no jugadas, lo que permitirá apreciar el trabajo que desarrollaron ambos matemáticos.

El problema isoperimétrico y el cálculo de variaciones

¿cuál es el camino más corto entre dos puntos del plano? ¿Y del espacio? ¿Y sobre una superficie cualquiera? ¿Qué forma tiene el tobogán más rápido? ¿Cuál es la curva plana que encierra mayor área entre todas las que tienen una misma longitud?

Isoperímetros:El panal de abejas y Fejes Toth

Demos un gran salto en el tiempo. En números anteriores narramos los avatares del problema isoperimétrico en Grecia y en los países islámicos medievales, respectivamente. Retomemos el enfoque dado por Pappus con el que llegó a la conclusión de que, para un área dada, el perímetro del hexágono regular es menor que el del cuadrado o el del triángulo equilátero, por lo que si el problema se plantea sobre una teselación regular del plano, un trozo finito del teselado regular hecho con hexágonos regulares es el que requiere menor perímetro. Bueno, aún no podemos detenernos porque hemos de hacer la demostración de la proposición de Pappus en 3D. El conocido MacLaurin (1698-1746), profesor de Aberdeen y Edimburgo, utilizó el método que a continuación presentamos. Lo hizo para poner de manifiesto la capacidad de la Geometría clásica como fuente de investigación en cualquier momento (conviene recordar que MacLaurin estaba centrado en analizar las posibilidades de los métodos infinitesimales que en su época emergían, lo que demostró sobradamente con su Treatise of Fluxions).

Proceso de elaboración de actividades geométricas ricas: un ejemplo, las rotaciones

En este articulo presentamos el problema de reflexión de un grupo de trabajo en el que profesores de secundaria e investigadores en educación matemática hemos desarrollado y experimentado una secuencia de actividades ricas en el ámbito de las geometrías de rotaciones. Junto con el concepto de desarrollo de actividad rica presentamos la revisión de algunas contribuciones procedentes de la investigación y analizamos los resultados fruto de su experimentación.

El problema isoperimétrico en la arquitectura, literatura, música…, en la naturaleza

Siempre me ha interesado la historia de las matemáticas cuando la resolución de problemas ha sido su columna vertebral. Ahora que estamos en el 2000, tenemos muy presente aquella famosa lista de 23 problemas dados por Hilbert hace 100 años.

Un problema interesante: maridos engañados en un pueblo integrista

Este articulo lo presento como humilde homenaje a Rafael Montoya (profesor, matemático, ajedrecista, amigo). Nos conocimos jóvenes estudiantes, en Ceuta y compartimos durante muchos años largas horas jugando al ajedrez; resolviendo problemas de matemáticas, de ajedrez o de ingenio; preparando oposiciones; o, simplemente, charlando, conviviendo.

Explorando un problema de extremos con un programa de geometría dinámica

Este articulo ilustra cómo un problema ambiguamente formulado admite diferentes lecturas y soluciones, permitiendo así distintas aproximaciones según el nivel y las capacidades del alumno. El problema de optimización es explorado en un entorno de geometría dinámica (The Geometer's Sketchpad). Esta aproximación geométrica facilita la formulación de conjeturas y su prueba visual, allanando el camino a la prueba analítica, si ésta se considera pertinente.

El problema P-S de McCarthy y otros acertijos

Usualmente, los problemas de ingenio (puzles) han sido considerados ejemplos motivadores para la enseñanza de la programación. Muchos autores han defendido el lenguaje PROLOG como un primer acercamiento a la programación y a las ciencias de la computación.

La calculadora gráfica. Una herramienta para resolver un problema de evolución de especies

En este artículo se recoge brevemente el contenido y resultado de una experiencia llevada a cabo en clase, con un grupo de alumnos de 4.° curso de ESO. Se plantea el problema inicial de la evolución de un grupo de peces en una charco se obtiene un modelo matemático simple (la llamada función logística), que aproxima el problema, y después se estudian algunos casos interesantes de los que se obtienen diversos comportamientos, tanto regulares como caóticos.

Los tres pies del gato

Desde hace algún tiempo, el periódico Heraldo de Aragón, que se edita en Zaragoza y se difunde sobre todo en Aragón, donde tiene una sólida implantación, publica un suplemento semanal titulado Heraldo Escolar, que aparece los miércoles, con actividades para las aulas. Desde su aparición. y financiado por una Caja de Ahorros, se reparte gratuitamente en todos los centros educativos de la región, en un número suficiente para que haya al menos un ejemplar por aula.

Un problema cualquiera

Con frecuencia, al leer el encabezamiento de un artículo, el lector intenta hacerse una idea aproximada de lo que puede estar escrito bajo él, aunque no siempre coincida con lo que realmente hay. Para evitar que esto ocurra entre nosotros, y dado que el título resulta bastante genérico, trataré de introducirle con unos breves comentarios, de manera que si no se siente interesado pueda pasar al próximo artículo. Pero si es un aficionado a los problemas de pasatiempos, o le gusta entretenerse en averiguar" cómo otra gente resuelve problemas, o quiere reflexionar sobre el propio pensamiento cuando es usted el resolutor, o está preocupado en líneas generales por la enseñanza, deténgase un momento y concédame un margen de confianza. Esto quizá le pueda interesar.