RelMDD-A Library for Manipulating Relations Based on MDDs

Relation algebras is one of the state-of-the-art means used by mathematicians and computer scientists for solving very complex problems. As a result, a computer algebra system for relation algebras called RelView has been developed at Kiel University. RelView works within the standard model of relation algebras. On the other hand, relation algebras do have other models which may have different properties. For example, in the standard model we always have L;L=L (the composition of two (heterogeneous) universal relations yields a universal relation). This is not true in some non-standard models. Therefore, any example in RelView will always satisfy this property even though it is not true in general. On the other hand, it has been shown that every relation algebra with relational sums and subobjects can be seen as matrix algebra similar to the correspondence of binary relations between sets and Boolean matrices. The aim of my research is to develop a new system that works with both standard and non-standard models for arbitrary relations using multiple-valued decision diagrams (MDDs). This system will implement relations as matrix algebras. The proposed structure is a library written in C which can be imported by other languages such as Java or Haskell.

Charles Larned letter, April 3, 1813.

Charles Larned (1791-1834) was a lawyer and American military officer who served during the War of 1812. He was the son of Simon Larned (1753-1817), who served as a captain in the Revolutionary War and was a member of the United States Congress from Massachusetts from 1804-1805. Charles studied law in the office of Henry Clay in Kentucky, and was dining with a group of prominent citizens when word was received that General William Henry Harrison could soon be overpowered by General Henry Proctor. Colonel Owen, a member of the group, organized a regiment to reinforce Harrison’s troops. Larned became a member and subsequently survived the River Raisin Massacre and was later present at the Battle of the Thames. He was also part of a group of men who learned of General William Hull’s plan to surrender Detroit to the British and planned to overtake him should this occur. However, the plan failed, Hull did surrender and the men became prisoners of the British. After the war, Larned became a lawyer, and served as Attorney General of Michigan Territory during the Black Hawk War. During the cholera epidemic of 1834, he worked tirelessly to assist others, but was stricken with the disease and died. Letter Transcription: Pittsfield, April 8, 1813 I think that by this time my dear Charles you will allow I have some reason to give you a gentle reprimand for breach of duty—but I will not censure you upon suspicion maybe you have substantial reasons—at any rate one cannot very graciously reproach the other for negligence I for one am healthy as ham & that we have so seldom exchanged letters during your absence & on my honor promise to be a better girl in future—but the truth is my Dear Charles I am secretary for the Family—Mama you know never writes & James but seldom & they are all dispersed in different directions, consequently I have many calls upon my time—this to be sure is a pleasant duty & I urge it only as a slight palliation for my remissness if you should consider it as such—now I have finished my preface—I will try to be more interesting & doubtless I succeed. Our dear Father we hope & trust is now in Green Bush, where he will probably remain a month perhaps & from thence he expects to go to Sacket’s harbor—at which place you know our troops are fast collecting-- We shall hope to see him either here or there before he goes. Brother George I believe is [still] at Plattsburgh but expects soon to be removed to some other military part perhaps with Papa (I hope so at least). We have just got letters from Brothers Sylvester & Joseph at Middlebury—they are in good health. Mama has for some weeks been afflicted with an inflammation in her eyes but seems now to be convalescing. Sister Martha has been somewhat unwell for a few weeks but is now tolerably recovered. James & myself are both in our usual good health & at this time seated by the same stand, one reading, the other writing. Thus my Dear Charles have I given you an abstract history of our Family—but here indeed is a wonderful omission; not a word about Miss Harriet Hunt, who in truth ought to have been noted first but the last she’s not the least in my memory. She is much grown since you saw her, but does not speak as fluently as we could wish—a few word she can say. Probably before this you have been informed of the great loss your friend Sherrill has sustained in the death of his mother—also of the revolution that has taken place in Hackbridge as it respects the religion & morality of the place that more than one hundred on the plain have become religious converts & c—indeed I am at a loss what to say that will afford your pleasure—a narrative at this time must be gloomy indeed. The distressing situation of our country at this time would make almost any recital melancholy. The prevailing epidemic has swept off many of your acquaintance no doubt. Mrs. Dewey of Williamstown, the sister of Mrs. Danforth, has left a Husband, Children & many Friends sincerely to lament her loss—some few have died in our village, but we have escaped astonishingly –it has raged in every town about us--If we are unwilling to acknowledge a God in his mercies. I fear she shall be compelled to do it in the awfulness of his judgments.--------I am much [pleased] with our new neighbors the Parsons Wife & a Miss Woodward her cousin is a fine girl, I think, Mrs. Allen has not a handsome face but something in her manner that interests one her person I think the handsomest I ever saw & the Parson seems well pleased with his selection—Mrs. Ripley is with them this winter & will probably remain thro the summer—Her husband at [Sackett’s Harbor] little or no alteration is apparent since her marriage—she seems as gay & fond of company as ever.-------Mrs. [McKnight] it is expected will commence housekeeping in about three weeks in the house formerly occupied by Mr…. [Report] says that Mr. Goodman & Clarissa Weller are soon to be married & many other things that I must omit to mention for Mama wants a… PS reserved--now my Dear Charles remember you are considerably… & I am confident you have as much leisure as I have –… be ceremonious but write whenever I find time not & I beg… the same – I tell James I shall not send his love for he must write himself. I shall anxiously expect you to write & do not disappoint your affectionate, sister--H One word my Dear Charles from your affectionate Mother who longs to see Her Dear son Charles—but being deprived of that rich blessing at present—begs Him so to conduct that she may hope for it ere long—do you search the Scriptures and keep the Sabbath holy unto the Lord—and all the sacred Commandments of God—it is my ardent desire…He would protect, support and provide for your soul and body and believe me your affectionate friend and Mother. R Larned.

