Discrete fractional order system vibrations

A theory of free vibrations of discrete fractional order (FO) systems with a finite number of degrees of freedom (dof) is developed. A FO system with a finite number of dof is defined by means of three matrices: mass inertia, system rigidity and FO elements. By adopting a matrix formulation, a mathematical description of FO discrete system free vibrations is determined in the form of coupled fractional order differential equations (FODE). The corresponding solutions in analytical form, for the special case of the matrix of FO properties elements, are determined and expressed as a polynomial series along time. For the eigen characteristic numbers, the system eigen main coordinates and the independent eigen FO modes are determined. A generalized function of visoelastic creep FO dissipation of energy and generalized forces of system with no ideal visoelastic creep FO dissipation of energy for generalized coordinates are formulated. Extended Lagrange FODE of second kind, for FO system dynamics, are also introduced. Two examples of FO chain systems are analyzed and the corresponding eigen characteristic numbers determined. It is shown that the oscillatory phenomena of a FO mechanical chain have analogies to electrical FO circuits. A FO electrical resistor is introduced and its constitutive voltage–current is formulated. Also a function of thermal energy FO dissipation of a FO electrical relation is discussed.

An Extension of Estimation of Domain of Attraction for Fractional Order Linear System Subject to Saturation Control

This paper employs the Lyapunov direct method for the stability analysis of fractional order linear systems subject to input saturation. A new stability condition based on saturation function is adopted for estimating the domain of attraction via ellipsoid approach. To further improve this estimation, the auxiliary feedback is also supported by the concept of stability region. The advantages of the proposed method are twofold: (1) it is straightforward to handle the problem both in analysis and design because of using Lyapunov method, (2) the estimation leads to less conservative results. A numerical example illustrates the feasibility of the proposed method.

Modeling Vegetable Fractals by means of Fractional-order Equations

This paper characterizes four ‘fractal vegetables’: (i) cauliflower (brassica oleracea var. Botrytis); (ii) broccoli (brassica oleracea var. italica); (iii) round cabbage (brassica oleracea var. capitata) and (iv) Brussels sprout (brassica oleracea var. gemmifera), by means of electrical impedance spectroscopy and fractional calculus tools. Experimental data is approximated using fractional-order models and the corresponding parameters are determined with a genetic algorithm. The Havriliak-Negami five-parameter model fits well into the data, demonstrating that classical formulae can constitute simple and reliable models to characterize biological structures.

Nonlinear Dynamics for Local Fractional Burgers Equation Arising in Fractal Flow

The local fractional Burgers’ equation (LFBE) is investigated from the point of view of local fractional conservation laws envisaging a nonlinear local fractional transport equation with a linear non-differentiable diffusion term. The local fractional derivative transformations and the LFBE conversion to a linear local fractional diffusion equation are analyzed.

A Review of Operational Matrices and Spectral Techniques for Fractional Calculus

Recently, operational matrices were adapted for solving several kinds of fractional differential equations (FDEs). The use of numerical techniques in conjunction with operational matrices of some orthogonal polynomials, for the solution of FDEs on finite and infinite intervals, produced highly accurate solutions for such equations. This article discusses spectral techniques based on operational matrices of fractional derivatives and integrals for solving several kinds of linear and nonlinear FDEs. More precisely, we present the operational matrices of fractional derivatives and integrals, for several polynomials on bounded domains, such as the Legendre, Chebyshev, Jacobi and Bernstein polynomials, and we use them with different spectral techniques for solving the aforementioned equations on bounded domains. The operational matrices of fractional derivatives and integrals are also presented for orthogonal Laguerre and modified generalized Laguerre polynomials, and their use with numerical techniques for solving FDEs on a semi-infinite interval is discussed. Several examples are presented to illustrate the numerical and theoretical properties of various spectral techniques for solving FDEs on finite and semi-infinite intervals.

