Géométrie nodale et valeurs propres de l’opérateur de Laplace et du p-laplacien

La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse.

Regles des cinq ordres d'Architecture, de Vignole : ouurage dans lequel on donne vne idée de la Géométrie ... / par C. M. Delagardette ... ; ...cet ouurage a pour suite et comprend Les leçons élémentaires des ombres dans l'architecture, ..., par le même

Port. y texto enmarcados

Problèmes de géométrie et de trigonometrie avec la méthode a suivre pour la resolution des problémes de géométrie et les solutions /

Mode of access: Internet.

Problèmes de géométrie et de trigonométrie avec la méthode a suivre pour la résolution des problèmes de géométrie et les solutions /

Mode of access: Internet.

Éléments de géométrie conformes aux programmes de l'enseignement scientifique dans les lycées /

Mode of access: Internet.

Éléments de géométrie conformes aux programmes de l'enseignement scientifique dans les lycées /

Mode of access: Internet.

Introducción a la géométrie supérieure /

Mode of access: Internet.

Éléments de géométrie conformes aux programmes de l'enseignement scientifique dans les lycées /

Mode of access: Internet.

Traité des sections coniques faisant suite au traité de géométrie supérieure /

Part. 1.

Géométrie du compas /

Mode of access: Internet.

Problèmes d'application de l'algèbre a la géométrie, avec les solutions développées /

Mode of access: Internet.

Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne et sphérique et d'application de l'algèbre a la géométrie /

Mode of access: Internet.

Mémoires de géométrie descriptive : théorique et appliquée /

Vol. 1 - Vol. 2.

Complements de géométrie descriptive /

Vol. 1: texto - Vol. 2: atlas.

Leçons de géomètrie : suivies de notions élémentaires /

Mode of access: Internet.