Region Connection Calculus: Composition Tables and Constraint Satisfaction Problems

Qualitative spatial reasoning (QSR) is an important field of AI that deals with qualitative aspects of spatial entities. Regions and their relationships are described in qualitative terms instead of numerical values. This approach models human based reasoning about such entities closer than other approaches. Any relationships between regions that we encounter in our daily life situations are normally formulated in natural language. For example, one can outline one's room plan to an expert by indicating which rooms should be connected to each other. Mereotopology as an area of QSR combines mereology, topology and algebraic methods. As mereotopology plays an important role in region based theories of space, our focus is on one of the most widely referenced formalisms for QSR, the region connection calculus (RCC). RCC is a first order theory based on a primitive connectedness relation, which is a binary symmetric relation satisfying some additional properties. By using this relation we can define a set of basic binary relations which have the property of being jointly exhaustive and pairwise disjoint (JEPD), which means that between any two spatial entities exactly one of the basic relations hold. Basic reasoning can now be done by using the composition operation on relations whose results are stored in a composition table. Relation algebras (RAs) have become a main entity for spatial reasoning in the area of QSR. These algebras are based on equational reasoning which can be used to derive further relations between regions in a certain situation. Any of those algebras describe the relation between regions up to a certain degree of detail. In this thesis we will use the method of splitting atoms in a RA in order to reproduce known algebras such as RCC15 and RCC25 systematically and to generate new algebras, and hence a more detailed description of regions, beyond RCC25.