An efficient numerical scheme for solving multi-dimensional fractional optimal control problems with a quadratic performance index

The shifted Legendre orthogonal polynomials are used for the numerical solution of a new formulation for the multi-dimensional fractional optimal control problem (M-DFOCP) with a quadratic performance index. The fractional derivatives are described in the Caputo sense. The Lagrange multiplier method for the constrained extremum and the operational matrix of fractional integrals are used together with the help of the properties of the shifted Legendre orthonormal polynomials. The method reduces the M-DFOCP to a simpler problem that consists of solving a system of algebraic equations. For confirming the efficiency and accuracy of the proposed scheme, some test problems are implemented with their approximate solutions.

Integer and Fractional Order Entropy Analysis of Earthquake Data-series

This paper studies the statistical distributions of worldwide earthquakes from year 1963 up to year 2012. A Cartesian grid, dividing Earth into geographic regions, is considered. Entropy and the Jensen–Shannon divergence are used to analyze and compare real-world data. Hierarchical clustering and multi-dimensional scaling techniques are adopted for data visualization. Entropy-based indices have the advantage of leading to a single parameter expressing the relationships between the seismic data. Classical and generalized (fractional) entropy and Jensen–Shannon divergence are tested. The generalized measures lead to a clear identification of patterns embedded in the data and contribute to better understand earthquake distributions.

Fractional Dynamics in the Rayleigh's Piston

This paper studies the dynamics of the Rayleigh piston using the modeling tools of Fractional Calculus. Several numerical experiments examine the effect of distinct values of the parameters. The time responses are transformed into the Fourier domain and approximated by means of power law approximations. The description reveals characteristics usual in Fractional Brownian phenomena.

Fractional State Space Analysis of Economy Systems

This paper examines modern economic growth according to the multidimensional scaling (MDS) method and state space portrait (SSP) analysis. Electing GDP per capita as the main indicator for economic growth and prosperity, the long-run perspective from 1870 to 2010 identifies the main similarities among 34 world partners’ modern economic growth and exemplifies the historical waving mechanics of the largest world economy, the USA. MDS reveals two main clusters among the European countries and their old offshore territories, and SSP identifies the Great Depression as a mild challenge to the American global performance, when compared to the Second World War and the 2008 crisis.

Bipedal Locomotion: A Fractional CPG for Generating Patterns

Proceedings of the 10th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications

Strange Dynamics in a Fractional Derivative of Complex-Order Network of Chaotic Oscillators

We study the peculiar dynamical features of a fractional derivative of complex-order network. The network is composed of two unidirectional rings of cells, coupled through a "buffer" cell. The network has a Z3 × Z5 cyclic symmetry group. The complex derivative Dα±jβ, with α, β ∈ R+ is a generalization of the concept of integer order derivative, where α = 1, β = 0. Each cell is modeled by the Chen oscillator. Numerical simulations of the coupled cell system associated with the network expose patterns such as equilibria, periodic orbits, relaxation oscillations, quasiperiodic motion, and chaos, in one or in two rings of cells. In addition, fixing β = 0.8, we perceive differences in the qualitative behavior of the system, as the parameter c ∈ [13, 24] of the Chen oscillator and/or the real part of the fractional derivative, α ∈ {0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0}, are varied. Some patterns produced by the coupled system are constrained by the network architecture, but other features are only understood in the light of the internal dynamics of each cell, in this case, the Chen oscillator. What is more important, architecture and/or internal dynamics?

Visualizing control systems performance: A fractional perspective

This article presents a novel method for visualizing the control systems behavior. The proposed scheme uses the tools of fractional calculus and computes the signals propagating within the system structure as a time/frequency-space wave. Linear and nonlinear closed-loop control systems are analyzed, for both the time and frequency responses, under the action of a reference step input signal. Several nonlinearities, namely, Coulomb friction and backlash, are also tested. The numerical experiments demonstrate the feasibility of the proposed methodology as a visualization tool and motivate its extension for other systems and classes of nonlinearities.

Atrial natriuretic peptides: reproducibility of renal effects and response of liver blood flow.

To assess the variability of the response to exogenous atrial natriuretic peptide (ANP), it was infused at the rate of 1 microgram/min for 2 h in 6 salt-loaded normal volunteers under controlled conditions on 2 occasions at an interval of 1 week. The effect on solute excretion and the haemodynamic and endocrine actions were highly reproducible. The constant ANP infusion caused a delayed and prolonged excretion of sodium, chloride and calcium, no change in potassium or phosphate excretion or in glomerular filtration rate but a marked decrease in renal plasma flow. Blood pressure, heart rate and the plasma levels of angiotensin II, aldosterone, arginine vasopressin and plasma renin activity were unaltered. The effect of a 2-h infusion of ANP 0.5 microgram/min or its vehicle on apparent hepatic blood flow (HBF) was also studied in 14 normal volunteers by measuring the indocyanine green clearance. A 21% decrease in HBF was observed in subjects who received the ANP infusion (p less than 0.01 vs vehicle). Thus, ANP infused at a dose that did not lower blood pressure decreased both renal and liver blood flow in normotensive volunteers. The renal and endocrine responses to ANP were reproducible over a 1-week interval.

Évaluation neurobiologique des souris spontanément hypertendues : Du vieillissement à la génomique comparative

Le but de cette thèse est premièrement d’évaluer l’effet du vieillissement sur les fonctions psychomotrices des souches de souris sélectionnées génétiquement en fonction de leur tension artérielle (TA); deuxièmement, de localiser les déterminants génétiques des phénotypes psychophysiologiques à partir de souches recombinantes congéniques (RCS). Ces travaux ont mené à la publication de 4 articles. Le premier article décrit l’évaluation des fonctions psychomotrices des souches avec une tension artérielle élevée (HBP), basse (LBP) et normale (NBP). La performance aux épreuves d’exploration, d’habiletés motrices et d’apprentissage spatial, a été mesurée sur deux cohortes âgées respectivement de 12 mois et de trois mois. Indépendamment de l’âge, les HBPs sont hyperactives dans l’open-field (OF), mais pas dans le test d’exploration de trous. Inversement, les LBP explorent moins d’espaces que les NBP et, à trois mois seulement, sont hypoactives dans l’OF. Par ailleurs, les HBPs et les LBP présentent des déficits précoces de coordination motrice et des fonctions visuo-motrices. Le second article concerne l’évaluation longitudinale de la coordination motrice, de l’anxiété et de l’apprentissage spatial des souches HBP, LBP et NBP, à l’âge de deux mois et de 12 mois. Le vieillissement accentue l’hyperactivité des HBPs dans l’OF. Par contre, l’hypoactivité des souris LBP est détectable seulement à l’âge de deux mois. Indépendamment de l’âge, les souris HBP et LBP montrent une perception réduite du danger dans l’épreuve d’anxiété et des dysfonctions visuo-motrices au labyrinthe aquatique. Enfin, des déficits précoces de coordination motrice se manifestent seulement chez les HBPs. Il reste à déterminer si les déficits observés sont liés à des déterminants génétiques indépendants ou secondaires aux altérations de la tension artérielle. Le troisième article présente la comparaison entre les souches consanguines A/J et C57Bl/6J (B6) aux épreuves de l’OF, de la planche à trous, du labyrinthe aquatique et du cintre (coordination motrice). Les B6 explore d’avantage l’OF et la planche à trous. Les B6 sont moins rapides sur le cintre, mais supérieurs aux A/J dans le labyrinthe aquatique, avec une plate-forme invisible ou visible. Ces résultats démontrent l’implication de déterminants génétiques. Cette thèse se termine par un quatrième article sur la localisation des déterminants génétiques de la susceptibilité au stress dans les RCS, dérivées de A/J et B6, et présentant un agencement spécifique de 12.5% du génome. La réactivité émotionnelle est évaluée dans l’OF et le plus-maze; la réponse de stress est mesurée par radio télémétrie de la température interne pendant le stress d’immobilisation (SI) sous diète régulière et riche en sel; l’excrétion des électrolytes urinaires est dosée après 24 heures de diète salée. Les loci les plus significatifs sont situés dans les régions suivantes: de l’émotionalité dans l’OF (Emo1) sur le chr. 1 (LOD=4.6) correspondant à la région homologue impliquée dans la cohorte d’hypertension familiale du Saguenay; de la dopa décarboxylase (ddc) sur le chr. 11 pour l’émergence du plus-maze (LOD=4.7); de la protéine liant l’endotoxine (lbp) sur le chr. 2 pour l’hypothermie initiale en réponse au SI (LOD=4); et de HSP90 sur le chr. 12 pour l’excrétion de Ca++ (LOD=4.6). Des banques de données sont ensuite interrogées pour recenser les polymorphismes des régions régulatrices ou codantes des gènes candidats chez les souches ancestrales A/J et B6, dont les séquences sont disponibles pour le génome entier. Des utilitaires web permettent de dévoiler les changements dans la structure secondaire de l’ARNm, l’interférence avec des microARN ou avec d’autres motifs de liaison. Plusieurs SNPs fonctionnels ont été identifiés pour le QTL du chr. 1, particulièrement dans les éléments de régulation; ceux-ci impliquant des gènes reliés avec les réponses inflammatoire/immunitaire ou avec le système cardiovasculaire. La quantification par la PCR confirme une régulation à la baisse d’atp1a2 dans le cœur et le cerveau des souches susceptibles à l’anxiété. Ces résultats confirment l’intrication des altérations de la susceptibilité au stress et de la régulation de la TA.