Charles Larned letter - April 3, 1813

Letter Transcription: Pittsfield, April 8, 1813 I think that by this time my dear Charles you will allow I have some reason to give you a gentle reprimand for breach of duty—but I will not censure you upon suspicion maybe you have substantial reasons—at any rate one cannot very graciously reproach the other for negligence I for one am healthy as ham & that we have so seldom exchanged letters during your absence & on my honor promise to be a better girl in future—but the truth is my Dear Charles I am secretary for the Family—Mama you know never writes & James but seldom & they are all dispersed in different directions, consequently I have many calls upon my time—this to be sure is a pleasant duty & I urge it only as a slight palliation for my remissness if you should consider it as such—now I have finished my preface—I will try to be more interesting & doubtless I succeed. Our dear Father we hope & trust is now in Green Bush, where he will probably remain a month perhaps & from thence he expects to go to Sacket’s harbor—at which place you know our troops are fast collecting-- We shall hope to see him either here or there before he goes. Brother George I believe is [still] at Plattsburgh but expects soon to be removed to some other military part perhaps with Papa (I hope so at least). We have just got letters from Brothers Sylvester & Joseph at Middlebury—they are in good health. Mama has for some weeks been afflicted with an inflammation in her eyes but seems now to be convalescing. Sister Martha has been somewhat unwell for a few weeks but is now tolerably recovered. James & myself are both in our usual good health & at this time seated by the same stand, one reading, the other writing. Thus my Dear Charles have I given you an abstract history of our Family—but here indeed is a wonderful omission; not a word about Miss Harriet Hunt, who in truth ought to have been noted first but the last she’s not the least in my memory. She is much grown since you saw her, but does not speak as fluently as we could wish—a few word she can say. Probably before this you have been informed of the great loss your friend Sherrill has sustained in the death of his mother—also of the revolution that has taken place in Hackbridge as it respects the religion & morality of the place that more than one hundred on the plain have become religious converts & c—indeed I am at a loss what to say that will afford your pleasure—a narrative at this time must be gloomy indeed. The distressing situation of our country at this time would make almost any recital melancholy. The prevailing epidemic has swept off many of your acquaintance no doubt. Mrs. Dewey of Williamstown, the sister of Mrs. Danforth, has left a Husband, Children & many Friends sincerely to lament her loss—some few have died in our village, but we have escaped astonishingly –it has raged in every town about us--If we are unwilling to acknowledge a God in his mercies. I fear she shall be compelled to do it in the awfulness of his judgments.--------I am much [pleased] with our new neighbors the Parsons Wife & a Miss Woodward her cousin is a fine girl, I think, Mrs. Allen has not a handsome face but something in her manner that interests one her person I think the handsomest I ever saw & the Parson seems well pleased with his selection—Mrs. Ripley is with them this winter & will probably remain thro the summer—Her husband at [Sackett’s Harbor] little or no alteration is apparent since her marriage—she seems as gay & fond of company as ever.-------Mrs. [McKnight] it is expected will commence housekeeping in about three weeks in the house formerly occupied by Mr…. [Report] says that Mr. Goodman & Clarissa Weller are soon to be married & many other things that I must omit to mention for Mama wants a… PS reserved--now my Dear Charles remember you are considerably… & I am confident you have as much leisure as I have –… be ceremonious but write whenever I find time not & I beg… the same – I tell James I shall not send his love for he must write himself. I shall anxiously expect you to write & do not disappoint your affectionate, sister--H One word my Dear Charles from your affectionate Mother who longs to see Her Dear son Charles—but being deprived of that rich blessing at present— begs Him so to conduct that she may hope for it ere long—do you search the Scriptures and keep the Sabbath holy unto the Lord—and all the sacred Commandments of God—it is my ardent desire…He would protect, support and provide for your soul and body and believe me your affectionate friend and Mother. R Larned.

Clones sous-maximaux inf-réductibles

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Families of orthogonal functions defined by the Weyl groups of compact Lie groups

Plusieurs familles de fonctions spéciales de plusieurs variables, appelées fonctions d'orbites, sont définies dans le contexte des groupes de Weyl de groupes de Lie simples compacts/d'algèbres de Lie simples. Ces fonctions sont étudiées depuis près d'un siècle en raison de leur lien avec les caractères des représentations irréductibles des algèbres de Lie simples, mais également de par leurs symétries et orthogonalités. Nous sommes principalement intéressés par la description des relations d'orthogonalité discrète et des transformations discrètes correspondantes, transformations qui permettent l'utilisation des fonctions d'orbites dans le traitement de données multidimensionnelles. Cette description est donnée pour les groupes de Weyl dont les racines ont deux longueurs différentes, en particulier pour les groupes de rang $2$ dans le cas des fonctions d'orbites du type $E$ et pour les groupes de rang $3$ dans le cas de toutes les autres fonctions d'orbites.

Brisure de symétrie par la réduction des groupes de Lie simples à leurs sous-groupes de Lie réductifs maximaux

Dans ce travail, nous exploitons des propriétés déjà connues pour les systèmes de poids des représentations afin de les définir pour les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples, traitées individuellement, et nous étendons certaines de ces propriétés aux orbites des groupes de Coxeter non cristallographiques. D'abord, nous considérons les points d'une orbite d'un groupe de Coxeter fini G comme les sommets d'un polytope (G-polytope) centré à l'origine d'un espace euclidien réel à n dimensions. Nous introduisons les produits et les puissances symétrisées de G-polytopes et nous en décrivons la décomposition en des sommes de G-polytopes. Plusieurs invariants des G-polytopes sont présentés. Ensuite, les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples de tous types sont réduites en l'union d'orbites des groupes de Weyl des sous-algèbres réductives maximales de l'algèbre. Nous listons les matrices qui transforment les points des orbites de l'algèbre en des points des orbites des sous-algèbres pour tous les cas n<=8 ainsi que pour plusieurs séries infinies des paires d'algèbre-sous-algèbre. De nombreux exemples de règles de branchement sont présentés. Finalement, nous fournissons une nouvelle description, uniforme et complète, des centralisateurs des sous-groupes réguliers maximaux des groupes de Lie simples de tous types et de tous rangs. Nous présentons des formules explicites pour l'action de tels centralisateurs sur les représentations irréductibles des algèbres de Lie simples et montrons qu'elles peuvent être utilisées dans le calcul des règles de branchement impliquant ces sous-algèbres.

Analyse de groupe d’un modèle de la plasticité idéale planaire et sur les solutions en termes d’invariants de Riemann pour les systèmes quasilinéaires du premier ordre

Les objets d’étude de cette thèse sont les systèmes d’équations quasilinéaires du premier ordre. Dans une première partie, on fait une analyse du point de vue du groupe de Lie classique des symétries ponctuelles d’un modèle de la plasticité idéale. Les écoulements planaires dans les cas stationnaire et non-stationnaire sont étudiés. Deux nouveaux champs de vecteurs ont été obtenus, complétant ainsi l’algèbre de Lie du cas stationnaire dont les sous-algèbres sont classifiées en classes de conjugaison sous l’action du groupe. Dans le cas non-stationnaire, une classification des algèbres de Lie admissibles selon la force choisie est effectuée. Pour chaque type de force, les champs de vecteurs sont présentés. L’algèbre ayant la dimension la plus élevée possible a été obtenues en considérant les forces monogéniques et elle a été classifiée en classes de conjugaison. La méthode de réduction par symétrie est appliquée pour obtenir des solutions explicites et implicites de plusieurs types parmi lesquelles certaines s’expriment en termes d’une ou deux fonctions arbitraires d’une variable et d’autres en termes de fonctions elliptiques de Jacobi. Plusieurs solutions sont interprétées physiquement pour en déduire la forme de filières d’extrusion réalisables. Dans la seconde partie, on s’intéresse aux solutions s’exprimant en fonction d’invariants de Riemann pour les systèmes quasilinéaires du premier ordre. La méthode des caractéristiques généralisées ainsi qu’une méthode basée sur les symétries conditionnelles pour les invariants de Riemann sont étendues pour être applicables à des systèmes dans leurs régions elliptiques. Leur applicabilité est démontrée par des exemples de la plasticité idéale non-stationnaire pour un flot irrotationnel ainsi que les équations de la mécanique des fluides. Une nouvelle approche basée sur l’introduction de matrices de rotation satisfaisant certaines conditions algébriques est développée. Elle est applicable directement à des systèmes non-homogènes et non-autonomes sans avoir besoin de transformations préalables. Son efficacité est illustrée par des exemples comprenant un système qui régit l’interaction non-linéaire d’ondes et de particules. La solution générale est construite de façon explicite.