Hypophosphatémie après résection hépatique

Introduction : L’hypophosphatémie survient couramment après hépatectomie partielle. La régénération du foie était l’explication initiale. Cependant, les pertes rénales de phosphate observées récemment suggèrent que l’hypophosphatémie est probablement d’origine rénale. Nous avons donc mesuré la fraction d’excrétion urinaire de phosphate (FePO4) après hépatectomie partielle et nous avons étudié le rôle de la parathormone (PTH) et des phosphatonines dans cette hypophosphatémie. Méthodes : Les taux sériques de phosphate, de calcium ionisé, de PTH intacte, de « fibroblast growth factor- 23 » (FGF-23) intact et carboxyle-terminal, de FGF-7, de la « frizzled-related protein-4 » (FRP-4) et de HCO3- ainsi que le pH et la FePO4 ont été mesurés avant la chirurgie et aux jours postopératoires (po) 1, 2, 3, 5 et 7, chez 18 patients ayant subi une résection hépatique partielle. Résultats : Le phosphate sérique était à son plus bas niveau (0,66 ± 0,33 mmol/l; p < 0,001) au jour po 2. La FePO4 culminait à 25,07 ± 2,26 % au jour po 1 (p < 0,05) et était associée avec le taux de la parathormone intacte (r = 0,65; p = 0,006). Le calcium ionisé sérique diminuait à 1,1 ± 0,01 mmol/l, (p < 0,01) en même temps que la parathormone intacte s’élevait à 8,8 ± 0,9 pmol/l, (p < 0,01) au jour po 1; ces deux paramètres étaient inversement corrélés (r = -0,062; p = 0,016). Le FGF-23 intact atteignait son plus bas niveau à 7,8 ± 6,9 pg/ml (p < 0,001), au jour po 3; les valeurs de FGF-23 étaient corrélées avec la diminution du phosphate sérique aux jours po 0, 3, 5 et 7 (p < 0,001). Le FGF-23 carboxyle-terminal, le FGF-7 et la FRP-4 n’étaient pas reliés au phosphate sérique ni à la FePO4. Conclusion : L’hypophosphatémie observée après résection hépatique partielle est liée à une augmentation de la FePO4 qui est sans aucune relation avec les FGF-23 intact ou carboxyle-terminal, le FGF-7 et la FRP-4. La PTH intacte était associée avec la FePO4 uniquement au jour po 1. L’hypophosphatémie après résection hépatique est secondaire à d’autres facteurs non encore identifiés.