Special functions of Weyl groups and their continuous and discrete orthogonality

Cette thèse s'intéresse à l'étude des propriétés et applications de quatre familles des fonctions spéciales associées aux groupes de Weyl et dénotées $C$, $S$, $S^s$ et $S^l$. Ces fonctions peuvent être vues comme des généralisations des polynômes de Tchebyshev. Elles sont en lien avec des polynômes orthogonaux à plusieurs variables associés aux algèbres de Lie simples, par exemple les polynômes de Jacobi et de Macdonald. Elles ont plusieurs propriétés remarquables, dont l'orthogonalité continue et discrète. En particulier, il est prouvé dans la présente thèse que les fonctions $S^s$ et $S^l$ caractérisées par certains paramètres sont mutuellement orthogonales par rapport à une mesure discrète. Leur orthogonalité discrète permet de déduire deux types de transformées discrètes analogues aux transformées de Fourier pour chaque algèbre de Lie simple avec racines des longueurs différentes. Comme les polynômes de Tchebyshev, ces quatre familles des fonctions ont des applications en analyse numérique. On obtient dans cette thèse quelques formules de <>, pour des fonctions de plusieurs variables, en liaison avec les fonctions $C$, $S^s$ et $S^l$. On fournit également une description complète des transformées en cosinus discrètes de types V--VIII à $n$ dimensions en employant les fonctions spéciales associées aux algèbres de Lie simples $B_n$ et $C_n$, appelées cosinus antisymétriques et symétriques. Enfin, on étudie quatre familles de polynômes orthogonaux à plusieurs variables, analogues aux polynômes de Tchebyshev, introduits en utilisant les cosinus (anti)symétriques.

Structures algébriques, systèmes superintégrables et polynômes orthogonaux

Cette thèse est divisée en cinq parties portant sur les thèmes suivants: l’interprétation physique et algébrique de familles de fonctions orthogonales multivariées et leurs applications, les systèmes quantiques superintégrables en deux et trois dimensions faisant intervenir des opérateurs de réflexion, la caractérisation de familles de polynômes orthogonaux appartenant au tableau de Bannai-Ito et l’examen des structures algébriques qui leurs sont associées, l’étude de la relation entre le recouplage de représentations irréductibles d’algèbres et de superalgèbres et les systèmes superintégrables, ainsi que l’interprétation algébrique de familles de polynômes multi-orthogonaux matriciels. Dans la première partie, on développe l’interprétation physico-algébrique des familles de polynômes orthogonaux multivariés de Krawtchouk, de Meixner et de Charlier en tant qu’éléments de matrice des représentations unitaires des groupes SO(d+1), SO(d,1) et E(d) sur les états d’oscillateurs. On détermine les amplitudes de transition entre les états de l’oscillateur singulier associés aux bases cartésienne et polysphérique en termes des polynômes multivariés de Hahn. On examine les coefficients 9j de su(1,1) par le biais du système superintégrable générique sur la 3-sphère. On caractérise les polynômes de q-Krawtchouk comme éléments de matrices des «q-rotations» de U_q(sl_2). On conçoit un réseau de spin bidimensionnel qui permet le transfert parfait d’états quantiques à l’aide des polynômes de Krawtchouk à deux variables et on construit un modèle discret de l’oscillateur quantique dans le plan à l’aide des polynômes de Meixner bivariés. Dans la seconde partie, on étudie les systèmes superintégrables de type Dunkl, qui font intervenir des opérateurs de réflexion. On examine l’oscillateur de Dunkl en deux et trois dimensions, l’oscillateur singulier de Dunkl dans le plan et le système générique sur la 2-sphère avec réflexions. On démontre la superintégrabilité de chacun de ces systèmes. On obtient leurs constantes du mouvement, on détermine leurs algèbres de symétrie et leurs représentations, on donne leurs solutions exactes et on détaille leurs liens avec les polynômes orthogonaux du tableau de Bannai-Ito. Dans la troisième partie, on caractérise deux familles de polynômes du tableau de Bannai-Ito: les polynômes de Bannai-Ito complémentaires et les polynômes de Chihara. On montre également que les polynômes de Bannai-Ito sont les coefficients de Racah de la superalgèbre osp(1,2). On détermine l’algèbre de symétrie des polynômes duaux -1 de Hahn dans le cadre du problème de Clebsch-Gordan de osp(1,2). On propose une q - généralisation des polynômes de Bannai-Ito en examinant le problème de Racah pour la superalgèbre quantique osp_q(1,2). Finalement, on montre que la q -algèbre de Bannai-Ito sert d’algèbre de covariance à osp_q(1,2). Dans la quatrième partie, on détermine le lien entre le recouplage de représentations des algèbres su(1,1) et osp(1,2) et les systèmes superintégrables du deuxième ordre avec ou sans réflexions. On étudie également les représentations des algèbres de Racah-Wilson et de Bannai-Ito. On montre aussi que l’algèbre de Racah-Wilson sert d’algèbre de covariance quadratique à l’algèbre de Lie sl(2). Dans la cinquième partie, on construit deux familles explicites de polynômes d-orthogonaux basées sur su(2). On étudie les états cohérents et comprimés de l’oscillateur fini et on caractérise une famille de polynômes multi-orthogonaux matriciels.

Petrography, Geochemistry and Diagenesis of Coral Deposits of Kavaratti and Minicoy Islands, Lakshadweep, India

In the present thesis the petrographic, geochemical and digenetic variability of the sediments in the islands of Kavaratti and Minicoy has been investigated .The beach profile studies show that in the Kavaratti lagoon beach, the slope is steeper in the southern and south central part than in the northern end’s marginal deposition is taking place in the northern end of the Kavaratti island, whereas a marginal erosion is observed at the southern end. In Minicoy the slope of the lagoon beach is gentle in the south and is slightly steeper at the northern part of the beach. The southern and northern beach sections show a marginal deposition. Based on the mineralogical and geochemical studies it is concluded that the main digenetic changes observed is the transformation of aragonite to LMC.The transformation takes place mainly in the vadose zone and is caused by the abundance of fresh water infiltration.

Fourier-Matrizen und Ringe mit Basis

Bei der Bestimmung der irreduziblen Charaktere einer Gruppe vom Lie-Typ entwickelte Lusztig eine Theorie, in der eine sogenannte Fourier-Transformation auftaucht. Dies ist eine Matrix, die nur von der Weylgruppe der Gruppe vom Lie-Typ abhängt. Anhand der Eigenschaften, die eine solche Fourier- Matrix erfüllen muß, haben Geck und Malle ein Axiomensystem aufgestellt. Dieses ermöglichte es Broue, Malle und Michel füur die Spetses, über die noch vieles unbekannt ist, Fourier-Matrizen zu bestimmen. Das Ziel dieser Arbeit ist eine Untersuchung und neue Interpretation dieser Fourier-Matrizen, die hoffentlich weitere Informationen zu den Spetses liefert. Die Werkzeuge, die dabei entstehen, sind sehr vielseitig verwendbar, denn diese Matrizen entsprechen gewissen Z-Algebren, die im Wesentlichen die Eigenschaften von Tafelalgebren besitzen. Diese spielen in der Darstellungstheorie eine wichtige Rolle, weil z.B. Darstellungsringe Tafelalgebren sind. In der Theorie der Kac-Moody-Algebren gibt es die sogenannte Kac-Peterson-Matrix, die auch die Eigenschaften unserer Fourier-Matrizen besitzt. Ein wichtiges Resultat dieser Arbeit ist, daß die Fourier-Matrizen, die G. Malle zu den imprimitiven komplexen Spiegelungsgruppen definiert, die Eigenschaft besitzen, daß die Strukturkonstanten der zugehörigen Algebren ganze Zahlen sind. Dazu müssen äußere Produkte von Gruppenringen von zyklischen Gruppen untersucht werden. Außerdem gibt es einen Zusammenhang zu den Kac-Peterson-Matrizen: Wir beweisen, daß wir durch Bildung äußerer Produkte von den Matrizen vom Typ A(1)1 zu denen vom Typ C(1) l gelangen. Lusztig erkannte, daß manche seiner Fourier-Matrizen zum Darstellungsring des Quantendoppels einer endlichen Gruppe gehören. Deswegen ist es naheliegend zu versuchen, die noch ungeklärten Matrizen als solche zu identifizieren. Coste, Gannon und Ruelle untersuchen diesen Darstellungsring. Sie stellen eine Reihe von wichtigen Fragen. Eine dieser Fragen beantworten wir, nämlich inwieweit rekonstruiert werden kann, zu welcher endlichen Gruppe gegebene Matrizen gehören. Den Darstellungsring des getwisteten Quantendoppels berechnen wir für viele Beispiele am Computer. Dazu müssen unter anderem Elemente aus der dritten Kohomologie-Gruppe H3(G,C×) explizit berechnet werden, was bisher anscheinend in noch keinem Computeralgebra-System implementiert wurde. Leider ergibt sich hierbei kein Zusammenhang zu den von Spetses herrührenden Matrizen. Die Werkzeuge, die in der Arbeit entwickelt werden, ermöglichen eine strukturelle Zerlegung der Z-Ringe mit Basis in bekannte Anteile. So können wir für die meisten Matrizen der Spetses Konstruktionen angeben: Die zugehörigen Z-Algebren sind Faktorringe von Tensorprodukten von affinen Ringe Charakterringen und von Darstellungsringen von Quantendoppeln.

Gröbnerbasen in Ore-Algebren

In dieser Arbeit werden grundlegende Algorithmen für Ore-Algebren in Mathematica realisiert. Dabei entsteht eine Plattform um die speziellen Beschränkungen und Möglichkeiten dieser Algebren insbesondere im Zusammenhang mit Gröbnerbasen an praktischen Beispielen auszuloten. Im Gegensatz zu den existierenden Paketen wird dabei explizit die Struktur der Ore-Algebra benutzt. Kandri-Rody und Weispfenning untersuchten 1990 Verallgemeinerungen von Gröbnerbasen auf Algebren ordnungserhaltender Art (``algebras of solvable type''). Diese verhalten sich so, dass Buchbergers Algorithmus stets eine Gröbnerbasis findet. Es wird ein Beispiel gezeigt, an dem klar wird, dass es mehr Ore-Algebren ordnungserhaltender Art gibt als die in der Literatur stets betrachteten Operator-Algebren. Für Ore-Algebren ordnungserhaltender Art werden Algorithmen zu Gröbnerbasen implementiert. Anschließend wird der Gröbner-Walk für Ore-Algebren untersucht. Der Gröbner-Walk im kommutativen Fall wird mit einem instruktiven Beispiel vorgestellt. Dann wird zum nichtkommutativen Fall übergegangen. Es wird gezeigt, dass die Eigenschaft ordnungserhaltender Art zu sein, auf der Strecke zwischen zwei Ordnungen erhalten bleibt. Eine leichte Modifikation des Walks für Ore-Algebren wird implementiert, die im Erfolgsfall die Basis konvertiert und ansonsten abbricht. Es werden Beispiele angegeben, in denen der modifizierte Walk funktioniert sowie ein Beispiel analysiert, in dem er versagt.

Àlgebra moderna: conjunts, relacions i aplicacions

Oferim als estudiants universitaris i als lectors interessats aquesta guia didàctica de la matemàtica universitària com a fruit dels nostres anys de docència de les matemàtiques a la Universitat. El resultat final ha esdevingut una col·lecció de setze petits volums agrupats en els dos mòduls d'Àlgebra Lineal i de Càlcul Infinitesimal. El primer volum de la col•lecció, s’inicia amb les nocions primàries del conjunt, element i pertinença que constitueixen el pilar bàsic del llenguatge matemàtic. Tot seguit tractem el tema de les relacions binàries entre els elements d’un conjunt, destacant-hi entre elles les relacions d’equivalència que, com veurem en el proper volum, permetran la fonamentació de les diferents classes de nombres. Finalment, es tracten les aplicacions entre conjunts, un concepte que es desenvoluparà plenament en l’estudi del Càlcul Funcional

Àlgebra moderna: estructures algebraiques

Oferim als estudiants universitaris i als lectors interessats aquesta guia didàctica de la matemàtica universitària com a fruit dels nostres anys de docència de les matemàtiques a la Universitat. El resultat final ha esdevingut una col·lecció de setze petits volums agrupats en els dos mòduls d'Àlgebra Lineal i de Càlcul Infinitesimal. El present volum continua l’estudi de l’Àlgebra moderna iniciada en l’anterior volum. Es comença amb la noció de llei de composició, una operació entre els elements d’un conjunt que utilitzarem pel posterior estudi del concepte d’estructura algebraica, de gran importància en l’Àlgebra moderna. Tot seguit es fa una senzilla introducció a les estructures algebraiques més importants, com són les de grup, anell i cos, fent a més un repàs a les diferents classes de nombres: enters, racionals, reals i complexos